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--- 물리:입실론_전개 [2018/05/14 17:47] – [새로운 고정점에 따른 임계거동] admin
+++ 물리:입실론_전개 [2018/05/14 18:18] – [참고문헌] admin
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 $$\int d^4r ~G^2(r) = K_4 ~c^{-2} ~\ln s.$$
-====새로운 고정점====
+=====새로운 고정점=====
 이제껏 $O(\epsilon^2)$까지 계산한 결과,
 \begin{eqnarray*}
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 이며 이 때 $s^{-2} \ll 1$로 가정했다.
-====새로운 고정점에 따른 임계거동====
+====$d<4$의 임계거동====
 이 새로운 고정점 주위에서 $\delta r_0 \equiv r_0 - r_0^\ast$와 $\delta u \equiv u - u^\ast$가 어떻게 변화하는지 선형근사를 통해 적어보자.
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 이 행렬의 고유값을 구함으로써 임계지수를 $O(\epsilon)$에서 계산할 수 있다.
 \begin{eqnarray*}
-\nu &=& \left( 2 - \frac{n+2}{n+8} \epsilon \right)^{-1} \approx \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \left( \frac{n+2}{n+8} \right) \epsilon\\
+\nu &\approx& \left( 2 - \frac{n+2}{n+8} \epsilon \right)^{-1} \approx \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \left( \frac{n+2}{n+8} \right) \epsilon\\
-\alpha &=& 2 - \nu d = 2 - \left[ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \left( \frac{n+2}{n+8} \right) \epsilon \right] (4-\epsilon) \approx \frac{4-n}{2(n+8)} \epsilon
+\alpha &=& 2 - \nu d \approx 2 - \left[ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \left( \frac{n+2}{n+8} \right) \epsilon \right] (4-\epsilon) \approx \frac{4-n}{2(n+8)} \epsilon\\
+\eta &=& 0\\
+\beta &=& \frac{1}{2} \nu (d-2-\eta) \approx \left[ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \left( \frac{n+2}{n+8} \right) \epsilon \right] (4-\epsilon-2) \approx \frac{1}{2} - \frac{3}{2(n+8)} \epsilon\\
+\gamma &=& \nu(2-\eta) \approx 1 + \frac{1}{2} \left( \frac{n+2}{n+8} \right) \epsilon\\
+\delta &=& \frac{d+2-\eta}{d-2+\eta} \approx \frac{4-\epsilon+2}{4-\epsilon-2} \approx 3+\epsilon
 \end{eqnarray*}
+무모하게 보이지만 놀랍게도 이런 방식으로 저차원 모형의 결과를 예측할 수 있다. 3차원 이징 모형은 $\epsilon=1$, $n=1$인 경우인데 $\epsilon$의 차수를 높여가며 계산하면 다른 계산방법들과 일치하는 값으로 수렴한다. 세 번째 열은 5차항까지 더한 결과이다.
+^ 임계지수 ^ $O(\epsilon)$ ^ $O(\epsilon^5)$ ^ Direct RG ^ 고온 전개 ^
+|$\nu$ | 0.58 | 0.630 | 0.630 | 0.633 |
+|$\eta$| 0    | 0.037 | 0.031 | 0.042 |
+차원 이징 모형의 경우에도 비슷한 경향을 보인다.
+^ 임계지수 ^ $O(\epsilon)$ ^ $O(\epsilon^5)$ ^ 정확한 값 ^
+|$\nu$ | 0.67 | 0.99 | 1   |
+|$\eta$| 0   | 0.26  | 0.25|
 ======참고문헌======
   * Shang-Keng Ma, //Modern Theory of Critical Phenomena// (Westview Press, 1976, 2000).
+  * John Cardy, //Scaling and Renormalization in Statistical Physics// (Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1996).