Differences
This shows you the differences between two versions of the page.
Both sides previous revision Previous revision Next revision | Previous revision | ||
물리:리우빌_정리 [2018/11/20 19:35] – [$N=1$일 때] minjae | 물리:리우빌_정리 [2023/09/05 15:46] (current) – external edit 127.0.0.1 | ||
---|---|---|---|
Line 1: | Line 1: | ||
======정리====== | ======정리====== | ||
- | $N$ 개의 $q_i$ 좌표계가 주어졌을 때, $(p_i,q_i)$ 위상공간에서 $2N$ 차원의 닫힌 | + | $N$ 개의 $q_i$ 좌표계가 주어졌을 때, $(p_i,q_i)$ 위상공간에서 $2N$ 차원의 닫힌 |
+ | =====증명===== | ||
+ | 증명의 간결함을 위해서 $N=1$이라고 하자. 이 경우 위상 공간의 차원은 $2N$이다. 이 공간 위에서 한 점 $(p,q)$의 속도를 $\vec v=(\dot p, \dot q)$이라 하자. | ||
+ | 초기 시간에서 임의의 폐곡선을 $C_0$라 하자. 이 폐곡선 위의 점들이 $dt$만큼의 시간이 지났을 때의 이루는 새로운 폐곡선을 $C_{dt}$라고 하자(그림 참조). | ||
- | ======증명====== | + | {{물리: |
- | =====$N=1$일 때===== | + | |
- | $N=1$이므로 | + | $C_0$에서 $C_{dt}$로 이동할 |
- | 초기 시간에서 | + | |
- | {{물리: | + | {{물리: |
+ | |||
+ | $\hat v$를 $C_0$에 수직하며 폐곡선 바깥을 가리키는 방향의 단위 벡터라고 했을 때 $dh=\hat v\cdot\vec vdt$이다. 그러므로 | ||
+ | |||
+ | $$dA = \int_C(\hat n\cdot \vec vdt)dl$$ | ||
+ | |||
+ | 그리고 위 식으로 부터 시간 변화에 | ||
+ | |||
+ | $$\frac{dA}{dt} = \int_C\vec v\cdot(\hat ndl)$$ | ||
+ | |||
+ | 임을 알 수 있다. 우변을 발산정리를 사용하면 아래처럼 정리할 수 있다. | ||
+ | |||
+ | \begin{align*} | ||
+ | \frac{dA}{dt} &= \int_C\vec v\cdot(\hat ndl) \\ | ||
+ | &= \int_A\nabla\cdot\vec vdA \\ | ||
+ | &= \int_A\nabla\cdot(\dot{q},\dot{p})dA \\ | ||
+ | &= \int_A\left(\frac{\partial\dot{q}}{\partial q}+\frac{\partial\dot{p}}{\partial p}\right)dA \\ | ||
+ | &= \int_A\left(\frac{\partial}{\partial q}\left(\frac{\partial H}{\partial p}\right)+\frac{\partial q}{\partial p}\left(-\frac{\partial H}{\partial q}\right)\right)dA \\ | ||
+ | &= \int_A\left(\frac{\partial^2H}{\partial q\partial p}-\frac{\partial^2H}{\partial p\partial q}\right)dA \\ | ||
+ | &= 0. | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | |||
+ | 그러므로 위상 공간에서 폐곡선의 | ||
+ | |||
+ | 때때로 리우빌 정리는 위상 공간에서 밀도의 변화가 없음을 의미한다고 간단히 언급된다. 하지만 |