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물리:랑주뱅_방정식 [2014/12/15 14:35] – 새로 만듦 admin | 물리:랑주뱅_방정식 [2016/08/17 11:19] – [참고문헌] admin | ||
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$$ m \frac{dv}{dt} = f(t) $$ | $$ m \frac{dv}{dt} = f(t) $$ | ||
이다. | 이다. | ||
- | 여기에서 다시 시간 척도에 따라 $f(t)$를 둘로 나누는데, | + | 여기에서 다시 시간 척도에 따라 $f(t)$를 둘로 나누는데, |
$$ m \frac{dv}{dt} = - \alpha v + F(t). $$ | $$ m \frac{dv}{dt} = - \alpha v + F(t). $$ | ||
+ | 보다 체계적인 유도 과정은 모리-쯔완직(Mori-Zwanzig) 사영연산자 방식을 사용한다. | ||
+ | =====주의 사항===== | ||
+ | 첫 번째, 이 방정식이 기술하는 영역은 $10^{-13}$ 초보다는 충분히 큰, 대체로 $10^{-6}$ 초 정도의 시간 척도이다. 따라서 랑주뱅 방정식을 다루면서 시간 $t$가 0으로 가는 영역을 다룰 때에는 그것이 실제 수학적인 0이 아니라 $10^{-6}$ 초보다는 매우 작지만 $10^{-13}$ 초보다는 여전히 큰 영역으로 간주해야 한다. | ||
+ | 두 번째, 미시적인 동역학을 뭉뚱그리는 과정에서 랑주뱅 방정식은 비가역성을 가지게 된다. 즉 미시적인 운동방정식은 시간을 $t$에서 $-t$로 변환할 때에 불변하지만 랑주뱅 방정식은 $-\alpha v$ 항으로 인해 그런 성질을 잃어버린다. 예컨대 $\alpha=0$인 진공에서 속도 $v_0$로 던져진 입자를 생각해본다면, | ||
+ | ======확산 계수====== | ||
+ | 항등식 $ \frac{d}{dt} (x\dot{x}) = x \ddot{x} + \dot{x}^2$ | ||
+ | 를 이용해 랑주뱅 방정식의 양변에 x를 곱하고 다음처럼 고쳐적자. | ||
+ | $$ m\frac{d}{dt} (x\dot{x}) = m \dot{x}^2 - \alpha x\dot{x} + xF(t).$$ | ||
+ | 평균을 취하면, $F$는 $x$에 상관 없이 요동하고 있으므로 $\left< | ||
+ | 또, 온도 $T$인 평형 상태에서 $\frac{1}{2} m \left< | ||
+ | $$ m\frac{d}{dt} \left< x\dot{x} \right> = k_B T - \alpha \left< x\dot{x} \right> | ||
+ | 이 미분방정식의 해는 | ||
+ | $\left< x \dot{x} \right> = \frac{k_B T}{\alpha} \left( 1 - e^{-\alpha t / m} \right)$ | ||
+ | 이다. 그런데 $\frac{1}{2} \frac{d}{dt} \left< x^2 \right> = \left<x \dot{x} \right> | ||
+ | $$\frac{1}{2} \frac{d}{dt} \left< x^2 \right> = \frac{k_B T}{\alpha} \left( 1 - e^{-\alpha t / m} \right).$$ | ||
+ | 양변을 적분하면 | ||
+ | $$\left< x^2 \right> = \frac{2k_B T}{\alpha} \left[ t - \frac{m}{\alpha} \left( 1-e^{-\alpha t/m} \right) \right] $$ | ||
+ | 이고, 따라서 $t \gg \frac{m}{\alpha}$에서 | ||
+ | $\left< x^2 \right> \approx \frac{2k_B T}{\alpha} t$이다. 확산 계수 $D$를 $\left< x^2 \right> \approx 2Dt$라 적으므로, | ||
+ | ======요동-흩어지기 정리 (Fluctuation-Dissipation Theorem)====== | ||
