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물리:무작위장_이징_모형 [2018/05/15 17:48] – [온곳으로 연결된 경우] admin | 물리:무작위장_이징_모형 [2018/05/16 18:11] – [자유 에너지의 계산] admin | ||
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Line 5: | Line 5: | ||
======온곳으로 연결된 경우====== | ======온곳으로 연결된 경우====== | ||
- | 모든 스핀이 모든 스핀과 연결되어 평균장 이론이 정확해지는 경우이다. 이 때의 해밀토니안은 아래와 같다: | + | |
+ | =====해밀토니안===== | ||
+ | 모든 스핀이 모든 스핀과 연결되어 | ||
$$H = -\frac{J}{N} \sum_{ij} s_i s_j - \sum s_i h_i.$$ | $$H = -\frac{J}{N} \sum_{ij} s_i s_j - \sum s_i h_i.$$ | ||
$1/N$은 해밀토니안을 크기 변수로 만들기 위해 넣었고, $h_i$가 스핀 $i$마다 다르게 주어져있음에 주의할 것. | $1/N$은 해밀토니안을 크기 변수로 만들기 위해 넣었고, $h_i$가 스핀 $i$마다 다르게 주어져있음에 주의할 것. | ||
- | + | 분배 함수는 다음과 같다: | |
- | 분배 함수는 | + | $$Z = \sum_{\left\{ s_i = \pm 1 \right\}} e^{-\beta H}.$$ |
- | $$Z = \sum_{\left\{ s_i = \pm 1 \right\}} e^{\beta H}.$$ | + | |
이로부터 얻어지는 헬름홀츠 자유 에너지는 | 이로부터 얻어지는 헬름홀츠 자유 에너지는 | ||
$$\left< F \right> | $$\left< F \right> | ||
이며 이 때 $\left< \right> | 이며 이 때 $\left< \right> | ||
- | $\left< ln Z \right> | + | =====복제 방법===== |
+ | $\left< | ||
$$\ln Z = \lim_{n \to 0} \frac{Z^n-1}{n}.$$ | $$\ln Z = \lim_{n \to 0} \frac{Z^n-1}{n}.$$ | ||
$Z^n$의 평균은 다음처럼 구해지며 | $Z^n$의 평균은 다음처럼 구해지며 | ||
$$\left< Z^n \right> | $$\left< Z^n \right> | ||
- | 여기에서 $\alpha$는 몇 번째 복제본인지 가리키기 위한 인덱스이다. | + | 여기에서 $\alpha$는 몇 번째 복제본인지 가리키기 위한 인덱스로 $1$부터 $n$까지의 정수이다. |
먼저 다음의 결과를 유도해놓자: | 먼저 다음의 결과를 유도해놓자: | ||
\begin{eqnarray*} | \begin{eqnarray*} | ||
Line 40: | Line 42: | ||
따라서 | 따라서 | ||
\begin{eqnarray*} | \begin{eqnarray*} | ||
- | \left< Z^n \right> | + | \left< Z^n \right> |
- | &=& \left( \frac{N}{2\pi} \right)^{n/ | + | & |
- | &=& \left( \frac{N}{2\pi} \right)^{n/ | + | & |
\end{eqnarray*} | \end{eqnarray*} | ||
이며 이 때 $\tilde{x}_\alpha \equiv x_\alpha / \sqrt{N}$으로 정의된다. | 이며 이 때 $\tilde{x}_\alpha \equiv x_\alpha / \sqrt{N}$으로 정의된다. | ||
+ | 스핀 배치에 대한 합, $\sum_{\left\{ s_i^\alpha = \pm 1 \right\}}$에 걸리는 부분만을 먼저 생각해보자: | ||
+ | $$\sum_{\left\{ s_i^\alpha = \pm 1 \right\}} \exp \left\{ \sum_{i=1}^N \left[ \sqrt{2\beta J} \sum_\alpha \tilde{x}_\alpha s_i^\alpha + \frac{1}{2} \beta^2 \sigma^2 \left( \sum_\alpha s_i^\alpha \right)^2 \right] \right\} = | ||
+ | \left\{ \sum_{\left\{ s^\alpha = \pm 1 \right\}} \exp \left[ \sqrt{2\beta J} \sum_\alpha \tilde{x}_\alpha s^\alpha + \frac{1}{2} \beta^2 \sigma^2 \left( \sum_\alpha s^\alpha \right)^2 \right] \right\}^N.$$ | ||
