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경제학:애로우의_불가능성_정리 [2020/01/10 16:09] – [핵심(pivotal) 인물 $n$의 존재] admin | 경제학:애로우의_불가능성_정리 [2020/01/10 16:33] – [두 번째 경우] admin | ||
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사회 후생함수가 추이성과 만장일치성, | 사회 후생함수가 추이성과 만장일치성, | ||
- | =====극단성===== | + | =====단계 1. 극단성===== |
추이성과 만장일치성, | 추이성과 만장일치성, | ||
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위와 같은 논리로, $b$는 사회적 선호에서 상석 혹은 말석만을 차지할 수 있다. | 위와 같은 논리로, $b$는 사회적 선호에서 상석 혹은 말석만을 차지할 수 있다. | ||
- | =====핵심(pivotal) 인물 $n$의 존재===== | + | =====단계 2. 핵심(pivotal) 인물 $n$의 존재===== |
- | 어떤 전략 $b$에 대해 모든 개인이 이 정책을 가장 싫어한다고 가정하자. 그러면 만장일치성으로 인해 사회적 선호에서도 $b$가 가장 비호감 정책일 것이다. ' | + | 어떤 전략 $b$에 대해 모든 개인이 이 정책을 가장 싫어한다고 가정하자. 그런 정책이 실제로는 없을 수도 있지만, 없으면 가상으로 하나를 만들어서 집어넣자. IIA에 의해, 우리가 원래 보고자 했던, 즉 이 가상의 $b$를 제외한 나머지 정책들에 대한 사회 효용 함수는 영향을 받지 않을 것이다. |
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+ | 원래 얘기로 돌아오면, 만장일치성으로 인해 | ||
정리하면, | 정리하면, | ||
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- | =====$n$이 독재자===== | + | =====단계 3. $n$이 독재자===== |
- | ====첫 번째 경우==== | + | ====$b$가 아닌 정책들에 대해==== |
$b$가 아닌 임의의 정책 $a$와 $c$에 대해 $a \succ_n c$이기만 하면 다른 사람들의 선호가 어떻든지 간에 $a \succsim c$임을 보이려 한다. | $b$가 아닌 임의의 정책 $a$와 $c$에 대해 $a \succ_n c$이기만 하면 다른 사람들의 선호가 어떻든지 간에 $a \succsim c$임을 보이려 한다. | ||
먼저 $a \succ_n c$이고 그 외에는 임의로 주어진 상황 IV를 생각하자. 이것을 고쳐서 다음과 같은 가상 상황 III를 만들 것이다. | 먼저 $a \succ_n c$이고 그 외에는 임의로 주어진 상황 IV를 생각하자. 이것을 고쳐서 다음과 같은 가상 상황 III를 만들 것이다. | ||
- | * 핵심인물 $n$에 대해서는 $a$를 첫 번째, $b$를 두 번째로 가장 선호하게끔 한다. | ||
* 1부터 $n$ 바로 앞까지는 $b$를 가장 선호하게끔 한다. | * 1부터 $n$ 바로 앞까지는 $b$를 가장 선호하게끔 한다. | ||
+ | * $n$에 대해서는 $a$를 첫 번째, $b$를 두 번째로 가장 선호하게끔 한다. ($a \succ_n b \succ_n \ldots$) | ||
* $n+1$부터 $N$까지는 $b$를 가장 싫어하게끔 한다. | * $n+1$부터 $N$까지는 $b$를 가장 싫어하게끔 한다. | ||
상황 III(가상)과 IV(실제)를 비교해보면, | 상황 III(가상)과 IV(실제)를 비교해보면, | ||
- | 그런데 우리가 만들어놓은 상황 III에서, 모든 개인에 대해 $a$와 $b$ 사이의 관계는 표에 적었던 상황 I에서와 같다. 상황 I에서는 $a \succsim b$이므로 상황 III에서도 $a \succsim b$이어야 한다. | + | 그런데 우리가 만들어놓은 상황 III에서, 모든 개인에 대해 $a$와 $b$ 사이의 관계는 표 좌측에 적었던 상황 I에서와 같다. 상황 I에서 |
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+ | 또 한 가지. 우리가 만들어놓은 상황 III에서, 모든 개인에 대해 $b$와 $c$ 사이의 관계는 표 우측에 적었던 상황 II에서와 같다. 상황 II에서 $b$는 사회적으로 가장 선호되는 정책이었고 따라서 $b \succsim c$이었으므로 상황 III에서도 $b \succsim c$이어야 한다. | ||
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+ | 추이성에 따라 상황 III에서 $a \succsim c$이어야 하고, 따라서 원래의 상황 IV에서도 $a \succsim c$이어야 한다. | ||
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+ | ====$b$에 관련된 경우==== | ||
+ | 이제 $b$ 자체에 대해서도 같은 결론이 성립하는지 볼 차례이다. 즉 다른 사람들의 선호에 상관없이 어떤 정책 $a$를 두고 $b \succ_n a$이면 $b \succsim a$이고 $a \succ_n b$이면 $a \succsim b$라는 것이 사실일까? | ||
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+ | 이 때 과연 $n' | ||
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+ | 즉 $b$의 유무에 상관없이 임의의 전략 한 쌍에 대해 $n$의 개인적 선호는 사회적 선호와 일치한다. | ||
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