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--- 물리:베테_가설_풀이_bethe_ansatz [2023/03/29 08:56] – minwoo
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 \frac{A_{321}}{A_{312}} = -\frac{z_2-1}{z_1-1}= B(z_2,z_1),\\
 $$
+이러한 결과들을 아래와 같이 정리할 수 있다.
+$$
+B(z_2,z_1) \equiv \frac{A_{213}}{A_{123}}, \ B(z_3,z_2) \equiv \frac{A_{132}}{A_{123}} \\
+B(z_3,z_1) \equiv \frac{A_{231}}{A_{213}}, \ B(z_3,z_1) \equiv \frac{A_{312}}{A_{132}} \\
+B(z_3,z_2) \equiv \frac{A_{321}}{A_{231}}, \ B(z_2,z_1) \equiv \frac{A_{321}}{A_{312}}
+$$
+$$ \\ $$
+$[5]$.
+이제, 파동 함수 $\psi(x_1,x_2,x_3)$에 다음과 같은 '주기적 경계 조건(PBC)'를 적용하고자 한다.
+$$\psi(x_2,x_3,x_1+L)=\psi(x_1,x_2,x_3)$$
+($x_1 < x_2 < x_3$ 이며 $x_2 < x_3 < x_1 +L$ 임에 유의하자.)
+$$ \\ $$
+이러한 조건을 위에서 도입했던 파동함수에 아래와 같이 적용한다.
+$$
+(\ A_{123}z_1^{x_2}z_2^{x_3}z_3^{x_1+L}
++A_{213}z_2^{x_2}z_1^{x_3}z_3^{x_1+L}
++A_{132}z_1^{x_2}z_3^{x_3}z_2^{x_1+L} \\
+\qquad \qquad \qquad +A_{312}z_3^{x_2}z_1^{x_3}z_2^{x_1+L}
++A_{231}z_2^{x_2}z_3^{x_3}z_1^{x_1+L}
++A_{321}z_3^{x_2}z_2^{x_3}z_1^{x_1+L}
+\ )
+$$
+$$
+=(\ \color{orange}{A_{123}z_1^{x_2}z_2^{x_3}z_3^{x_1}z_3^L}
++\color{purple}{A_{213}z_2^{x_2}z_1^{x_3}z_3^{x_1}z_3^L}
++\color{black}{A_{132}z_1^{x_2}z_3^{x_3}z_2^{x_1}z_2^L} \\
+\qquad \qquad \qquad+ \color{red}{A_{312}z_3^{x_2}z_1^{x_3}z_2^{x_1}z_2^L}
++\color{green}{A_{231}z_2^{x_2}z_3^{x_3}z_1^{x_1}z_1^L}
++\color{blue}{A_{321}z_3^{x_2}z_2^{x_3}z_1^{x_1}z_1^L}
+\ )
+$$
+$$
+=(\color{green}{A_{123}z_1^{x_1}z_2^{x_2}z_3^{x_3}}
++\color{black}{A_{213}z_2^{x_1}z_1^{x_2}z_3^{x_3}}
++\color{blue}{A_{132}z_1^{x_1}z_3^{x_2}z_2^{x_3}} \\
+\qquad \qquad \qquad +\color{orange}{A_{312}z_3^{x_1}z_1^{x_2}z_2^{x_3}}
++\color{red}{A_{231}z_2^{x_1}z_3^{x_2}z_1^{x_3}}
++\color{purple}{A_{321}z_3^{x_1}z_2^{x_2}z_1^{x_3}}
+\ )
+$$
+$$ \\ $$
+위의 풀이에 따라, 아래의 결과를 얻는다.
+$$
+z_1^L = \frac{A_{132}}{A_{321}} = \frac{A_{132}}{A_{312}}\frac{A_{312}}{A_{321}} = B(z_1,z_3)B(z_1,z_2)
+$$
+$$
+z_2^L = \frac{A_{213}}{A_{132}} = \frac{A_{213}}{A_{123}}\frac{A_{123}}{A_{132}} = B(z_2,z_1)B(z_3,z_2)
+$$
+$$
+z_3^L = \frac{A_{312}}{A_{123}} = \frac{A_{312}}{A_{132}}\frac{A_{132}}{A_{123}} = B(z_3,z_1)B(z_3,z_2)
+$$
+$$ \\ $$
+===== ASEP model =====
+TASEP 모형에 대해서 $N=1$, $N=2$, 그리고 $N=3$의 경우에 대해 풀이하였으므로
+'ASEP 모형'에 대한 다음의 결과와 비교할 수 있다.
+$$
+E = \sum_{j=1}^N (1-p/z_j - qz_j)
+$$
+그리고 $\{z_j\}$는 다음의 BAE를 만족한다.
+$$
+z_j^L = \prod_{l\ne j} \left[ -\frac{z_j-qz_jz_l -p}{z_l-qz_jz_l -p} \right].
+$$
+$$ \\ $$
+입자가 오른쪽으로만 이동하는 경우로서 $q=0$, $p=1$를 대입하면,
+앞서 수식과 함께 베테 가설 풀이로 살펴본 TASEP 모형의 결과들을 이해할 수 있다.
+$$ \\ $$
+===== 풀이 시 주의할 사항 =====
+앞서 소개한 [[물리:주기적_경계_조건_pbc_을_갖는_비대칭_단순_배타_과정_asep|[링크] ]]의 내용에 따라,
+ASEP 모형의 고유값 $E=0$는 곧 시간에 무관한 '정상 상태(stationary state)'에 해당하는 고유값이다.
