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물리:2차원_이징_모형 [2022/01/17 14:09] – [자유에너지] admin | 물리:2차원_이징_모형 [2023/09/05 15:46] (current) – external edit 127.0.0.1 | ||
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=====자유에너지===== | =====자유에너지===== | ||
다시 작용을 적어보면 | 다시 작용을 적어보면 | ||
- | \begin{eqnarray} | + | $$S = \frac{1}{2\pi} \int d^2 x (\varphi \bar{\partial} \varphi + \bar{\varphi} \partial \bar{\varphi} + im\bar{\varphi} \varphi)$$ |
- | S &=& \frac{1}{2\pi} \int d^2 x (\varphi \bar{\partial} \varphi + \bar{\varphi} \partial \bar{\varphi} + im\bar{\varphi} \varphi)\\ | + | 이며, 여기에서 미분연산자는 반대칭행렬로 나타낼 수 있음에 유의할 것. 예를 들어 간격 $\Delta$로 $N$개의 입자가 늘어서 있는 길이 $L=N\Delta$의 1차원 계를 생각한다면 |
- | &=& \frac{1}{2\pi} \int d^2 x \begin{pmatrix} \varphi & \bar{\varphi} \end{pmatrix} | + | |
- | \begin{pmatrix} | + | |
- | \bar{\partial} & -im/2 \\ | + | |
- | im/2 & \partial | + | |
- | \end{pmatrix} | + | |
- | \begin{pmatrix} \varphi \\ \bar{\varphi} \end{pmatrix}\\ | + | |
- | \end{eqnarray} | + | |
- | 이며 | + | |
- | $$Z = \int D\varphi D\bar{\varphi} \exp(-S) = \prod_i \text{Pfaff} \Lambda_i.$$ | + | |
- | 여기에서 미분연산자는 반대칭행렬로 나타낼 수 있음에 유의할 것. 예를 들어 간격 $\Delta$로 $N$개의 입자가 늘어서 있는 길이 $L=N\Delta$의 1차원 계를 생각한다면 | + | |
\begin{eqnarray} | \begin{eqnarray} | ||
&& | && | ||
Line 308: | Line 298: | ||
0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & -\frac{im}{2} & \frac{1}{4\Delta} & 0 & 0 & \cdots & -\frac{1}{4\Delta} & 0 | 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & -\frac{im}{2} & \frac{1}{4\Delta} & 0 & 0 & \cdots & -\frac{1}{4\Delta} & 0 | ||
\end{array}\right) | \end{array}\right) | ||
- | \begin{pmatrix} \varphi_0 \\ \varphi_1 \\ \vdots \\ \varphi_{N-1} \\ \bar{\varphi}_0 \\ \bar{\varphi}_1 \\ \vdots \\ \bar{\varphi}_{N-1} \end{pmatrix}. | + | \begin{pmatrix} \varphi_0 \\ \varphi_1 \\ \vdots \\ \varphi_{N-1} \\ \bar{\varphi}_0 \\ \bar{\varphi}_1 \\ \vdots \\ \bar{\varphi}_{N-1} \end{pmatrix}\\ |
+ | &=& -\frac{1}{2} \sum_{\alpha=0}^{2N-1} \sum_{\beta=0}^{2N-1} \tilde{\varphi}_\alpha \Lambda_{\alpha\beta} \tilde{\varphi}_\beta. | ||
\end{eqnarray} | \end{eqnarray} | ||
여기에서는 중심미분을 사용했지만 앞에서와 일관되게 $\partial_1 \varphi \approx (\varphi_{j+1}-\varphi_j)/ | 여기에서는 중심미분을 사용했지만 앞에서와 일관되게 $\partial_1 \varphi \approx (\varphi_{j+1}-\varphi_j)/ | ||
- | $Z$에 로그를 취하면 | + | 이것을 지수함수 위에 올려 적분하는 분배함수는 |
+ | $$Z = \int D\tilde{\varphi} \exp(-S) = \text{Pfaff}\Lambda = \prod_{n=0}^{N-1} \left( \frac{1}{\Delta^2} \sin^2 k_n \Delta + m^2 \right)^{1/ | ||
+ | |||
+ | 2차원 문제로 돌아와서 $k^2=k_x^2 +k_y^2$으로 일반화하고 | ||
\begin{eqnarray} | \begin{eqnarray} | ||
- | -\beta | + | -\beta |
- | &\propto& \frac{1}{2} \int \frac{d^2 | + | \propto \frac{1}{2} \int \frac{d^2 |
- | = \frac{1}{8\pi^2} \int dp ~2\pi p \ln (p^2 + m^2)\\ | + | = \frac{1}{8\pi^2} \int dk ~2\pi k \ln (k^2 + m^2)\\ |
- | &=& \frac{1}{8\pi} [(p^2+m^2) \ln(p^2+m^2) - p^2] | + | &=& \frac{1}{8\pi} [(k^2+m^2) \ln(k^2+m^2) - k^2] |
- | = \frac{1}{8\pi} m^2 \ln(m^2) + p^2 \ln(m^2) + O(p^4). | + | = \frac{1}{8\pi} m^2 \ln(m^2) + k^2 \ln(m^2) + O(k^4). |
\end{eqnarray} | \end{eqnarray} | ||
- | 장파장 영역($p \to 0$)에서 $-\beta | + | 장파장 영역($k \to 0$)에서 $-\beta |
======참고문헌====== | ======참고문헌====== | ||
- | * Robert Savit, //Duality in field theory and statistical systems//, Rev. Mod. Phys. 52, 453 (1980) | + | * Robert Savit, //Duality in field theory and statistical systems//, Rev. Mod. Phys. 52, 453 (1980). |
* //Ising Field Theory// by A. Zamolodchikov, | * //Ising Field Theory// by A. Zamolodchikov, | ||
* V. N. Plechko, J. Phys. Studies, 1, 554 (1997). | * V. N. Plechko, J. Phys. Studies, 1, 554 (1997). | ||
+ | * https:// | ||
+ | * J.M Carmona, A. Di Giacomoa, and B. Lucini, //A disorder analysis of the Ising model//, Phys. Lett. B, 485, 126 (2000). | ||
+ | * Massimo D’Elia and Luca Tagliacozzo, |