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--- 물리:이징_사슬 [2017/02/09 20:17] – [1차원 이징 사슬] minjae
+++ 물리:이징_사슬 [2018/03/08 17:44] – minjae
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 $$Z_{c}=\underset{\{a_{i}\}}{\mathrm{Tr}}e^{H}=\sum\limits_{\{\sigma_{i}\}=\pm1}\exp\left\{\sum\limits_{i=1}^{N}\left[K\sigma_{i}\sigma_{i+1}+\frac{h}{2}(\sigma_{i}+\sigma_{i+1})\right]\right\}$$
 로 쓰이고, 자유도에 대한 합은
-$$\sum\splits_{{\sigma_{i}}=\pm1}e^{H}=\sum\splits_{{\sigma_{2}}=\pm1}\sum\splits_{{\sigma_{4}}=\pm1}\cdots\sum\splits_{{\sigma_{N}}=\pm1}\left[\sum\splits_{{\sigma_{1}}=\pm1}\sum\splits_{{\sigma_{3}}=\pm1}
+$$\sum_{\{{\sigma_{i}\}}=\pm1}e^{H}=\sum_{{\sigma_{2}}=\pm1}\sum_{{\sigma_{4}}=\pm1}\cdots\sum_{{\sigma_{N}}=\pm1}\left[\sum_{{\sigma_{1}}=\pm1}\sum_{{\sigma_{3}}=\pm1}
-\cdots\sum\splits_{{\sigma_{N-1}}=\pm1}e^{H}\right]$$
+\cdots\sum_{{\sigma_{N-1}}=\pm1}e^{H}\right]$$
 로 나타낼 수 있다. $H$에서 $\sigma_{1}$을 포함하는 항을 보기 위해 $i=1$인 경우와 $i=N$인 경우를 더해보면
 $$K\sigma_{1}(\sigma_{N}+\sigma_{2})+h\sigma_{1}+\frac{h}{2}(\sigma_{N}+\sigma_{2})$$이 되고 여기서 $\sigma_{1}$이 포함된 항에 대해서만 생각해보자.
 $\sigma_{1}$의 가능한 모든 값을 합하면
-$$\sum\limits_{\sigma_{1}=\pm1}e^{K\sigma_{1}(\sigma_{N}+\sigma_{2})+h\sigma_{1}}=2\cosh\left[K(\sigma_{N}+\sigma_{2})+h}\right]$$
+$$\sum_{\sigma_1=\pm1}e^{K\sigma_1(\sigma_N+\sigma_2)+h\sigma_1} = 2\cosh\left[K(\sigma_N+\sigma_2)+h\right]$$
 이 된다. $\sigma^{2n}=1,\,\sigma^{2n+1}=\sigma$임을 이용하여 식을 좀 더 정리해보면
-\begin{equation}\notag
+\begin{align*}
-\sum\limits_{\sigma_{1}\pm1}}e^{K\sigma_{1}(\sigma_{N}+\sigma_{2})+h\sigma_{1}+\frac{h}{2}(\sigma_{N}+\sigma_{2})}=2e^{\frac{h}{2}(\sigma_{N}+\sigma_{2})}\cosh\left[2K(\sigma_{N}+\sigma_{2})+h\right]
+\sum_{\sigma_1=\pm1}e^{K\sigma_1(\sigma_N+\sigma_2)+h\sigma_1+h(\sigma_N+\sigma_2)/2} &= 2e^{h(\sigma_N+\sigma_2)/2}\cosh\left[K(\sigma_N+\sigma_2)+h\right]\\
+&= \exp\left\{2g + K^\prime\sigma_N\sigma_2 + \frac{1}{2}h^\prime(\sigma_N+\sigma_2)\right\}
 \label{renorm}
-\end{equation}
+\end{align*}
 로 나타낼 수 있다. 여기서
 $$K^{\prime}=\frac{1}{4}\ln\frac{\cosh(2K+h)\cosh(2K-h)}{\cosh^{2}h},$$
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 이다. $\sigma_{3},\sigma_{5},\ldots,\sigma_{N-1}$이 각각 위와 같은 결과를 가지므로
 \begin{equation}\notag
-\sum\limits_{\sigma_{1},\sigma_{3},\ldots,\sigma_{N-1}}e^{H}=\exp\left\{{Ng(K,h)+K^{\prime}\sumlimits_{i}\sigma_{2i}\sigma_{2i+2}+h^{\prime}\sum\limits_{i}\sigma_{2i}\right\}
