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--- 물리:가우스_고정점 [2018/05/09 23:47] – [긴즈버그-란다우 모형의 섭동] admin
+++ 물리:가우스_고정점 [2018/05/10 14:53] – [$\left< \sigma^4 \right>$] admin
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 스핀 변수를 [[수학:푸리에 변환]]하여 위 식을 다시 적으면 아래와 같다.
-$$ H = \frac{1}{2} \sum_{i,k} (r_0 + ck^2) \left| \sigma_{ik} \right|^2 + \frac{u}{8} L^{-d} \sum_{k,k',k''}\sum_{ij} \sigma_{i,k} \sigma_{i,k'} \sigma_{j,k''} \sigma_{j,-k-k'-k''}$$
+$$ H = \frac{1}{2} \sum_{i,k} (r_0 + ck^2) \left| \sigma_{i,k} \right|^2 + \frac{u}{8} L^{-d} \sum_{k,k',k''}\sum_{ij} \sigma_{i,k} \sigma_{i,k'} \sigma_{j,k''} \sigma_{j,-k-k'-k''}$$
 $i$는 스핀의 성분을 나타내는 인덱스이고 $k$는 $d$차원 역공간(reciprocal space)의 벡터이다.
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 이라는 것이다. 보통 그렇듯이 첫 번째 섭동항은 고정점 $H^\ast$의 성질만을 가지고 구할 수 있다.
-=====긴즈버그-란다우 모형에서의 섭동=====
+=====긴즈버그-란다우 모형에서의 섭동 계산=====
 $H^\ast$를 가우스 고정점으로 놓고 나머지 항들을 섭동으로 처리하자:
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 $$\left< \Delta H \right> = \frac{1}{2} \int d^d x \left( r_0 \left< \sigma^2 \right> + \frac{1}{4} u \left< \sigma^4 \right> \right).$$
-==== $\sigma^2$의 평균====
+==== $\left< \sigma^2 \right>$의 계산====
 스핀 변수 $\sigma$의 $i$ 번째 성분 $\sigma_i$를 파수에 따라 두 부분으로 나누어 적어보자. 즉
 $$\sigma_i = \sigma_i' + \phi_i$$
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 가우스 고정점의 성질로부터 $\left< \sigma_{i,q} \sigma_{i,-q} \right> = (cq^2)^{-1}$이며, $\sum_q$는 $L^d (2\pi)^{-d} \int d^d q$에 대응된다. 스핀의 $n$개의 성분들이 모두 같은 방식으로 정리되어
 \begin{eqnarray*}
-\left< \phi^2 \right> &=& n (2\pi)^{-d} \int d^d q (cq^2)^{-1}\\
+\left< \phi^2 \right> = n\left< \phi_i^2 \right> &=& n (2\pi)^{-d} \int d^d q (cq^2)^{-1}\\
 &=& n \int_{\Lambda/s}^{\Lambda} dq ~K_d~ q^{d-1} (cq^2)^{-1} = n_c \left(1-s^{2-d} \right)
 \end{eqnarray*}
 이며, 이 때 $n_c \equiv \frac{n}{c} K_d \Lambda^{d-2} / (d-2)$로 정의된다.
-==== $\sigma^4$의 평균====
+==== $\left< \sigma^4 \right>$의 계산====
+$\sigma$가 벡터라는 사실에 유의해서 써보면
+$$\left< \sigma^4 \right> = \sigma'^4 + 2\sigma'^2 \left< \phi^2 \right> + 4 \left< (\phi \cdot \sigma')^2 \right> + \left< \phi^4 \right>$$
+인데 이 중 $\left< \phi^2 \right>$까지는 이미 위에서 구했으므로 마지막 두 항을 살펴보자.
+\begin{eqnarray*}
+\left< (\phi \cdot \sigma')^2 \right> &=& \sum_{ij} \sigma'_i \sigma'_j \left< \phi_i \phi_j \right>\\
+&=& \sum_i {\sigma'}_i^2 \left< \phi_i^2 \right> = \frac{1}{n} \left< \phi^2 \right> \sum_i {\sigma'}_i^2\\
+&=& \frac{1}{n} \left< \phi^2 \right> \sigma'^2\\
+&=& \frac{n_c}{n} \left( 1-s^{2-d} \right) \sigma'^2\\
+\left< \phi^4 \right> &=& \left< \sum_i \phi_i^2 \sum_j \phi_j^2 \right>\\
+&=& \left< \sum_{i=j} \phi_i^2 \phi_j^2 + 2 \sum_{i>j} \phi_i^2 \phi_j^2 \right>\\
+&=& 3n \left< \phi_i^2 \right>^2 + 2 \frac{n(n-1)}{2} \left< \phi_i^2 \right>^2\\
+&=& (n^2+2n) \left< \phi_i^2 \right>^2\\
+&=& (n^2+2n) \left[ \frac{n_c}{n} \left( 1-s^{2-d} \right) \right]^2
+\end{eqnarray*}
+==== $\left< \Delta H \right>$====
+위의 표현식들을 대입하면
+$$\left< \Delta H \right> = \frac{1}{2} \int d^d x \left\{ r_0 \left[ \sigma'^2 + n_c(1-s^{2-d}) \right] + \frac{1}{4} u \left[ \sigma'^4 + 2\sigma'^2 n_c (1-s^{2-d}) + 4\sigma'^2 \frac{n_c}{n} (1-s^{2-d}) + (n^2+2n) \left( \frac{n_c}{n} \right)^2 (1-s^{2-d})^2 \right] \right\}$$
+인데, 적분 안의 내용 중 $\sigma'^2$과 $\sigma'^4$에 비례하는 항끼리 묶고 나머지를 $\Delta AL^d$라고 놓으면 다음처럼 쓸 수 있다:
+$$\left< \Delta H \right> = \frac{1}{2} \int d^d x \left\{ \left[ r_0 + u\left( \frac{n}{2}+1 \right) \frac{n_c}{n} (1-s^{2-d}) \right] \sigma'^2 + \frac{1}{4} u\sigma'^4 \right\} + \Delta A L^d.$$
+==== $\sigma \to s^{1-\eta/2} \sigma_{sk}$====
 ======참고문헌======
   * Shang-Keng Ma, //Modern Theory of Critical Phenomena// (Westview Press, 1976, 2000).