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물리:가우스_고정점 [2018/05/10 14:41] – [$\sigma^2$의 평균] admin | 물리:가우스_고정점 [2018/05/10 15:28] – [$\sigma_k \to s^{1-\eta/2} \sigma_{sk}$의 계산] admin | ||
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$$\left< \Delta H \right> = \frac{1}{2} \int d^d x \left( r_0 \left< \sigma^2 \right> + \frac{1}{4} u \left< \sigma^4 \right> \right).$$ | $$\left< \Delta H \right> = \frac{1}{2} \int d^d x \left( r_0 \left< \sigma^2 \right> + \frac{1}{4} u \left< \sigma^4 \right> \right).$$ | ||
- | ==== $\left< \sigma^2 \right> | + | ==== $\left< \sigma^2 \right>$의 계산==== |
스핀 변수 $\sigma$의 $i$ 번째 성분 $\sigma_i$를 파수에 따라 두 부분으로 나누어 적어보자. 즉 | 스핀 변수 $\sigma$의 $i$ 번째 성분 $\sigma_i$를 파수에 따라 두 부분으로 나누어 적어보자. 즉 | ||
$$\sigma_i = \sigma_i' | $$\sigma_i = \sigma_i' | ||
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이며, 이 때 $n_c \equiv \frac{n}{c} K_d \Lambda^{d-2} / (d-2)$로 정의된다. | 이며, 이 때 $n_c \equiv \frac{n}{c} K_d \Lambda^{d-2} / (d-2)$로 정의된다. | ||
- | ==== $\sigma^4$의 | + | ==== $\left< |
$\sigma$가 벡터라는 사실에 유의해서 써보면 | $\sigma$가 벡터라는 사실에 유의해서 써보면 | ||
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&=& (n^2+2n) \left[ \frac{n_c}{n} \left( 1-s^{2-d} \right) \right]^2 | &=& (n^2+2n) \left[ \frac{n_c}{n} \left( 1-s^{2-d} \right) \right]^2 | ||
\end{eqnarray*} | \end{eqnarray*} | ||
+ | |||
+ | ==== $\left< \Delta H \right> | ||
+ | |||
+ | 위의 표현식들을 대입하면 | ||
+ | $$\left< \Delta H \right> = \frac{1}{2} \int d^d x \left\{ r_0 \left[ \sigma' | ||
+ | 인데, 적분 안의 내용 중 $\sigma' | ||
+ | $$\left< \Delta H \right> = \frac{1}{2} \int d^d x \left\{ \left[ r_0 + u\left( \frac{n}{2}+1 \right) \frac{n_c}{n} (1-s^{2-d}) \right] \sigma' | ||
+ | |||
+ | ==== $\sigma_k \to s^{1-\eta/ | ||
+ | |||
+ | 가우스 고정점에서 $\eta=0$이므로 실제로는 $\sigma = s \sigma_{sk}$이다. | ||
+ | 실공간에서 보면 [[물리: | ||
+ | \begin{eqnarray*} | ||
+ | \left< \Delta H \right> | ||
+ | &=& \frac{1}{2} \int d^d x \left( r_0' \sigma^2 + \frac{1}{4} u' \sigma^4 \right) + \Delta A L^d | ||
+ | \end{eqnarray*} | ||
+ | 로서, [[물리: | ||
+ | \begin{eqnarray*} | ||
+ | r_0' &=& s^2 \left[ r_0 + u \left( \frac{n}{2}+1 \right) \frac{n_c}{n} (1-s^{2-d}) \right]\\ | ||
+ | u' &=& s^{4-d} u. | ||
+ | \end{eqnarray*} | ||
+ | 혹은 $B \equiv \left( \frac{n}{2}+1 \right) \frac{n_c}{n}$로 줄인 다음 행렬로 쓰면 | ||
+ | $$ \begin{pmatrix} r_0' \\ u' \end{pmatrix}= | ||
+ | \begin{pmatrix} s^2 & (s^2 - s^{4-d})B \\ 0 & s^{4-d} \end{pmatrix} | ||
+ | \begin{pmatrix} r_0 \\ u \end{pmatrix}$$ | ||
+ | 이다. 이는 가우스 고정점 $\mu^\ast = (0,0,c)$ 근방에서 $\mu = (r_0, u, c)$가 [[물리: | ||
+ | |||
+ | 고유값 분석을 해보면 첫 번째 고유값은 $s^{y_1} = s^2$으로 그에 해당하는 고유 벡터는 $\vec{e}_1 = \binom{1}{0}$인데, | ||
+ | 외부 자기장은 $h' = h s^{\frac{1}{2} (d-\eta)+1}$로 [[물리: | ||
+ | |||
+ | 다른 한편으로, | ||
+ | 따라서 방금 앞에서 구한 가우스 고정점의 임계 지수들은 $d> | ||
+ | |||
+ | ======함께 보기====== | ||
+ | [[물리: | ||
======참고문헌====== | ======참고문헌====== | ||
* Shang-Keng Ma, //Modern Theory of Critical Phenomena// (Westview Press, 1976, 2000). | * Shang-Keng Ma, //Modern Theory of Critical Phenomena// (Westview Press, 1976, 2000). |