+\sum\limits_{\sigma_{1},\sigma_{3},\ldots,\sigma_{N-1}}e^{H}=\exp\left\{{Ng(K,h)+K^{\prime}\sum\limits_{i}\sigma_{2i}\sigma_{2i+2}+h^{\prime}\sum\limits_{i}\sigma_{2i}}\right\}
 \end{equation}
-을 얻게 된다. 이 결과를 $\sum\limits_{{\sigma_{i}}=\pm1}e^{H}$에 대입하면
+을 얻게 된다. 이 결과를 $\sum_\limits{\{\sigma_i\}=\pm1}e^{H}$에 대입하면
 \begin{equation}\notag
-\sum\limits_{{\sigma_{i}}=\pm}e^{H}=\sum\limits_{\sigma_{2}=\pm1}\sum\limits_{\sigma_{4}=\pm1}\cdots\sum\limits_{\sigma_{N}=\pm1}\exp\left\{{Ng(K,h)+K^{\prime}\sumlimits_{i}\sigma_{2i}\sigma_{2i+2}+h^{\prime}\sum\limits_{i}\sigma_{2i}\right\}
+\sum_{\{\sigma_i\}=\pm1}e^H=\sum_{\sigma_2=\pm1}\sum_{\sigma_4=\pm1}\cdots\sum_{\sigma_N=\pm1}\exp\left\{{Ng(K,h)+K^{\prime}\sum\limits_{i}\sigma_{2i}\sigma_{2i+2}+h^{\prime}\sum\limits_{i}\sigma_{2i}}\right\}
 \end{equation}
 이 된다. 결과식의 형태를 보면 짝수번째 스핀에 대한 합이 분배함수 $Z_{c}$와 닮은 형태를 가지는 것을 알 수 있다. 이것은 처음의 물리계가 짝수번째 스핀들이 자기장 $h^{\prime}$ 속에서 결합계수 $K^{\prime}$로 가장 가까이 있는 스핀들과 상호작용하는 물리계로 치환될 수 있음을 보여준다. 그러므로 처음의 분배함수는
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 Z_{c}(N,K,h)=e^{Ng(N,h)}Z_{c}\left(\frac{N}{2},K^{\prime},h^{\prime}\right)
 \end{equation}
-로 나타내어질 수 있다. 위와 똑같은 과정이 계속될 수 있으므로
+로 나타내어질 수 있다. 위와 같은 과정을 재규격화 과정이라 한다. 이 과정은 똑같은 방법으로 계속될 수 있기 때문에
 \begin{equation}\notag
 \begin{split}
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 \end{split}
 \end{equation}
-To be continued....
+이제 위 결과가 수렴하는지 알아보기 위해 자기장 $h$와 결합계수 $K$가 어떻게 변화해가는지 그 흐름을 살펴보자. $h=0$인 경우를 생각해보면 이 경우, $K^{\prime}$은 위 식으로부터
+$$K^{\prime}=\frac{1}{2}\ln\cosh2K\leq K$$
+임을 알 수 있다. 등호는 $K=0(T=\infty),\,K=\infty(T=0)$에 성립하며 이 경우는 고정점이 된다. 결합계수 $K$ 공간에서 $K$의 값은 재규격화 과정이 진행됨에 따라 $K=\infty$에서 $K=0$으로 변해감을 알 수 있다. 그러므로 $K=0$이 안정 고정점, $K=\infty$가 불안정 고정점이 되며 위의 급수가 유한한 $h=0$일 때 유한한 $K$에 대해 수렴함을 알 수 있다. 계속해서 $h=0$인 경우의 $g$와 $f$의 값을 살펴보자. $g$의 값은
+$$g(K,0)=\frac{1}{2}\ln2+\frac{1}{4}\ln(\cosh2K)$$
+이고 $K$의 값이 작아질수록 우변의 두 번째 항이 $0$에 가까워진다는 것을 알 수 있다. 두 번째 항을 무시할 수 있는 적당한 항이 $n$번 째 항이라고 하면 위의 급수에서 $j>n$인 경우 $g(K,0)=\frac{1}{2}\ln2$로 나타낼 수 있기 때문에 $f(K,0)$을 다음과 같이
+$$f(K,0)=\sum\limits_{j=0}^{n}g(K_{j},0)\left(\frac{1}{2}\right)^{j}+2^{-(n+1)}\ln2$$
+쓸 수 있다. \\
+이제 $h\neq0$인 경우를 살펴보면 $h^{\prime}=h+\frac{1}{2}\ln\frac{\cosh(2K+h)}{\cosh(2K-h)}$이므로 $K\neq\infty$인 모든 $K$에 대하여
+$$\frac{\partial h^{\prime}}{\partial h}>1$$
+이 된다는 것을 확인할 수 있다. 결론적으로 재규격화 과정이 진행될수록 처음의 물리계는 $K$의 값은 점점 작아져 $K=0$에 가까워지고 $h$의 값은 점점 더 커지는 물리계로 치환된다고 할 수 있다.
 ======참고문헌======
   * M. Plischke and B. Bergersen, //Equilibrium Statistical Physics//, 2nd ed.(World Scientific, Singapore, 1994)