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물리:프랙탈_차원 [2022/01/17 21:44] – sanghun | 물리:프랙탈_차원 [2022/01/18 15:41] – sanghun | ||
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- | (수정중)\\ | ||
======프랙탈====== | ======프랙탈====== | ||
프랙탈(fractal)은 일부 작은 조각이 전체와 비슷한 기하학적 형태를 말한다.\\ | 프랙탈(fractal)은 일부 작은 조각이 전체와 비슷한 기하학적 형태를 말한다.\\ | ||
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- | 프랙탈은 [[수학: | + | 프랙탈은 [[수학: |
======프랙탈 차원====== | ======프랙탈 차원====== | ||
프랙탈 차원(fractal dimension)은 프랙탈 기하학에서 공간에 패턴을 얼마나 조밀하게 채우는지 나타내는 비율을 말한다. | 프랙탈 차원(fractal dimension)은 프랙탈 기하학에서 공간에 패턴을 얼마나 조밀하게 채우는지 나타내는 비율을 말한다. | ||
- | <color #ffffff> ...................... </ | + | |
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그림은 I 과정을 거칠 때 해상도가 b=2 배율로 반복되는 문양이 나타나게 되고, S 과정을 거칠 때 b=2 배율로 커지는 상황을 나타낸 것이다. 이 때 b를 스케일 팩터(scale factor)라고 한다. | 그림은 I 과정을 거칠 때 해상도가 b=2 배율로 반복되는 문양이 나타나게 되고, S 과정을 거칠 때 b=2 배율로 커지는 상황을 나타낸 것이다. 이 때 b를 스케일 팩터(scale factor)라고 한다. | ||
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두 과정을 합치게 되면 넓은 공간에서 반복되는 문양이 그려지는 것을 확인할 수 있다. 참고로 위와 같은 도형을 시어핀스키 삼각형(sierpinski triangle)이라고 한다. 이 때 도형의 각 요소에 대해 차원을 표현할 수 있다. | 두 과정을 합치게 되면 넓은 공간에서 반복되는 문양이 그려지는 것을 확인할 수 있다. 참고로 위와 같은 도형을 시어핀스키 삼각형(sierpinski triangle)이라고 한다. 이 때 도형의 각 요소에 대해 차원을 표현할 수 있다. | ||
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$d_A$를 여기서 프랙탈의 차원이라고 정의한다. | $d_A$를 여기서 프랙탈의 차원이라고 정의한다. | ||
- | 식을 이해하기 위해 예를 통해 알아보자. | + | 식을 이해하기 위해 예를 통해 알아보자. 위의 시어핀스키 삼각형에서 각 요소에 대해 프랙탈 차원을 구해볼 것이다. 위의 삼각형에서 스케일 팩터 b는 2이다.\\ |
- | 위의 시어핀스키 삼각형에서 각 요소에 대해 프랙탈 차원을 구해볼 것이다. 위의 삼각형에서 스케일 팩터 b는 2이다. | + | |
- | 길이에 대한 프랙탈 차원을 구할 것인데, 삼각형 한 변의 길이를 1이라고 하면, SI 과정을 한 번 거치기 전의 삼각형 둘레는 3이고 거친 이후의 둘레는 9이다. 이와 같이 과정을 거칠 때마다 3배씩 늘어나므로 다음과 같이 계산을 할 수 있다. | + | 첫 번째로 |
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
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\end{equation} | \end{equation} | ||
- | 삼각형이 채워진 면적에 대해서도 똑같이 3배씩 증가하므로, | + | 두 번째로 |
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
Line 48: | Line 45: | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
- | 조금 더 깊게 들어가서, 삼각형이 채워진 이외의 빈 부분의 면적에 대해서도 확인해볼 것이다. 그림에서 맨 왼쪽의 삼각형 하나의 면적을 1이라고 하면, 빈 공간의 넓이는 전체 삼각형의 넓이에서 채워진 삼각형의 넓이를 뺀 값과 같다. 전체 삼각형의 넓이는 $4^n$, 빈 공간의 넓이는 $3^n$으로 계산 가능하므로, | + | 세 번째로 |
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
- | 2^{d_v^{(n)}}=\frac{4^{(n+1)}-3^{(n+1)}}{4^n-3^n}=3+\frac{4^n}{4^n-3^n}=3+\frac{1}{1-(\frac{3}{4})^n}=3+(1+(\frac{3}{4})^n+(\frac{3}{4})^{2n}++(\frac{3}{4})^{3n}+\ldots | + | 2^{d_V^{(n)}}=\frac{4^{(n+1)}-3^{(n+1)}}{4^n-3^n}=3+\frac{4^n}{4^n-3^n}=3+\frac{1}{1-\left(\frac{3}{4}\right)^n} |
+ | \\=3+(1+\left(\frac{3}{4}\right)^n+\left(\frac{3}{4}\right)^{2n}+\left(\frac{3}{4}\right)^{3n}+\ldots)\\ | ||
+ | =4(1+\frac{1}{4}\left(\frac{3}{4}\right)^n+\frac{1}{4}\left(\frac{3}{4}\right)^{2n}+\ldots) | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
+ | |||
+ | \begin{equation} | ||
+ | d_V=\lim_{n\rightarrow\infty}d_V^{(n)}=\lim_{n\rightarrow\infty}log_2 4(1+\frac{1}{4}\left(\frac{3}{4}\right)^n+\frac{1}{4}\left(\frac{3}{4}\right)^{2n}+\ldots)=2 | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | |||
+ | 이와 같이 같은 도형에서도 각 요소마다 프랙탈 차원은 다르게 나올 수 있다. | ||
+ | |||
+ | 차원이 양수일 때 relevant, 음수일 때 irrelevant하다고 하며, 0이거나 실수가 아닌 경우 marginal하다고 할 수 있다. relevant하면 해당 요소가 늘어나는 경우, irrelevant하면 해당 요소가 줄어드는 경우이며 marginal하면 0일 때는 유지되거나, | ||
+ | |||
+ | ======함께 보기====== | ||
+ | * [[수학: | ||
======그림 출처====== | ======그림 출처====== | ||
- | [1] https:// | + | * https:// |
- | [2] https:// | + | |