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물리:가우스_고정점 [2018/05/09 23:47] – [$\sigma^2$의 평균] admin | 물리:가우스_고정점 [2018/05/10 14:53] – [$\left< \sigma^2 \right>$] admin | ||
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스핀 변수를 [[수학: | 스핀 변수를 [[수학: | ||
- | $$ H = \frac{1}{2} \sum_{i,k} (r_0 + ck^2) \left| \sigma_{ik} \right|^2 + \frac{u}{8} L^{-d} \sum_{k, | + | $$ H = \frac{1}{2} \sum_{i,k} (r_0 + ck^2) \left| \sigma_{i,k} \right|^2 + \frac{u}{8} L^{-d} \sum_{k, |
$i$는 스핀의 성분을 나타내는 인덱스이고 $k$는 $d$차원 역공간(reciprocal space)의 벡터이다. | $i$는 스핀의 성분을 나타내는 인덱스이고 $k$는 $d$차원 역공간(reciprocal space)의 벡터이다. | ||
Line 57: | Line 57: | ||
이라는 것이다. 보통 그렇듯이 첫 번째 섭동항은 고정점 $H^\ast$의 성질만을 가지고 구할 수 있다. | 이라는 것이다. 보통 그렇듯이 첫 번째 섭동항은 고정점 $H^\ast$의 성질만을 가지고 구할 수 있다. | ||
- | =====긴즈버그-란다우 모형의 섭동===== | + | =====긴즈버그-란다우 모형에서의 섭동 |
$H^\ast$를 가우스 고정점으로 놓고 나머지 항들을 섭동으로 처리하자: | $H^\ast$를 가우스 고정점으로 놓고 나머지 항들을 섭동으로 처리하자: | ||
Line 67: | Line 67: | ||
$$\left< \Delta H \right> = \frac{1}{2} \int d^d x \left( r_0 \left< \sigma^2 \right> + \frac{1}{4} u \left< \sigma^4 \right> \right).$$ | $$\left< \Delta H \right> = \frac{1}{2} \int d^d x \left( r_0 \left< \sigma^2 \right> + \frac{1}{4} u \left< \sigma^4 \right> \right).$$ | ||
- | ==== $\sigma^2$의 | + | ==== $\left< |
스핀 변수 $\sigma$의 $i$ 번째 성분 $\sigma_i$를 파수에 따라 두 부분으로 나누어 적어보자. 즉 | 스핀 변수 $\sigma$의 $i$ 번째 성분 $\sigma_i$를 파수에 따라 두 부분으로 나누어 적어보자. 즉 | ||
$$\sigma_i = \sigma_i' | $$\sigma_i = \sigma_i' | ||
Line 81: | Line 81: | ||
가우스 고정점의 성질로부터 $\left< \sigma_{i, | 가우스 고정점의 성질로부터 $\left< \sigma_{i, | ||
\begin{eqnarray*} | \begin{eqnarray*} | ||
- | \left< \phi^2 \right> &=& n (2\pi)^{-d} \int d^d q (cq^2)^{-1}\\ | + | \left< \phi^2 \right> = n\left< \phi_i^2 \right> &=& n (2\pi)^{-d} \int d^d q (cq^2)^{-1}\\ |
&=& n \int_{\Lambda/ | &=& n \int_{\Lambda/ | ||
\end{eqnarray*} | \end{eqnarray*} | ||
이며, 이 때 $n_c \equiv \frac{n}{c} K_d \Lambda^{d-2} / (d-2)$로 정의된다. | 이며, 이 때 $n_c \equiv \frac{n}{c} K_d \Lambda^{d-2} / (d-2)$로 정의된다. | ||
- | ==== $\sigma^4$의 | + | ==== $\left< |
+ | |||
+ | $\sigma$가 벡터라는 사실에 유의해서 써보면 | ||
+ | $$\left< \sigma^4 \right> = \sigma' | ||
+ | 인데 이 중 $\left< \phi^2 \right> | ||
+ | \begin{eqnarray*} | ||
+ | \left< (\phi \cdot \sigma' | ||
+ | &=& \sum_i {\sigma' | ||
+ | &=& \frac{1}{n} \left< \phi^2 \right> \sigma' | ||
+ | &=& \frac{n_c}{n} \left( 1-s^{2-d} \right) \sigma' | ||
+ | \left< \phi^4 \right> &=& \left< \sum_i \phi_i^2 \sum_j \phi_j^2 \right> | ||
+ | &=& \left< \sum_{i=j} \phi_i^2 \phi_j^2 + 2 \sum_{i> | ||
+ | &=& 3n \left< \phi_i^2 \right> | ||
+ | &=& (n^2+2n) \left< \phi_i^2 \right> | ||
+ | &=& (n^2+2n) \left[ \frac{n_c}{n} \left( 1-s^{2-d} \right) \right]^2 | ||
+ | \end{eqnarray*} | ||
+ | |||
+ | ==== $\left< \Delta H \right> | ||
+ | |||
+ | 위의 표현식들을 대입하면 | ||
+ | $$\left< \Delta H \right> = \frac{1}{2} \int d^d x \left\{ r_0 \left[ \sigma' | ||
+ | 인데, 적분 안의 내용 중 $\sigma' | ||
+ | $$\left< \Delta H \right> = \frac{1}{2} \int d^d x \left\{ \left[ r_0 + u\left( \frac{n}{2}+1 \right) \frac{n_c}{n} (1-s^{2-d}) \right] \sigma' | ||
+ | |||
+ | ==== $\sigma \to s^{1-\eta/ | ||
======참고문헌====== | ======참고문헌====== | ||
* Shang-Keng Ma, //Modern Theory of Critical Phenomena// (Westview Press, 1976, 2000). | * Shang-Keng Ma, //Modern Theory of Critical Phenomena// (Westview Press, 1976, 2000). |