Differences
This shows you the differences between two versions of the page.
Both sides previous revision Previous revision Next revision | Previous revision Next revisionBoth sides next revision | ||
물리:입실론_전개 [2018/05/13 01:01] – [총합] admin | 물리:입실론_전개 [2018/05/14 17:59] – [새로운 고정점] admin | ||
---|---|---|---|
Line 228: | Line 228: | ||
\end{eqnarray*} | \end{eqnarray*} | ||
따라서 적분은 | 따라서 적분은 | ||
- | $$-\frac{u^2}{4} \int d^dx~d^dy | + | $$-\frac{u^2}{4} \int d^dx~d^dy \left[ \sigma' |
====일곱 번째 적분식==== | ====일곱 번째 적분식==== | ||
Line 345: | Line 345: | ||
\begin{eqnarray*} | \begin{eqnarray*} | ||
\frac{1}{2} \left< \left( H_1 - \left< | \frac{1}{2} \left< \left( H_1 - \left< | ||
- | &=& - u^2 \int d^dx~d^dy \frac{1}{128} \left< (\phi_x^4 - \left< \phi^4 \right>) (\phi_y^4 - \left< \phi^4 \right>) \right> & | + | &=& - u^2 \int d^dx~d^dy |
&&+ \frac{1}{8} {\sigma' | &&+ \frac{1}{8} {\sigma' | ||
&&+ \frac{1}{4} \left[ \sigma' | &&+ \frac{1}{4} \left[ \sigma' | ||
&&+ \frac{1}{16} {\sigma' | &&+ \frac{1}{16} {\sigma' | ||
- | &&+ \frac{1}{4} | + | &&+ \frac{1}{4} \left[ \sigma' |
&&+ \frac{1}{4} {\sigma' | &&+ \frac{1}{4} {\sigma' | ||
&&+ \frac{1}{8} {\sigma' | &&+ \frac{1}{8} {\sigma' | ||
- | &&+ \frac{1}{8} \left[ \sigma' | + | && |
\end{eqnarray*} | \end{eqnarray*} | ||
+ | 우리가 알고 싶은 것은 ${\sigma' | ||
+ | $\sigma' | ||
+ | $$\sigma' | ||
+ | 에서 첫 항만 취한 것에 해당한다. 여기에서 $r \equiv y-x$에 해당하는 변위 벡터이며 $G(r)=G(-r)$일 것이다. 이렇게 변환한 결과는 아래와 같다: | ||
+ | \begin{eqnarray*} | ||
+ | \frac{1}{2} \left< \left( H_1 - \left< | ||
+ | & | ||
+ | &&+ \frac{1}{8} {\sigma' | ||
+ | &&+ \frac{1}{4} {\sigma' | ||
+ | &&+ \frac{1}{16} {\sigma' | ||
+ | &&+ \frac{1}{4} {\sigma' | ||
+ | &&+ \frac{1}{4} {\sigma' | ||
+ | &&+ \frac{1}{8} {\sigma' | ||
+ | &&+ \left.\frac{1}{8} {\sigma' | ||
+ | \end{eqnarray*} | ||
+ | |||
+ | ====상관함수의 모양==== | ||
+ | 위 적분을 보다 간략히 하기 위해 $\epsilon$에 대해 전개했을 때 영차항, 즉 $d=4$에서의 상관함수 $G$의 모양을 살펴보자. | ||
+ | $r_0 \sim O(\epsilon)$이어서 $G(k) = (r_0 + ck^2)^{-1} \approx (ck^2)^{-1}$이므로 | ||
+ | $$G(r) \approx (2\pi)^{-4} \int d^4k (ck^2)^{-1} e^{ik\cdot r}$$ | ||
+ | 이다. 이 때에 4차원의 구면적분을 보면 | ||
+ | $$d^4k = k^3 \sin^2 \phi_1 \sin \phi_2 ~d\phi_1 d\phi_2 d\phi_3$$ | ||
+ | 으로서, $\phi_1, \phi_2 \in [0, | ||
+ | \begin{eqnarray*} | ||
+ | \int d^4k ~k^{-2} e^{ik \cdot r} &=& \int k \sin^2 \phi_1 \sin \phi_2 e^{ikr \cos \phi_1} d\phi_1 d\phi_2 d\phi_3 dk\\ | ||
