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물리:이징_사슬 [2017/02/01 18:39] – [1차원 이징 사슬] minjae | 물리:이징_사슬 [2017/07/11 16:13] – external edit 127.0.0.1 | ||
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이 된다. $\sigma^{2n}=1, | 이 된다. $\sigma^{2n}=1, | ||
\begin{equation}\notag | \begin{equation}\notag | ||
- | \sum\limits_{\sigma_{1}\pm1}}e^{K\sigma_{1}(\sigma_{N}+\sigma_{2})+h\sigma_{1}+\frac{h}{2}(\sigma_{N}+\sigma_{2})}=2e^{\frac{h}{2}(\sigma_{N}+\sigma_{2})}\cosh\left[2K(\sigma_{N}+\sigma_{2})+h\right] | + | \sum\limits_{\sigma_{1}\pm1}}e^{K\sigma_{1}(\sigma_{N}+\sigma_{2})+h\sigma_{1}+\frac{h}{2}(\sigma_{N}+\sigma_{2})}=2e^{\frac{h}{2}(\sigma_{N}+\sigma_{2})}\cosh\left[K(\sigma_{N}+\sigma_{2})+h\right] |
\label{renorm} | \label{renorm} | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
로 나타낼 수 있다. 여기서 | 로 나타낼 수 있다. 여기서 | ||
- | $$K^{'}=\frac{1}{4}\ln\frac{\cosh(2K+h)\cosh(2K-h)}{\cosh^{2}h}, | + | $$K^{\prime}=\frac{1}{4}\ln\frac{\cosh(2K+h)\cosh(2K-h)}{\cosh^{2}h}, |
- | $$h^{'}=h+\frac{1}{2}\ln\frac{\cosh(2K+h)}{\cosh(2K-h)}, | + | $$h^{\prime}=h+\frac{1}{2}\ln\frac{\cosh(2K+h)}{\cosh(2K-h)}, |
$$g=\frac{1}{8}\ln\left[16\cosh(2K+h)\cosh(2K-h)\cosh^{2}h\right]$$ | $$g=\frac{1}{8}\ln\left[16\cosh(2K+h)\cosh(2K-h)\cosh^{2}h\right]$$ | ||
이다. $\sigma_{3}, | 이다. $\sigma_{3}, | ||
\begin{equation}\notag | \begin{equation}\notag | ||
- | \sum\limits_{\sigma_{1}, | + | \sum\limits_{\sigma_{1}, |
\end{equation} | \end{equation} | ||
을 얻게 된다. 이 결과를 $\sum\limits_{{\sigma_{i}}=\pm1}e^{H}$에 대입하면 | 을 얻게 된다. 이 결과를 $\sum\limits_{{\sigma_{i}}=\pm1}e^{H}$에 대입하면 | ||
\begin{equation}\notag | \begin{equation}\notag | ||
- | \sum\limits_{{\sigma_{i}}=\pm}e^{H}=\sum\limits_{\sigma_{2}=\pm1}\sum\limits_{\sigma_{4}=\pm1}\cdots\sum\limits_{\sigma_{N}=\pm1}\exp\left\{{Ng(K, | + | \sum\limits_{{\sigma_{i}}=\pm}e^{H}=\sum\limits_{\sigma_{2}=\pm1}\sum\limits_{\sigma_{4}=\pm1}\cdots\sum\limits_{\sigma_{N}=\pm1}\exp\left\{{Ng(K, |
\end{equation} | \end{equation} | ||
- | 이 된다. 결과식의 형태를 보면 짝수번째 스핀에 대한 합이 | + | 이 된다. 결과식의 형태를 보면 짝수번째 스핀에 대한 합이 분배함수 $Z_{c}$와 닮은 형태를 가지는 것을 알 수 있다. 이것은 처음의 물리계가 짝수번째 스핀들이 자기장 $h^{\prime}$ 속에서 결합계수 $K^{\prime}$로 가장 가까이 있는 스핀들과 상호작용하는 물리계로 치환될 수 있음을 보여준다. 그러므로 처음의 분배함수는 |
\begin{equation}\notag | \begin{equation}\notag | ||
- | Z_{c}(N, | + | Z_{c}(N, |
\end{equation} | \end{equation} | ||
- | 로 나타내어질 수 있다. 위와 | + | 로 나타내어질 수 있다. 위와 같은 |
\begin{equation}\notag | \begin{equation}\notag | ||
\begin{split} | \begin{split} | ||
- | Z_{c}(N, | + | Z_{c}(N, |
- | & | + | & |
- | & | + | & |
& | & | ||
\end{split} | \end{split} | ||
Line 53: | Line 53: | ||
로 나타낼 수 있다. 이런 관계를 통해 자유에너지에 대한 식 | 로 나타낼 수 있다. 이런 관계를 통해 자유에너지에 대한 식 | ||
\begin{equation}\notag | \begin{equation}\notag | ||
- | -\beta G(N, | + | -\beta G(N, |
\end{equation} | \end{equation} | ||
이 아래와 같이 정리될 수 있다. | 이 아래와 같이 정리될 수 있다. | ||
\begin{equation}\notag | \begin{equation}\notag | ||
\begin{split} | \begin{split} | ||
- | -\frac{\beta G(N, | + | -\frac{\beta G(N, |
+ | & | ||
& | & | ||
\end{split} | \end{split} | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
- | To be continued.... | + | 이제 위 결과가 수렴하는지 알아보기 위해 자기장 $h$와 결합계수 $K$가 어떻게 변화해가는지 그 흐름을 살펴보자. $h=0$인 경우를 생각해보면 이 경우, $K^{\prime}$은 위 식으로부터 |
+ | $$K^{\prime}=\frac{1}{2}\ln\cosh2K\leq K$$ | ||
+ | 임을 알 수 있다. 등호는 $K=0(T=\infty), | ||
+ | $$g(K, | ||
+ | 이고 $K$의 값이 작아질수록 우변의 두 번째 항이 $0$에 가까워진다는 것을 알 수 있다. 두 번째 항을 무시할 수 있는 적당한 항이 $n$번 째 항이라고 하면 위의 급수에서 $j>n$인 경우 $g(K, | ||
+ | $$f(K, | ||
+ | 쓸 수 있다. \\ | ||
+ | 이제 $h\neq0$인 경우를 살펴보면 $h^{\prime}=h+\frac{1}{2}\ln\frac{\cosh(2K+h)}{\cosh(2K-h)}$이므로 $K\neq\infty$인 모든 $K$에 대하여 | ||
+ | $$\frac{\partial h^{\prime}}{\partial h}>1$$ | ||
+ | 이 된다는 것을 확인할 수 있다. 결론적으로 재규격화 과정이 진행될수록 처음의 물리계는 $K$의 값은 점점 작아져 $K=0$에 가까워지고 $h$의 값은 점점 더 커지는 물리계로 치환된다고 할 수 있다. | ||
======참고문헌====== | ======참고문헌====== | ||
* M. Plischke and B. Bergersen, // | * M. Plischke and B. Bergersen, // |