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수학:네덜란드식_마권 [2016/02/16 16:52] – [상호배제 사건] admin | 수학:네덜란드식_마권 [2016/02/16 21:11] – [두 번째 경우] admin | ||
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Line 4: | Line 4: | ||
* 확률은 0부터 1까지의 값을 가질 수 있다. | * 확률은 0부터 1까지의 값을 가질 수 있다. | ||
* 확실하게 일어나는 일은 확률 1이다. | * 확실하게 일어나는 일은 확률 1이다. | ||
- | * 상호배제하는 | + | * 상호배타적인 |
* [[수학: | * [[수학: | ||
Line 19: | Line 19: | ||
=====확률의 범위===== | =====확률의 범위===== | ||
$E$가 일어나리라는 믿음이 $p(E)$, 그리고 $\overline{E}$가 일어나리라는 믿음이 $p(\overline{E})$라고 하자. 전자의 경우 $S_E$를 받을 것이고 후자의 경우 $S_\overline{E}$를 받게 된다. 노름꾼은 자신의 믿음을 따라 양쪽에 $p(E) S_E$와 $p(\overline{E}) S_\overline{E}$만큼의 돈을 건다. | $E$가 일어나리라는 믿음이 $p(E)$, 그리고 $\overline{E}$가 일어나리라는 믿음이 $p(\overline{E})$라고 하자. 전자의 경우 $S_E$를 받을 것이고 후자의 경우 $S_\overline{E}$를 받게 된다. 노름꾼은 자신의 믿음을 따라 양쪽에 $p(E) S_E$와 $p(\overline{E}) S_\overline{E}$만큼의 돈을 건다. | ||
- | $E$가 일어났을 때 노름꾼이 | + | $E$가 일어났을 때 노름꾼이 |
$$G_E = S_E - p(E) S_E - p(\overline{E}) S_\overline{E}$$ | $$G_E = S_E - p(E) S_E - p(\overline{E}) S_\overline{E}$$ | ||
이고 $\overline{E}$가 일어났을 때의 수익은 | 이고 $\overline{E}$가 일어났을 때의 수익은 | ||
Line 54: | Line 54: | ||
S_E \\ S_{\overline{E}} | S_E \\ S_{\overline{E}} | ||
\end{pmatrix} | \end{pmatrix} | ||
- | $$ | + | = P\begin{pmatrix} |
- | 이다. | + | S_E \\ S_{\overline{E}} |
+ | \end{pmatrix}$$ | ||
+ | 이다. | ||
$$G_E = 0$$ | $$G_E = 0$$ | ||
$$G_{\overline{E}} = -S_{\overline{E}}$$ | $$G_{\overline{E}} = -S_{\overline{E}}$$ | ||
Line 62: | Line 64: | ||
- | =====상호배제 사건===== | + | =====상호배타적인 |
- | 상호배제하는 | + | 상호배타적인 |
- | * $E_1$도 $E_2$도 일어나지 않음. 이 때 노름꾼이 | + | * $E_1$도 $E_2$도 일어나지 않음. 이 때 노름꾼이 |
- | * $E_1$이 일어남. 그러면 | + | * $E_1$이 일어남. 그러면 $G_{E_1} = [1-p(E)] S_E + [1-p(E_1)] S_{E_1} - p(E_2) S_{E_2}$이다. |
- | * $E_2$가 일어남. 그러면 | + | * $E_2$가 일어남. 그러면 $G_{E_2} = [1-p(E)] S_E - p(E_1) S_{E_1} + [1-p(E_2)] S_{E_2}$이다. |
이를 행렬로 정리해보면 | 이를 행렬로 정리해보면 | ||
$$\begin{pmatrix} | $$\begin{pmatrix} | ||
Line 83: | Line 85: | ||
S_{E_2} | S_{E_2} | ||
\end{pmatrix} | \end{pmatrix} | ||
- | $$ | + | = P\begin{pmatrix} |
- | 처럼 쓸 수 있다. $3 \times 3$ 행렬 $P$의 행렬식이 0이 되지 않는다면 마권업자가 임의로 | + | S_E \\ |
+ | S_{E_1} \\ | ||
+ | S_{E_2} | ||
+ | \end{pmatrix}$$ | ||
+ | 처럼 쓸 수 있다. $3 \times 3$ 행렬 $P$의 행렬식이 0이 되지 않는다면 마권업자가 임의로 | ||
$$\det P = p(E) - p(E_1) - p(E_2) = 0$$ | $$\det P = p(E) - p(E_1) - p(E_2) = 0$$ | ||
이어야 하고, 따라서 $p(E) = p(E_1 \cup E_2) = p(E_1) + p(E_2)$를 얻는다. | 이어야 하고, 따라서 $p(E) = p(E_1 \cup E_2) = p(E_1) + p(E_2)$를 얻는다. | ||