+ | &=& 4\pi \iint k \sin^2 \phi_1 e^{ikr \cos \phi_1} d\phi_1 dk\\ | ||
+ | &=& 4\pi \iint_{-1}^1 k \sqrt{1-x^2} e^{ikrx} dx dk\\ | ||
+ | &=& 4\pi \int k \frac{\pi}{kr} J_1 (kr) dk\\ | ||
+ | &=& \frac{4\pi^2}{r} \left[ \frac{1-J_0(kr)}{r} \right]_{k=\Lambda/ | ||
+ | &=& \frac{4\pi^2}{r^2} \left[ J_0 (\Lambda r/s) - J_0 (\Lambda r) \right]. | ||
+ | \end{eqnarray*} | ||
+ | 따라서 $d=4$에서 | ||
+ | $$G(r) \approx (2\pi)^{-2} r^{-2} c^{-1} \left[ J_0 (\Lambda r/s) - J_0 (\Lambda r) \right]$$ | ||
+ | 이며, $O(\epsilon^0)$에서 | ||
+ | $$\int d^dr G(r) = 0$$ | ||
+ | 임을 확인할 수 있다. 이로 인해 위 섭동 계산 중 $G(r)$이 한 번씩만 들어간 마지막 세 항의 기여가 0이 된다: | ||
+ | \begin{eqnarray*} | ||
+ | \frac{1}{2} \left< \left( H_1 - \left< | ||
+ | & | ||
+ | &&+ \frac{1}{8} {\sigma' | ||
+ | &&+ \frac{1}{4} {\sigma' | ||
+ | &&+ \frac{1}{16} {\sigma' | ||
+ | &&+ \left. \frac{1}{4} {\sigma' | ||
+ | \end{eqnarray*} | ||
+ | 이를 정리하면, | ||
+ | $$\frac{1}{2} \left< \left( H_1 - \left< | ||
+ | \approx \mbox{const.} -\frac{1}{2} \int d^dx \left[ {\sigma' | ||
+ | 이며 이 때에 | ||
+ | \begin{eqnarray*} | ||
+ | u^2D &=& -u^2 \int d^dr \left[ \frac{1}{4} {\sigma' | ||
+ | \Delta u &=& -u^2 \int d^dr \left( \frac{n+4}{2} +2 \right) G^2(r) | ||
+ | \end{eqnarray*} | ||
+ | 이다. | ||
+ | |||
+ | 앞에서 구한 $G$의 구체적인 형태로부터 다음의 내용도 계산으로 확인할 수 있다: | ||
+ | $$\int d^4r ~G^2(r) = K_4 ~c^{-2} ~\ln s.$$ | ||
+ | |||
+ | =====새로운 고정점===== | ||
+ | 이제껏 $O(\epsilon^2)$까지 계산한 결과, | ||
+ | \begin{eqnarray*} | ||
+ | u' &=& s^\epsilon (u+\Delta u) = s^\epsilon \left[u - u^2 \frac{n+8}{2c^2} K_4~\ln s \right]\\ | ||
+ | & | ||
+ | & | ||
+ | \end{eqnarray*} | ||
+ | 이다. 고정점에서 $u' | ||
+ | $$u^\ast = \epsilon \frac{2 c^2}{(n+8) K_4}$$ | ||
+ | 인 새로운 고정점이 나타났음을 볼 수 있다. 우리가 애초에 가정했던 것처럼 $u^\ast \sim O(\epsilon)$이다. | ||
+ | |||
+ | $r_0$의 경우 [[물리: | ||
+ | \begin{eqnarray*} | ||
+ | r_0' & | ||
+ | &=& s^2 \left[ r_0 + \frac{u}{c} \left( \frac{n}{2}+1 \right) \frac{\Lambda^2}{2} K_4 (1-s^{-2}) + uC\epsilon - r_0 \frac{u}{c^2} K_4 ~\ln s - u^2D \right] | ||
+ | \end{eqnarray*} | ||
+ | 새로운 고정점에 대응되는 $r_0^\ast$를 $O(\epsilon)$에서 찾으면, 바로 위의 우변에서 첫 두 항의 합을 0으로 만드는 값이어서 | ||
+ | $$r_0^\ast = -\frac{u^\ast}{c} \left( \frac{n}{2} +1 \right) \frac{\Lambda^2}{2} K_4 (1-s^{-2}) \approx | ||
+ | - \epsilon \left( \frac{n+2}{n+8} \right) \frac{\Lambda^2 c}{2}$$ | ||
