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물리:리우빌_정리 [2018/11/20 19:34] – [$N=1$일 때] minjae | 물리:리우빌_정리 [2018/11/29 16:38] – minjae | ||
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======정리====== | ======정리====== | ||
- | $N$ 개의 $q_i$ 좌표계가 주어졌을 때, $(p_i,q_i)$ 위상공간에서 $2N$ 차원의 닫힌 | + | $N$ 개의 $q_i$ 좌표계가 주어졌을 때, $(p_i,q_i)$ 위상공간에서 $2N$ 차원의 닫힌 |
+ | =====증명===== | ||
+ | 증명의 간결함을 위해서 $N=1$이라고 하자. 이 경우 위상 공간의 차원은 $2N$이다. 이 공간 위에서 한 점 $(p,q)$의 속도를 $\vec v=(\dot p, \dot q)$이라 하자. | ||
+ | 초기 시간에서 임의의 폐곡선을 $C_0$라 하자. 이 폐곡선 위의 점들이 $dt$만큼의 시간이 지났을 때의 이루는 새로운 폐곡선을 $C_{dt}$라고 하자(그림 참조). | ||
- | ======증명====== | + | {{물리: |
- | =====$N=1$일 때===== | + | |
- | $N=1$이므로 위상 공간의 차원은 $2N$이다. 이 공간 위에서 한 점 $(p,q)$의 속도를 $\vec v=(\dot p, \dot q)$이라 하자. | + | |
- | 초기 시간에서 임의의 폐곡선을 $C_0$라 하고 $dt$만큼의 시간이 지났을 때의 이 폐곡선을 $C_{dt}$라고 하자(그림 참조). | + | |
+ | $C_0$에서 $C_{dt}$로 이동할 때 곡선 이 가지는 넓이의 변화를 계산해보자. 점 $A$와 $B$가 $C_0$에서 $C_{dt}$로 이동하는 동안 쓸고 지나간 면적은 $dl\times dh$이다. | ||
+ | |||
+ | {{물리: | ||
+ | |||
+ | $\hat v$를 $C_0$에 수직하며 폐곡선 바깥을 가리키는 방향의 단위 벡터라고 했을 때 $dh=\hat v\cdot\vec vdt$이다. 그러므로 그림에서 어두운 면의 넓이는 $dldh = dl(\hat n\cdot\vec vdt)$이다. 단위 벡터의 방향이 폐곡선 바깥을 향하기 때문에 아래의 위의 그림에서 점 $A$와 $B$가 속한 평행사변형의 넓이가 양의 값을 가진다. 반면 어떤 평행사변형은 음의 변화량을 가지는 것을 알 수 있다. 즉, 폐곡선 위의 점들이 쓸고 지나간 면적의 넓이를 나타낸 평행사변형의 넓이는 사실 $C_0$의 넓이에서 늘어난 부분과 줄어든 부분을 나타낸다는 것을 주목하자. 전체 넓이의 변화량은 조그만 평행사변형의 넓이의 합이기 떄문에 다음과 같이 구할 수 있다. | ||
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+ | $$dA = \int_C(\hat n\cdot \vec vdt)dl$$ | ||
+ | |||
+ | 그리고 위 식으로 부터 시간 변화에 의한 넓이의 변화는 | ||
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+ | $$\frac{dA}{dt} = \int_C\vec v\cdot(\hat ndl)$$ | ||
+ | |||
+ | 임을 알 수 있다. 우변을 발산정리를 사용하면 아래처럼 정리할 수 있다. | ||
+ | |||
+ | \begin{align*} | ||
+ | \frac{dA}{dt} &= \int_C\vec v\cdot(\hat ndl) \\ | ||
+ | &= \int_A\nabla\cdot\vec vdA \\ | ||
+ | &= \int_A\nabla\cdot(\dot{q}, | ||
+ | &= \int_A\left(\frac{\partial\dot{q}}{\partial q}+\frac{\partial\dot{p}}{\partial p}\right)dA \\ | ||
+ | &= \int_A\left(\frac{\partial}{\partial q}\left(\frac{\partial H}{\partial p}\right)+\frac{\partial q}{\partial p}\left(-\frac{\partial H}{\partial q}\right)\right)dA \\ | ||
+ | &= \int_A\left(\frac{\partial^2H}{\partial q\partial p}-\frac{\partial^2H}{\partial p\partial q}\right)dA \\ | ||
+ | &= 0. | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | |||
+ | 그러므로 위상 공간에서 폐곡선의 면적은 위상 공간에서 폐곡선이 위상 공간에서 이동하더라도 변하지 않는다. |