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물리:2차원_이징_모형 [2022/01/17 12:00] – [자유에너지] admin | 물리:2차원_이징_모형 [2022/01/17 22:24] – [자유에너지] admin | ||
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Line 283: | Line 283: | ||
다시 작용을 적어보면 | 다시 작용을 적어보면 | ||
\begin{eqnarray} | \begin{eqnarray} | ||
- | S &=& \frac{1}{2} \int d^2 x (\varphi \bar{\partial} \varphi + \bar{\varphi} \partial \bar{\varphi} + im\bar{\varphi} \varphi)\\ | + | S &=& \frac{1}{2\pi} \int d^2 x (\varphi \bar{\partial} \varphi + \bar{\varphi} \partial \bar{\varphi} + im\bar{\varphi} \varphi)\\ |
- | &=& \frac{1}{2} \int d^2 x \begin{pmatrix} \varphi & \bar{\varphi} \end{pmatrix} | + | &=& \frac{1}{2\pi} \int d^2 x \begin{pmatrix} \varphi & \bar{\varphi} \end{pmatrix} |
\begin{pmatrix} | \begin{pmatrix} | ||
\bar{\partial} & -im/2 \\ | \bar{\partial} & -im/2 \\ | ||
Line 292: | Line 292: | ||
\end{eqnarray} | \end{eqnarray} | ||
이며 이것을 지수함수 위에 올려 적분하는 분배함수는 | 이며 이것을 지수함수 위에 올려 적분하는 분배함수는 | ||
- | $$Z = \int D\varphi D\bar{\varphi} \exp(-S) = \prod_i \text{Pfaff} \Lambda_i.$$ | + | $$Z = \int D\varphi D\bar{\varphi} \exp(iS) = \prod_i \text{Pfaff} \Lambda_i.$$ |
- | 여기에서 미분연산자는 반대칭행렬로 나타낼 수 있음에 유의할 것. 예를 들어 간격 $\Delta$로 $N$개의 입자가 늘어서 있는 1차원 계를 생각한다면 | + | 여기에서 미분연산자는 반대칭행렬로 나타낼 수 있음에 유의할 것. 예를 들어 간격 $\Delta$로 $N$개의 입자가 늘어서 있는 |
\begin{eqnarray} | \begin{eqnarray} | ||
&& | && | ||
Line 301: | Line 301: | ||
0 & \frac{1}{4\Delta} & 0 & \cdots & 0 & -\frac{1}{4\Delta} & -\frac{im}{2} & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0\\ | 0 & \frac{1}{4\Delta} & 0 & \cdots & 0 & -\frac{1}{4\Delta} & -\frac{im}{2} & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0\\ | ||
-\frac{1}{4\Delta} & 0 & \frac{1}{4\Delta} & \cdots & 0 & 0 & 0 & -\frac{im}{2} & 0 & 0 & \cdots & 0\\ | -\frac{1}{4\Delta} & 0 & \frac{1}{4\Delta} & \cdots & 0 & 0 & 0 & -\frac{im}{2} & 0 & 0 & \cdots & 0\\ | ||
- | \vdots & & & \ddots & & & & & & & \ddots &\\ | + | \vdots & & & \ddots & & & \vdots |
\frac{1}{4\Delta} & 0 & 0 & \cdots & -\frac{1}{4\Delta} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & -\frac{im}{2}\\\hline | \frac{1}{4\Delta} & 0 & 0 & \cdots & -\frac{1}{4\Delta} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & -\frac{im}{2}\\\hline | ||
\frac{im}{2} & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \frac{1}{4\Delta} & 0 & \cdots & 0 & -\frac{1}{4\Delta}\\ | \frac{im}{2} & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \frac{1}{4\Delta} & 0 & \cdots & 0 & -\frac{1}{4\Delta}\\ | ||
0 & \frac{im}{2} & 0 & 0 & \cdots & 0 & -\frac{1}{4\Delta} & 0 & \frac{1}{4\Delta} & \cdots & 0 & 0\\ | 0 & \frac{im}{2} & 0 & 0 & \cdots & 0 & -\frac{1}{4\Delta} & 0 & \frac{1}{4\Delta} & \cdots & 0 & 0\\ | ||
- | \vdots & & & \ddots & & & & & & & \ddots &\\ | + | \vdots & & & \ddots & & \vdots |
0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & -\frac{im}{2} & \frac{1}{4\Delta} & 0 & 0 & \cdots & -\frac{1}{4\Delta} & 0 | 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & -\frac{im}{2} & \frac{1}{4\Delta} & 0 & 0 & \cdots & -\frac{1}{4\Delta} & 0 | ||
\end{array}\right) | \end{array}\right) | ||
Line 312: | Line 312: | ||
여기에서는 중심미분을 사용했지만 앞에서와 일관되게 $\partial_1 \varphi \approx (\varphi_{j+1}-\varphi_j)/ | 여기에서는 중심미분을 사용했지만 앞에서와 일관되게 $\partial_1 \varphi \approx (\varphi_{j+1}-\varphi_j)/ | ||
- | 다시 원래의 식으로 돌아와 | + | $Z$에 로그를 취하면 |
\begin{eqnarray} | \begin{eqnarray} | ||
- | -\beta | + | -\beta |
- | &\approx& | + | \propto |
= \frac{1}{8\pi^2} \int dp ~2\pi p \ln (p^2 + m^2)\\ | = \frac{1}{8\pi^2} \int dp ~2\pi p \ln (p^2 + m^2)\\ | ||
&=& \frac{1}{8\pi} [(p^2+m^2) \ln(p^2+m^2) - p^2] | &=& \frac{1}{8\pi} [(p^2+m^2) \ln(p^2+m^2) - p^2] | ||
= \frac{1}{8\pi} m^2 \ln(m^2) + p^2 \ln(m^2) + O(p^4). | = \frac{1}{8\pi} m^2 \ln(m^2) + p^2 \ln(m^2) + O(p^4). | ||
\end{eqnarray} | \end{eqnarray} | ||
- | 장파장 영역($p \to 0$)에서 $-\beta | + | 장파장 영역($p \to 0$)에서 $-\beta |