+ | 이며 이 때 $s^{-2} \ll 1$로 가정했다. | ||
+ | |||
+ | ====새로운 고정점에 따른 임계거동==== | ||
+ | |||
+ | 이 새로운 고정점 주위에서 $\delta r_0 \equiv r_0 - r_0^\ast$와 $\delta u \equiv u - u^\ast$가 어떻게 변화하는지 선형근사를 통해 적어보자. | ||
+ | \begin{eqnarray*} | ||
+ | \left. \frac{\partial r_0' | ||
+ | & | ||
+ | &=& s^2 \left( 1 - \epsilon \frac{n+2}{n+8} \ln s \right)\\ | ||
+ | & | ||
+ | \end{eqnarray*} | ||
+ | 이 때 $y_1 \equiv 2 - \frac{n+2}{n+8} \epsilon$으로 정의한다. | ||
+ | |||
+ | 마찬가지로, | ||
+ | \begin{eqnarray*} | ||
+ | \left. \frac{\partial u' | ||
+ | & | ||
+ | &=& s^\epsilon ( 1-2\epsilon \ln s)\\ | ||
+ | & | ||
+ | \end{eqnarray*} | ||
+ | 으로서, $y_2 \equiv -\epsilon$으로 놓는다. | ||
+ | |||
+ | 교차항들을 보면, 먼저 $$\frac{\partial u' | ||
+ | \begin{eqnarray*} | ||
+ | \left. \frac{\partial r_0' | ||
+ | &=& \left( \frac{n}{2}+1 \right) \frac{\Lambda^2}{2c} K_4 (s^2-1) + O(\epsilon)\\ | ||
+ | &=& B \left( s^{y_1} - s^{y_2} \right) + O(\epsilon) | ||
+ | \end{eqnarray*} | ||
+ | 이며 $B \equiv \left( \frac{n}{2}+1 \right) \frac{\Lambda^2}{2c} K_4$이다. 곧 확인할 수 있다시피, | ||
+ | |||
+ | 이제 위의 결과들을 모아 새로운 고정점 주위에서 [[물리: | ||
+ | $$\begin{pmatrix} | ||
+ | \delta r_0' \\ \delta u' | ||
+ | \end{pmatrix} | ||
+ | = \begin{pmatrix} | ||
+ | s^{y_1} & B(s^{y_1} - s^{y_2})\\ | ||
+ | 0 & s^{y_2} | ||
+ | \end{pmatrix} | ||
+ | \begin{pmatrix} | ||
+ | \delta r_0 \\ \delta u | ||
+ | \end{pmatrix}$$ | ||
+ | 이 행렬의 고유값을 구함으로써 임계지수를 $O(\epsilon)$에서 계산할 수 있다. | ||
+ | \begin{eqnarray*} | ||
+ | \nu & | ||
+ | \alpha &=& 2 - \nu d \approx 2 - \left[ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \left( \frac{n+2}{n+8} \right) \epsilon \right] (4-\epsilon) \approx \frac{4-n}{2(n+8)} \epsilon\\ | ||
+ | \eta &=& 0\\ | ||
+ | \beta &=& \frac{1}{2} \nu (d-2-\eta) \approx \left[ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \left( \frac{n+2}{n+8} \right) \epsilon \right] (4-\epsilon-2) \approx \frac{1}{2} - \frac{3}{2(n+8)} \epsilon\\ | ||
+ | \gamma &=& \nu(2-\eta) \approx 1 + \frac{1}{2} \left( \frac{n+2}{n+8} \right) \epsilon\\ | ||
+ | \delta &=& \frac{d+2-\eta}{d-2+\eta} \approx \frac{4-\epsilon+2}{4-\epsilon-2} \approx 3+\epsilon | ||
+ | \end{eqnarray*} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ======참고문헌====== | ||
+ | * Shang-Keng Ma, //Modern Theory of Critical Phenomena// (Westview Press, 1976, 2000). |