+$$ \\ $$
+베테 가설 풀이를 진행하면, 이러한 $E=0$에 대해서 파동함수 $\psi(x_1,x_2,...,x_N)$이 $0$이 되는 것으로 잘못 이해할 수 있는 경우가 생긴다.
+가령, 위에서 $N=2$에 대한 TASEP 모형을 풀이할 때, 각 계수 사이의 비율에 대한 조건식을 다음과 같이 얻었다.
+$$ \frac{A_{21}}{A_{12}}=-\frac{1-z_2}{1-z_1}=-\frac{z_2-1}{z_1-1} $$
+$$ \\ $$
+이때, $E = \sum_{i=1}^2 (1-1/z_i)$가 $0$인 경우는 $z_1=z_2=1$인 경우로서 $z_1=z_2$가 서로 같은 경우이다. (아래의 '$z$에 대한 조건' 내용 참고.)
+따라서, $ \frac{A_{21}}{A_{12}}=-\frac{z-1}{z-1}= -1$으로서
+$z_1=z_2=z$로 두면 다음과 같은 이상한 결과를 얻게 될 수 있다.
+$$\psi(x_1,x_2)=A_{12}z^{x_1}z^{x_2} + A_{21}z^{x_1}z^{x_2}= A_{12}(z^{x_1}z^{x_2}-z^{x_1}z^{x_2})=0.$$
+$$ \\ $$
+그러나, 이것은 옳지 않다. 앞서 얻은 계수의 비율에 대한 조건은 원래 다음의 형태를 가졌다.
+$$
+\to A_{12}+A_{21}=A_{12}z_2+A_{21}z_1
+$$
+$$
+\to  A_{12}(1-z_2)=A_{21}(z_1-1)=-A_{21}(1-z_1)
+$$
+여기에서, **$z_1=z_2=1$이라면** 양변을 $0$으로 나눌 수 없으며
+계수 $A_{12}$와 $A_{21}$에 무관하게 방정식이 만족되므로
+$z_1=z_2=1$일 때는 (아래와 같이) 파동함수가 상수(constant)이다.
+$$\psi(x_1,x_2)=A_{12}z_1^{x_1}z_2^{x_2} + A_{21}z_2^{x_1}z_1^{x_2}=A_{12}+A_{21}.$$
+$$ \\ $$
+이러한 파동함수의 값은 규격화(normalization)를 통해서 결정 가능하다.
+$$\\ $$
+즉, 베테 가설 풀이를 통해 해를 구할 경우에는 $0/0$꼴의 극한값을 계산해야 하는 경우가 생기며, 이러한 경우에는
+나누기 전의 원식을 미리 잘 파악해두는 것이 중요하다.
+$$ \\ $$
+===== $z$에 대한 조건 =====
+$N=1$의 예에서 파동함수를 도입할 때, $z=e^{ik}$로서 $z$의 크기가 $1$이라는 조건이 포함되었다.
+$N=2,3,...$에 대해서도 마찬가지로, $z$의 크기가 $1$이라는 조건은 Bethe ansatz에 포함되어야 한다.
+이러한 조건은 고유값이 $E=0$인 경우가 정상 상태(stationary state)의 해이며, 그 해가 유일한 해라는 것을 보이는데 있어서 중요하다.
+$$ \\ $$
+예를 들어 $N=2$에서 $E = \sum_{i=1}^2 (1-1/z_i)$이고, 그러한 $E=0$를 만족하는 $\{z_1, z_2\}$의 쌍은 무수히 많다.
+즉, (위에서 언급한 $z$에 대한 조건이 없다면) 다음을 만족하기만 하면 TASEP의 $E=0$에 해당하는 해가 됨을 알 수 있다.
+$$
+z_2 = \frac{z_1}{-1+2 z_1}
+$$
+이렇듯 변수는 2개이고 풀이되는 조건식은 1개이므로, 해가 유일하지 않고 무수히 많게 되어
+$z_1,z_2$의 크기에 대한 제한 조건이 추가로 필요하다.
+$$ \\ $$
+베테 가설 풀이는 원래 1차원 양자 사슬 모형을 풀이할 때에는 $z_i=e^{ik_i}$로 설정하여 해를 도입하므로
+그를 따라서, 일반적인 $N$의 경우도 $z$의 크기가 $1$과 같다는 조건을 포함하면
+TASEP의 $E=0$일 때의 해가 $z_1=z_2=1$로서 유일하다는 것을 다음과 같이 확인할 수 있다.
+{{:물리:bethe_mathematica.png?650|}}
+(Mathematica를 이용하여) 파란색 그래프는 조건에 따라 $|z_1|=1$을 그린 것이고, 주황색 그래프는 $|z_2|=|\frac{z_1}{-1+2 z_1}|=1$를 만족하는 $z_1$을 그린 것이다.
+두 그래프의 접점이 $z_1=1$이므로 $z_2=\frac{z_1}{-1+2 z_1}=\frac{1}{-1+2}=1$로서 $z_1=z_2=1$이다.
+$$ \\ $$
+===== 참고 문헌 =====
+Jae Dong Noh, Exactly Solvable Many-Body Stochastic Processes, 2014.
+Leh-Hun Gwa and Herbert Spohn, Bethe solution for the dynamical-scaling exponent of the noisy Burgers equation, 1992.