+ | 위 식의 우변은 $Z_1^N$의 형태로 쓸 수 있으며 이 때 | ||
+ | $$Z_1(\tilde{x}_\alpha) \equiv \sum_{\left\{ s^\alpha = \pm 1 \right\}} \exp \left[ \sqrt{2\beta J} \sum_\alpha \tilde{x}_\alpha s^\alpha + \frac{1}{2} \beta^2 \sigma^2 \left( \sum_\alpha s^\alpha \right)^2 \right]$$ | ||
+ | 로서 스핀 하나에 대한 분배 함수이다. 지수 함수 안의 내용을 $A(\{s^\alpha\}, | ||
+ | $Z_1(\tilde{x}_\alpha) = \sum_{\left\{ s^\alpha = \pm 1 \right\}} \exp \left[ A(\{s^\alpha\}, | ||
+ | |||
+ | 지금까지의 내용을 정리하면 다음과 같다: | ||
+ | \begin{eqnarray*} | ||
+ | \left< Z^n \right> | ||
+ | &=& \left( \frac{N}{2\pi} \right)^{n/ | ||
+ | \end{eqnarray*} | ||
+ | |||
+ | =====안장점 근사===== | ||
+ | |||
+ | 적분 계산을 위해 [[: | ||
+ | \begin{eqnarray*} | ||
+ | 0 &=& \frac{\partial}{\partial \tilde{x}_\alpha} \left[ - \frac{1}{2}\tilde{x}_\alpha^2 + \ln Z_1(\tilde{x}_\alpha) \right]\\ | ||
+ | &=& -\tilde{x}_\alpha + \frac{1}{Z_1} \frac{\partial Z_1}{\partial \tilde{x}_\alpha}\\ | ||
+ | &=& -\tilde{x}_\alpha + \frac{\sqrt{2\beta J} \sum_{\left\{ s^\alpha = \pm 1 \right\}} s^\alpha \exp[A(\{s^\alpha\}, | ||
+ | \end{eqnarray*} | ||
+ | 따라서 | ||
+ | $$\frac{\tilde{x}_\alpha}{\sqrt{2\beta J}} = \left< s^\alpha \right> | ||
+ | 인데 이것을 $m_\alpha$라고 부르자. 복제 대칭성이 있는 경우라면 $\alpha$에 상관없이 $m_\alpha = m$일 것이다. 우리는 이 대칭성이 존재하는 경우만을 다룬다. 이제 | ||
+ | $$\left< Z^n \right> | ||
+ | 이며, 여기에서 | ||
+ | $$ c \equiv \frac{\partial^2}{\partial \tilde{x}_\alpha^2} \left[ \frac{1}{2}\tilde{x}_\alpha^2 - \ln Z_1(\tilde{x}_\alpha) \right]_{\tilde{x}_\alpha = \sqrt{2\beta J}m} = | ||
+ | 1 - \left< ( s^\alpha - m )^2 \right> | ||
+ | 인데 $N \to \infty$에서 두 번째 항은 0으로 접근하므로 $\ln c$는 무시해도 좋다. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | =====$Z_1$의 계산===== | ||
+ | $\tilde{x}_\alpha = \sqrt{2\beta J} m$에서의 $Z_1$을 계산해보자. 먼저 아래처럼 적은 다음 | ||
+ | $$e^{A(\{s^\alpha \},m)} = \exp \left[ 2\beta J m \sum_\alpha s^\alpha + \frac{1}{2}\beta^2 \sigma^2 \left( \sum_\alpha s^\alpha \right)^2 \right]$$ | ||
+ | 지수함수 안의 제곱항을 [[: | ||
+ | $$\exp \left[ \frac{1}{2} \beta^2 \sigma^2 \left( \sum_\alpha s^\alpha \right)^2 \right] = \sqrt{\frac{1}{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty du \exp \left[ -\frac{u^2}{2} + \beta \sigma \left( \sum_\alpha s^\alpha \right) u \right] .$$ | ||
+ | 따라서 | ||
