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물리:bbgky_계층 [2022/04/19 10:48] – jiwon | 물리:bbgky_계층 [2022/04/22 17:04] – [BBGKY 계층] jiwon | ||
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\end{align*} | \end{align*} | ||
로 쓸 수 있다. 여기서 $\rho_s$는 $s$개 입자에 대한 밀도이다. | 로 쓸 수 있다. 여기서 $\rho_s$는 $s$개 입자에 대한 밀도이다. | ||
+ | |||
+ | =====BBGKY 계층===== | ||
+ | |||
+ | 이 계의 해밀토니안이 다음과 같이 주어진다고 생각해보자. | ||
+ | $$H(\mathbf p, \mathbf q) = \sum_{i=1}^N \left[\frac{\vec p_i^2}{2m}+U(\vec q_i)\right]+\frac12\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^NV(\vec q_i-\vec q_j)$$ | ||
+ | $U(\vec q_i)$는 외부 퍼텐셜, $V(\vec q_i-\vec q_j)$는 두 입자 상호작용을 나타낸다. 지금은 전체 $N$개의 입자 중 $s$개를 부분계로 선택해서 이들의 시간에 따른 분포를 볼 것이다. 이를 위해 전체 해밀토니안을 세 부분으로 나누어보자. | ||
+ | $$H_s = \sum_{n=1}^s \left[\frac{\vec p_n^2}{2m}+U(\vec q_n)\right]+\frac12\sum_{n=1}^s\sum_{m=1}^sV(\vec q_n-\vec q_m)$$ | ||
+ | $$H_{N-s} = \sum_{i=s+1}^N \left[\frac{\vec p_i^2}{2m}+U(\vec q_i)\right]+\frac12\sum_{i=s+1}^N\sum_{j=s+1}^NV(\vec q_i-\vec q_j)$$ | ||
+ | $$H' = \sum_{n=1}^s\sum_{i=s+1}^NV(\vec q_n-\vec q_j)$$ | ||
+ | |||
+ | $\rho_s$의 시간변화는 [[물리: | ||
+ | |||
+ | $$\frac{\partial\rho_s}{\partial t} = \int\prod_{i=s+1}^Nd^3p_id^3q_i\frac{\partial\rho}{\partial t} = -\int\prod_{i=s+1}^Nd^3p_id^3q_i \{\rho, | ||
+ | |||
+ | ==== 푸아송 괄호 계산 ==== | ||
+ | ===첫번째 항=== | ||
+ | $$\int \prod_{i=s+1}^N d^3p_id^3q_i \{\rho, | ||
+ | |||
+ | ===두번째 항=== | ||
+ | 푸아송 괄호를 모두 풀어서 적어보면 | ||
+ | \begin{align*} | ||
+ | \int \prod_{i=s+1}^N d^3p_id^3q_i\{\rho, | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | 이고, 각각의 $j$항을 따로 계산할 수 있다. | ||
+ | \begin{align*} | ||
+ | &\int d^3p_jd^3q_j\left[\frac{\partial\rho}{\partial\vec q_j}\cdot\frac{\partial H_{N-s}}{\partial\vec p_j}-\frac{\partial\rho}{\partial\vec p_j}\cdot\frac{\partial H_{N-s}}{\partial\vec q_j}\right]\\ | ||
+ | =&\int d^3p_j\left[\rho\frac{\partial H_{N-s}}{\partial\vec p_j}\right]_{\vec q_j\text{ at }\infty}-\int d^3q_j\left[\rho\frac{\partial H_{N-s}}{\partial\vec q_j}\right]_{\vec p_j\text{ at }\infty}+\int d^3p_jd^3q_j \rho\left[-\frac{\partial^2H_{N-s}}{\partial\vec p_j\partial\vec q_j}+\frac{\partial^2H_{N-s}}{\partial\vec q_j\partial\vec p_j}\right]\\ | ||
+ | =&0 | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | 이는 우리가 고려하고자 하는 $s$개의 입자를 제외한 나머지들 끼리의 운동은 $\rho_s$에 아무 영향을 끼치지 않음을 의미한다. | ||
+ | |||
+ | ===세 번째 항=== | ||
+ | 마찬가지로 푸아송 괄호를 풀어서 적어보면 | ||
+ | \begin{align*} | ||
+ | -\int \prod_{i=s+1}^N d^3p_id^3q_i\sum_{j=1}^N\left[\frac{\partial\rho}{\partial\vec q_j}\cdot\frac{\partial H' | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | 이다. $\partial H'/ | ||
+ | \begin{align*} | ||
+ | \frac{\partial H' | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | $s+1\le j\le N$일 때는 | ||
+ | \begin{align*} | ||
+ | \frac{\partial H' | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | 이므로, 이를 모두 모아서 적어보면 | ||
+ | \begin{align*} | ||
+ | &-\int \prod_{i=s+1}^N d^3p_id^3q_i\sum_{j=1}^N\left[\frac{\partial\rho}{\partial\vec q_j}\cdot\frac{\partial H' | ||
+ | =&\int \prod_{i=s+1}^N d^3p_id^3q_i\left[\sum_{n=1}^s\frac{\partial\rho}{\partial\vec p_n}\cdot\sum_{j=s+1}^N\frac{\partial V(\vec q_n-\vec q_j)}{\partial\vec q_n} + \sum_{j=s+1}^N\frac{\partial\rho}{\partial\vec p_j}\cdot\sum_{n=1}^s\frac{\partial V(\vec q_j-\vec q_n)}{\partial\vec | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | 이 된다. 두 번째 항 중에서 $j$인덱스를 하나 골라 계산해보면 | ||
+ | \begin{align*} | ||
+ | &\int d^3p_jd^3q_j\frac{\partial\rho}{\partial\vec p_j}\sum_{n=1}^s\cdot\frac{\partial V(\vec q_j-\vec q_n)}{\partial\vec q_j}\\ | ||
+ | =&\int d^3q_j\left[\rho\sum_{n=1}^s\cdot\frac{\partial V(\vec q_j-\vec q_n)}{\partial\vec q_j}\right]_{\vec p_j\text{ at }\infty}-\int d^3q_jd^3p_j\rho\sum_{n=1}^s\cdot\frac{\partial^2 V(\vec q_j-\vec q_n)}{\partial\vec p_j\partial\vec q_j}\\ | ||
+ | =&0 | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | 가 된다. 그리고 모든 입자는 같다고 생각하기 때문에 첫 항의 $j$에 대한 합은 $s+1$ 번째 입자를 $N-s$번 고려한 것으로 생각할 수 있다. 정리해보면, | ||
+ | \begin{align*} | ||
+ | & | ||
+ | =& | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | 이다. 이제 계산해두었던 푸아송 괄호들을 다 모아보면 | ||
+ | $$ | ||
+ | \frac{\partial\rho_s}{\partial t}-\{H_s, | ||
+ | $$ | ||
+ | 를 얻는다. |