+ | =====1종 요동-흩어지기 정리 (그린-쿠보 관계식)===== | ||
+ | 매우 작은 시간 $\tau$를 가지고 $\dot{v}(t) \approx \tau^{-1} \left[ v(t+\tau) - v(t) \right]$라고 쓸 수 있다. | ||
+ | 이 식을 랑주뱅 방정식에 대입하고 양변에 어떤 초기 시점의 $v(0)$를 곱하면 아래의 식을 얻는다: | ||
+ | $$\tau^{-1} \left[ v(0)v(t+\tau) - v(0)v(\tau) \right] = -\frac{\alpha}{m} v(0)v(t) + \frac{v(0) F(t)}{m}.$$ | ||
+ | 양변에 평균을 취하면, $F$는 $v$에 무관하므로 $\left<F \right> = 0$으로부터 마지막 항이 사라진다. 따라서 | ||
+ | $$ \frac{d}{dt} \left< v(0) v(t) \right> = -\frac{\alpha}{m} \left< v(0) v(t) \right> | ||
+ | 이고 이를 풀면 속도의 자체 상관 관계가 $\left< v(0) v(t) \right> = \left< v(0)^2 \right> e^{-\alpha t/ | ||
+ | $$ \int_0^{\infty} dt \left< v(0) v(t) \right> = \alpha^{-1} k_B T = D$$ | ||
+ | 를 얻는다. 일정한 힘 $F$가 주어졌을 때에 종단 속도가 $v=\alpha^{-1} F$이기 때문에 이동도 $\alpha^{-1}$를 일종의 응답 함수로 볼 수 있다. 따라서 위의 관계식은 입자 속도 $v$의 요동과 응답을 관계짓는 식이다. 물론 이 때의 암묵적인 가정은 우리가 가한 힘에도 불구하고 전체 계가 여전히 평형에 매우 가까이 머무르고 있다는 것이다. | ||
+ | =====2종 요동-흩어지기 정리===== | ||
+ | 서로 다른 시점의 $F$가 아무 관계도 없어서 $\left< F(t) F(t') \right> = A \delta (t-t' | ||
+ | $$v(t) = e^{-\alpha t/m} v(0) + \int_0^t dt' e^{-\alpha(t-t' | ||
+ | 이를 제곱하고 평균을 취하면 $F$가 하나만 들어가는 항들은 $\left< | ||
+ | $$\left< v(t)^2 \right> = e^{-2\alpha t/m} \left< v(0)^2 \right> + \int_0^t dt' \int_0^t dt'' | ||
+ | 가정에 의해 $\left< F(t') F(t'' | ||
+ | $$\left< v(t)^2 \right> = e^{-2\alpha t/m} \left< v(0)^2 \right> + e^{-2\alpha t/m} \frac{A}{2m\alpha} \left(e^{2\alpha t/m}-1 \right)$$ | ||
+ | 이다. 시간이 충분히 흘러서 $t \gg m/ | ||
+ | $$\alpha = \frac{A}{2k_B T} = \frac{1}{k_B T} \int_0^\infty dt \left< F(t) F(0) \right> | ||
+ | 마지막의 적분 표현식은 [[수학: | ||
+ | ======비가역성====== | ||
- | + | ======함께 보기====== | |
- | ======참고 문헌====== | + | [[물리: |
- | *F. Reif, Fundamentals of Statistical and Thermal Physics (McGraw-Hill, NY, 1965). | + | |
+ | ======참고문헌====== | ||
+ | *F. Reif, // | ||
+ | *가와자키 쿄지 지음, 김봉수, | ||
+ | *[[https:// | ||
+ | *[[https:// | ||
+ | *S. J. Blundell and K. M. Blundell, //Concepts in Thermal Physics//, 2nd ed. (Oxford Univ. Press, Oxford, 2010). |