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물리:bbgky_계층 [2022/04/21 17:24] – [푸아송 괄호 계산] jiwon | 물리:bbgky_계층 [2022/04/22 10:18] – [푸아송 괄호 계산] jiwon | ||
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Line 57: | Line 57: | ||
마찬가지로 푸아송 괄호를 풀어서 적어보면 | 마찬가지로 푸아송 괄호를 풀어서 적어보면 | ||
\begin{align*} | \begin{align*} | ||
- | \int \prod_{i=s+1}^N d^3p_id^3q_i\sum_{j=1}^N\left[\frac{\partial\rho}{\partial\vec q_j}\cdot\frac{\partial H' | + | -\int \prod_{i=s+1}^N d^3p_id^3q_i\sum_{j=1}^N\left[\frac{\partial\rho}{\partial\vec q_j}\cdot\frac{\partial H' |
\end{align*} | \end{align*} | ||
이다. $\partial H'/ | 이다. $\partial H'/ | ||
Line 69: | Line 69: | ||
이므로, 이를 모두 모아서 적어보면 | 이므로, 이를 모두 모아서 적어보면 | ||
\begin{align*} | \begin{align*} | ||
- | &\int \prod_{i=s+1}^N d^3p_id^3q_i\sum_{j=1}^N\left[\frac{\partial\rho}{\partial\vec q_j}\cdot\frac{\partial H' | + | &-\int \prod_{i=s+1}^N d^3p_id^3q_i\sum_{j=1}^N\left[\frac{\partial\rho}{\partial\vec q_j}\cdot\frac{\partial H' |
=&\int \prod_{i=s+1}^N d^3p_id^3q_i\left[\sum_{n=1}^s\frac{\partial\rho}{\partial\vec p_n}\cdot\sum_{j=s+1}^N\frac{\partial V(\vec q_n-\vec q_j)}{\partial\vec q_n} + \sum_{j=s+1}^N\frac{\partial\rho}{\partial\vec p_j}\cdot\sum_{n=1}^s\frac{\partial V(\vec q_j-\vec q_n)}{\partial\vec | =&\int \prod_{i=s+1}^N d^3p_id^3q_i\left[\sum_{n=1}^s\frac{\partial\rho}{\partial\vec p_n}\cdot\sum_{j=s+1}^N\frac{\partial V(\vec q_n-\vec q_j)}{\partial\vec q_n} + \sum_{j=s+1}^N\frac{\partial\rho}{\partial\vec p_j}\cdot\sum_{n=1}^s\frac{\partial V(\vec q_j-\vec q_n)}{\partial\vec | ||
\end{align*} | \end{align*} | ||
- | 이 된다. | + | 이 된다. 두 번째 항 중에서 $j$인덱스를 하나 골라 계산해보면 |
+ | \begin{align*} | ||
+ | &\int d^3p_jd^3q_j\frac{\partial\rho}{\partial\vec p_j}\sum_{n=1}^s\cdot\frac{\partial V(\vec q_j-\vec q_n)}{\partial\vec q_j}\\ | ||
+ | =&\int d^3q_j\left[\rho\sum_{n=1}^s\cdot\frac{\partial V(\vec q_j-\vec q_n)}{\partial\vec q_j}\right]_{\vec p_j\text{ at }\infty}-\int d^3q_jd^3p_j\rho\sum_{n=1}^s\cdot\frac{\partial^2 V(\vec q_j-\vec q_n)}{\partial\vec p_j\partial\vec q_j}\\ | ||
+ | =&0 | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | 가 된다. 그리고 모든 입자는 같다고 생각하기 때문에 첫 항의 $j$에 대한 합은 $s+1$ 번째 입자를 $N-s$번 고려한 것으로 생각할 수 있다. 정리해보면, | ||
+ | \begin{align*} | ||
+ | & | ||
+ | =& | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | 이다. 이제 계산해두었던 푸아송 괄호들을 다 모아보면 | ||
+ | $$ | ||
+ | \frac{\partial\rho_s}{\partial t}-\{H_s, | ||
+ | $$ | ||
+ | 를 얻는다. |