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--- 물리:2차원_이징_모형 [2022/01/17 12:00] – [자유에너지] admin
+++ 물리:2차원_이징_모형 [2022/01/17 23:19] – [자유에너지] admin
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 다시 작용을 적어보면
 \begin{eqnarray}
-S &=& \frac{1}{2} \int d^2 x (\varphi \bar{\partial} \varphi + \bar{\varphi} \partial \bar{\varphi} + im\bar{\varphi} \varphi)\\
+S &=& \frac{1}{2\pi} \int d^2 x (\varphi \bar{\partial} \varphi + \bar{\varphi} \partial \bar{\varphi} + im\bar{\varphi} \varphi)\\
-&=& \frac{1}{2} \int d^2 x \begin{pmatrix} \varphi & \bar{\varphi} \end{pmatrix}
+&=& \frac{1}{2\pi} \int d^2 x \begin{pmatrix} \varphi & \bar{\varphi} \end{pmatrix}
 \begin{pmatrix}
 \bar{\partial} & -im/2 \\
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 \end{eqnarray}
 이며 이것을 지수함수 위에 올려 적분하는 분배함수는
-$$Z = \int D\varphi D\bar{\varphi} \exp(-S) = \prod_i \text{Pfaff} \Lambda_i.$$
+$$Z = \int D\varphi D\bar{\varphi} \exp(iS) = \prod_i \text{Pfaff} \Lambda_i.$$
-여기에서 미분연산자는 반대칭행렬로 나타낼 수 있음에 유의할 것. 예를 들어 간격 $\Delta$로 $N$개의 입자가 늘어서 있는 1차원 계를 생각한다면
+여기에서 미분연산자는 반대칭행렬로 나타낼 수 있음에 유의할 것. 예를 들어 간격 $\Delta$로 $N$개의 입자가 늘어서 있는 길이 $L=N\Delta$의 1차원 계를 생각한다면
 \begin{eqnarray}
 &&\int dx \left( \frac{1}{2}\varphi \partial_1 \varphi + \frac{1}{2}\bar{\varphi} \partial_1 \bar{\varphi} + im\bar{\varphi} \varphi \right)
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 & \frac{1}{4\Delta} & 0 & \cdots & 0 & -\frac{1}{4\Delta} & -\frac{im}{2} & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0\\
 -\frac{1}{4\Delta} & 0 & \frac{1}{4\Delta} & \cdots & 0 & 0 & 0 & -\frac{im}{2} & 0 & 0 & \cdots & 0\\
-\vdots & & & \ddots & & & & & & & \ddots &\\
+\vdots & & & \ddots & & & \vdots & & & & \ddots & \vdots \\
 \frac{1}{4\Delta} & 0 & 0 & \cdots & -\frac{1}{4\Delta} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & -\frac{im}{2}\\\hline
 \frac{im}{2} & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \frac{1}{4\Delta} & 0 & \cdots & 0 & -\frac{1}{4\Delta}\\
 & \frac{im}{2} & 0 & 0 & \cdots & 0 & -\frac{1}{4\Delta} & 0 & \frac{1}{4\Delta} & \cdots & 0 & 0\\
-\vdots & & & \ddots & & & & & & & \ddots &\\
+\vdots & & & \ddots & & \vdots & \vdots & & & & \ddots & \vdots \\
 & 0 & 0 & 0 & \cdots & -\frac{im}{2} & \frac{1}{4\Delta} & 0 & 0 & \cdots & -\frac{1}{4\Delta} & 0
 \end{array}\right)
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 여기에서는 중심미분을 사용했지만 앞에서와 일관되게 $\partial_1 \varphi \approx (\varphi_{j+1}-\varphi_j)/\Delta$를 사용해도 마찬가지이다. 편의상 주기적 경계조건을 가정했다.
-다시 원래의 식으로 돌아와 $Z$에 로그를 취하면
+차원 문제로 돌아와서 $Z$에 로그를 취하면
 \begin{eqnarray}
--\beta F &=& \ln Z = \sum_i \ln \text{Pfaff} \Lambda_i\\
+-\beta f &=& \frac{1}{L^2} \ln Z
-&\approx& \frac{1}{2} \int \frac{d^2 p}{(2\pi)^2} \ln (p^2 + m^2)
+\propto \frac{1}{2} \int \frac{d^2 p}{(2\pi)^2} \ln (p^2 + m^2)
 = \frac{1}{8\pi^2} \int dp ~2\pi p \ln (p^2 + m^2)\\
 &=& \frac{1}{8\pi} [(p^2+m^2) \ln(p^2+m^2) - p^2]
 = \frac{1}{8\pi} m^2 \ln(m^2) + p^2 \ln(m^2) + O(p^4).
 \end{eqnarray}
-장파장 영역($p \to 0$)에서 $-\beta F \propto m^2 \ln m^2$이며 $m = 4(K-K_c)$이므로 $m$으로의 미분은 $K$로의 미분과 대응된다. 즉 $\frac{\partial^2 F}{\partial K^2} \propto -\ln m^2$이 되어 비열이 임계점에서 로그 발산을 보인다.
+장파장 영역($p \to 0$)에서 $-\beta f \propto m^2 \ln m^2$이며 $m = 4(K-K_c)$이므로 $m$으로의 미분은 $K$로의 미분과 대응된다. 즉 $\frac{\partial^2 f}{\partial K^2} \propto -\ln m^2$이 되어 비열이 임계점에서 로그 발산을 보인다.