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물리:가우스_고정점 [2018/05/10 00:14] – [$\sigma^4$의 평균] admin | 물리:가우스_고정점 [2018/05/10 14:53] – [$\sigma \to s^{1-\eta/2} \sigma_{sk}$] admin | ||
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스핀 변수를 [[수학: | 스핀 변수를 [[수학: | ||
- | $$ H = \frac{1}{2} \sum_{i,k} (r_0 + ck^2) \left| \sigma_{ik} \right|^2 + \frac{u}{8} L^{-d} \sum_{k, | + | $$ H = \frac{1}{2} \sum_{i,k} (r_0 + ck^2) \left| \sigma_{i,k} \right|^2 + \frac{u}{8} L^{-d} \sum_{k, |
$i$는 스핀의 성분을 나타내는 인덱스이고 $k$는 $d$차원 역공간(reciprocal space)의 벡터이다. | $i$는 스핀의 성분을 나타내는 인덱스이고 $k$는 $d$차원 역공간(reciprocal space)의 벡터이다. | ||
Line 67: | Line 67: | ||
$$\left< \Delta H \right> = \frac{1}{2} \int d^d x \left( r_0 \left< \sigma^2 \right> + \frac{1}{4} u \left< \sigma^4 \right> \right).$$ | $$\left< \Delta H \right> = \frac{1}{2} \int d^d x \left( r_0 \left< \sigma^2 \right> + \frac{1}{4} u \left< \sigma^4 \right> \right).$$ | ||
- | ==== $\sigma^2$의 | + | ==== $\left< |
스핀 변수 $\sigma$의 $i$ 번째 성분 $\sigma_i$를 파수에 따라 두 부분으로 나누어 적어보자. 즉 | 스핀 변수 $\sigma$의 $i$ 번째 성분 $\sigma_i$를 파수에 따라 두 부분으로 나누어 적어보자. 즉 | ||
$$\sigma_i = \sigma_i' | $$\sigma_i = \sigma_i' | ||
Line 86: | Line 86: | ||
이며, 이 때 $n_c \equiv \frac{n}{c} K_d \Lambda^{d-2} / (d-2)$로 정의된다. | 이며, 이 때 $n_c \equiv \frac{n}{c} K_d \Lambda^{d-2} / (d-2)$로 정의된다. | ||
- | ==== $\sigma^4$의 | + | ==== $\left< |
$\sigma$가 벡터라는 사실에 유의해서 써보면 | $\sigma$가 벡터라는 사실에 유의해서 써보면 | ||
Line 102: | Line 102: | ||
&=& (n^2+2n) \left[ \frac{n_c}{n} \left( 1-s^{2-d} \right) \right]^2 | &=& (n^2+2n) \left[ \frac{n_c}{n} \left( 1-s^{2-d} \right) \right]^2 | ||
\end{eqnarray*} | \end{eqnarray*} | ||
+ | |||
+ | ==== $\left< \Delta H \right> | ||
+ | |||
+ | 위의 표현식들을 대입하면 | ||
+ | $$\left< \Delta H \right> = \frac{1}{2} \int d^d x \left\{ r_0 \left[ \sigma' | ||
+ | 인데, 적분 안의 내용 중 $\sigma' | ||
+ | $$\left< \Delta H \right> = \frac{1}{2} \int d^d x \left\{ \left[ r_0 + u\left( \frac{n}{2}+1 \right) \frac{n_c}{n} (1-s^{2-d}) \right] \sigma' | ||
+ | |||
+ | ==== $\sigma \to s^{1-\eta/ | ||
======참고문헌====== | ======참고문헌====== | ||
* Shang-Keng Ma, //Modern Theory of Critical Phenomena// (Westview Press, 1976, 2000). | * Shang-Keng Ma, //Modern Theory of Critical Phenomena// (Westview Press, 1976, 2000). |