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물리:범함수_방정식_functional_equation [2022/08/18 15:13] – minwoo | 물리:범함수_방정식_functional_equation [2022/09/01 11:50] – minwoo | ||
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Line 4: | Line 4: | ||
$$g(x)=\alpha g^2 \left(\frac {x}{\alpha} \right).$$ | $$g(x)=\alpha g^2 \left(\frac {x}{\alpha} \right).$$ | ||
이때 $g^2(x)$는 $g(x)$의 함숫값을 제곱한 것이 아니라, $g(x)$의 함숫값을 한번 더 $g(x)$에 대입하는 ' | 이때 $g^2(x)$는 $g(x)$의 함숫값을 제곱한 것이 아니라, $g(x)$의 함숫값을 한번 더 $g(x)$에 대입하는 ' | ||
- | 또한, 어떤 | + | 또한, 어떤 |
$\\$ | $\\$ | ||
(위의 방정식은 ' | (위의 방정식은 ' | ||
- | 이에 대해 더 자세히 설명하기 위해, 1차원 사상에 대한 추가적인 게시글을 작성 완료하게 되면 아래에 덧붙일 예정이다.)$\\$ | + | 이에 대해 더 자세히 설명하기 위해, 1차원 사상에 대한 추가적인 게시글을 작성 완료하게 되면 아래에 덧붙이겠다.)$\\$ |
$\\$ | $\\$ | ||
- | 이때, | + | $g(x)$는 |
- | $$g(x)=1+c_2x^2+c_4x^4+...$$ $\\$ | + | $$g(x)=1+bx^2+cx^3+dx^4+...$$ |
- | 그리고 주어진 문제 | + | 이때, $x$에 대한 1차항의 계수가 $0$인 이유는 $g(x)$가 $x=0$에서 극대값을 갖기 때문이며, |
+ | $\\$ | ||
+ | 그리고 주어진 문제는 다음과 같다 : '각각의 | ||
+ | ' | ||
====== 계수를 직접 구하기 ====== | ====== 계수를 직접 구하기 ====== | ||
- | 계산이 다소 번잡한 대신에, 가장 빠르게 접근할 수 있는 방법이 있다. $g(x)=1+c_2x^2+c_4x^4+...$ 라는 함수식을 그대로 이용하여 풀이하는 것이다. | + | 계산이 다소 번잡한 대신에, 가장 빠르게 접근할 수 있는 방법이 있다. $g(x)=1+bx^2+cx^3+dx^4+...$ 라는 함수식을 그대로 이용하여 풀이하는 것이다. |
- | 편리함을 위해 $g(x)=1+c_2x^2+c_4x^4$ 으로서 $x$에 대한 4차항 까지만 전개하였다고 가정하자. 그렇다면 $g^2(x)$는 $x$에 대한 16차항 까지 존재하는 식으로 표현이 될 것이며, | + | 편리함을 위해 $g(x)=1+bx^2+cx^3+dx^4$ 으로, $x$에 대한 4차항 까지만 전개하였다고 가정하자. 그렇다면 $g^2(x)$는 $x$에 대한 16차항 까지 존재하는 식으로 표현이 될 것이며, |
- | 그 수식 중에서 ($c_2$ 및 $c_4$를 구하기 위해서는) 0차항(상수항), | + | 그 수식 중에서 ($b$ 및 $c$, 그리고 $d$를 구하기 위해서는) 0차항(상수항), |
$\\$ | $\\$ | ||
이러한 풀이를 높은 효율로 계산할 수 있게 하는 도구들이 있다. (그 중 우리는 ' | 이러한 풀이를 높은 효율로 계산할 수 있게 하는 도구들이 있다. (그 중 우리는 ' | ||
- | 우선 아래와 같이 2차항과 4차항의 계수를 미지수로 설정해 준다. $c_2,\ c_4$로 표현하여도 되지만 작성의 편리함을 위해 $b,\ d$로 설정한다면 | + | 우선 아래와 같이 2차항, 3차항과 4차항의 계수를 미지수로 설정해 준다면, $g(x)$ 및 $\alpha g^2 \left(\frac {x}{\alpha} \right)$ 는 다음과 같다. $\\$ |
- | {{:물리:mathematica1.png?1150|}} | + | {{:물리:mathematica_수정_1.png?1700|}}$\\$ |
$\\$ | $\\$ | ||
- | 원하는 차수에 대응되는 각 계수를 뽑아내는 함수를 (아래와 같이) 이용하면, | + | 원하는 차수에 대응되는 각 계수를 뽑아내는 함수를 (아래와 같이) 이용하면, |
- | {{:물리:mathematica2.png?380|}}$\\$ | + | {{:물리:mathematica_수정_2.png?350|}}$\\$ |
$\\$ | $\\$ | ||
- | 이렇게 얻어진 0차, 2차, 4차항의 계수들은 각각 $1,\ b,\ d$ 와 같아야하며, | + | 이렇게 얻어진 0차, 2차, 3차, 그리고 |
그 3가지 조건과, 초반에 언급한 $\alpha< | 그 3가지 조건과, 초반에 언급한 $\alpha< | ||
- | {{:물리:mathematica3.png?700|}}$\\$ | + | {{:물리:mathematica_수정_3.png?1100|}}$\\$ |
$\\$ | $\\$ | ||
- | 즉, 일련의 과정에 따라 계산한 결과는 $c_2=-1.52224, | + | 즉, 일련의 과정에 따라 계산한 결과는 $b=-1.52224, |
$\\$ $\\$ | $\\$ $\\$ | ||
- | 아래에 표기한 **참고문헌**에 따르면, $c_2 \approx -1.5276, | + | 아래에 표기한 **참고문헌**에 따르면, $b \approx -1.5276, |
- | 따라서, 두 결과는 소수점 첫번째자리 까지는 잘 상응하지만 그 이후 소수점 자리 부터는 분명 오차를 보인다.$\\$ | + | 따라서, 두 결과는 소수점 첫 번째 자리 까지는 잘 상응하지만 그 이후 소수점 자리부터는 분명 오차를 보인다.$\\$ |
- | 해당 참고문헌에는 저자들에 의해 직접 사용된 numerical한 방법이 자세하게 묘사되어 있지 않지만, 어떤 이는 여러가지 방법을 통해 위의 오차를 줄여낼 수 있을 것이다.$\\$ $\\$ | + | 해당 참고문헌에는 저자들에 의해 직접 사용된 |
====== 참고문헌 ====== | ====== 참고문헌 ====== | ||
* Steven H. Strogatz, Nonlinear dynamics and chaos (CRC Press, 2015). | * Steven H. Strogatz, Nonlinear dynamics and chaos (CRC Press, 2015). |