+ | $$e^{A\{s^\alpha \},m)} = \sqrt{\frac{1}{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty du \exp \left[ -\frac{u^2}{2} + (2\beta J m + \beta \sigma u) \left( \sum_\alpha s^\alpha \right) \right],$$ | ||
+ | \begin{eqnarray*} | ||
+ | Z_1 \left( \tilde{x}_\alpha = \sqrt{2\beta J}m \right) &=& \sum_{\left\{ s^\alpha = \pm 1 \right\}} e^{A(\{s^\alpha\}, | ||
+ | &=& \int \frac{du}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}u^2} \prod_{\alpha=1}^n \left[\sum_{s^\alpha = \pm 1} e^{(2\beta J m + \beta \sigma u) s^\alpha} \right]\\ | ||
+ | &=& \int \frac{du}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}u^2} \left[ 2 \cosh (2\beta J m + \beta \sigma u) \right]^n\\ | ||
+ | &=& \int \frac{du}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}u^2} \exp \left\{ n \ln \left[ 2 \cosh (2\beta J m + \beta \sigma u) \right] \right\}\\ | ||
+ | & | ||
+ | &=& 1 + n \int \frac{du}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}u^2} \ln \left[ 2 \cosh (2\beta J m + \beta \sigma u) \right] | ||
+ | \end{eqnarray*} | ||
+ | 이다. $n$이 작은 경우를 다루고 있으므로 $\ln (1+\epsilon) \approx \epsilon$임을 이용하면 | ||
+ | $$\lim_{n \to 0} \ln Z_1 = n \int \frac{du}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}u^2} \ln \left[ 2 \cosh (2\beta J m + \beta \sigma u) \right].$$ | ||
+ | |||
+ | =====자유 에너지의 계산===== | ||
+ | 지금까지 $n \ll 1$에서 다음을 구하였다: | ||
+ | \begin{eqnarray} | ||
+ | \left< Z^n \right> | ||
+ | & | ||
+ | \end{eqnarray} | ||
+ | 그러므로 | ||
+ | \begin{eqnarray} | ||
+ | \left< F \right> | ||
+ | &=& -N J m^2 - T N \int \frac{du}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}u^2} \ln \left[ 2 \cosh (2\beta J m + \beta \sigma u) \right] | ||
+ | \end{eqnarray} | ||
+ | 이다. | ||
+ | =====질서 변수===== | ||
+ | 이 자유 에너지를 최소로 만드는 질서변수 $m$을 찾으면 | ||
+ | $$0 = \frac{\partial \left< F \right> | ||
+ | 으로부터 | ||
+ | \begin{eqnarray} | ||
+ | m &=& \int \frac{du}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}u^2} | ||
+ | &=& \int \frac{dh}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} e^{-\frac{h^2}{2 \sigma^2}} | ||
+ | &=& \int dh P(h) \tanh[\beta(2 J m + \sigma u)] | ||
+ | \end{eqnarray} | ||
+ | 을 얻는다. 중간에 $h = \sigma u$로 변수를 치환했다. | ||
+ | 이 방정식을 자체모순 없이 만족시키는 $m$을 구하면 된다. | ||
+ | ======참고문헌====== | ||
+ | * https:// | ||
+ | * T. Schneider and E. Pytte, // |