=====베이즈의 정리===== | =====베이즈의 정리===== | ||
+ | 사건 $A$와 $B$가 있다. 우리가 고려해야 할 내기들은 다음의 세 가지에 대한 것이다: | ||
+ | *사건 $B$가 일어날지의 여부 | ||
+ | *$B$가 이미 일어난 조건 하에서 $A$가 일어날지의 여부 ($A|B$로 표시) | ||
+ | *$A$와 $B$가 모두 일어날지의 여부 ($A \cap B$로 표시) | ||
+ | 각각의 경우 대응되는 믿음의 정도를 $p(B)$와 $p(A|B)$, 그리고 $p(A\cap B)$라고 하자. 각 판돈 $S_B$와 $S_{A|B}$, 그리고 $S_{A\cap B}$에 대해 노름꾼은 $p(B) S_B$와 $p(A|B) S_{A|B}$, 그리고 $p(A\cap B) S_{A \cap B}$의 돈을 걸고 내기에 들어간다. | ||
+ | |||
+ | 첫째, 만일 사건 $B$가 일어나지 않으면 $A|B$에 대해선 내기가 성립하지 않는다고 보고 $p(A|B) S_{A|B}$을 노름꾼에게 돌려준다. 이 때 노름꾼이 얻는 수익은 | ||
+ | $$G_{\overline{B}} = -p(B) S_B - p(A\cap B) S_{A \cap B}$$ | ||
+ | 이다. | ||
+ | |||
+ | 둘째, $B$는 일어났지만 $A$가 일어나지 않았다고 해보자. 그럼 노름꾼이 가지게 되는 돈은 | ||
+ | $$G_{\overline{A}|B} = [1-p(B)] S_B - p(A|B) S_{A|B} - p(A\cap B) S_{A \cap B}$$ | ||
+ | 이다. | ||
+ | |||
+ | 마지막으로, | ||
+ | $$G_{A \cap B} = [1-p(B)] S_B - [1-p(A|B)] S_{A|B} - [1-p(A\cap B)] S_{A \cap B}$$ | ||
+ | 을 노름꾼이 가지게 된다. | ||
+ | |||
+ | 이를 행렬로 정리해보면, | ||
+ | $$\begin{pmatrix} | ||
+ | G_{\overline{B}}\\ | ||
+ | G_{\overline{A}|B}\\ | ||
+ | G_{A \cap B} | ||
+ | \end{pmatrix} | ||
+ | = \begin{pmatrix} | ||
+ | -p(B) & 0 & -p(A\cap B)\\ | ||
+ | [1-p(B)] & -p(A|B) & -p(A\cap B)\\ | ||
+ | [1-p(B)] & [1-p(A|B)] & [1-p(A\cap B)] | ||
+ | \end{pmatrix} | ||
+ | \begin{pmatrix} | ||
+ | S_B\\ | ||
+ | S_{A|B}\\ | ||
+ | S_{A\cap B} | ||
+ | \end{pmatrix} | ||
+ | = P\begin{pmatrix} | ||
+ | S_B\\ | ||
+ | S_{A|B}\\ | ||
+ | S_{A\cap B} | ||
+ | \end{pmatrix}$$ | ||
+ | 이 된다. 가운데의 $3\times 3$ 행렬 $P$의 행렬식이 0이 아니라면 마권업자가 노름꾼이 얻는 결과를 좌지우지하게 된다. 따라서 행렬식이 0이 되는 조건을 적어보면 | ||
+ | $$0 = \det P = -p(A|B) p(B) + p(A\cap B)$$ | ||
+ | 이 되고 따라서 베이즈의 정리를 얻는다. | ||
+ | |||
+ | ======정규화====== | ||
+ | |||
+ | =====확률의 정규화===== | ||
+ | 사건 $E$와 $\overline{E}$가 상호배타적인 사건이고 이것 아니면 저것임이 확실하므로 | ||
+ | $$1 = P(E \cup \overline{E}) = P(E) + P(\overline{E})$$ | ||
+ | 이다. | ||
+ | |||
+ | =====세 번째 규칙을 대체하기===== | ||
+ | 상호배타적인 사건의 확률들을 더할 수 있다는 세 번째 규칙 대신 정규화 조건을 넣을 수도 있다. 이를 보기 위해 상호배타적인 사건인 $E_1$과 $E_2$를 고려하고 $E = E_1 \cup E_2$라고 하자. $E_1$과 $E_2$가 모든 가능성을 포괄하므로 정규화 조건에 의해 | ||
+ | $$p(E_1 |E) + p(E_2 |E) = 1$$ | ||
+ | 이다. 나아가, $E_1$ 또는 $E_2$가 일어났다면 $E$ 역시 당연히 일어난 것이므로 | ||
+ | $$p(E|E_1) = p(E|E_2) = 1$$ | ||
+ | 이다. 베이즈의 정리에 의하면 | ||
+ | $$p(E_1|E) p(E) = p(E|E_1) p(E_1) = p(E_1)$$ | ||
+ | $$p(E_2|E) p(E) = p(E|E_2) p(E_1) = p(E_2)$$ | ||
+ | 이고 두 식을 더하면 | ||
+ | $$p(E) = p(E_1) + p(E_2)$$ | ||
+ | 로서 아까의 세 번째 규칙을 유도할 수 있다. | ||
+ | |||
+ | =====행렬식을 통한 정규화 조건 유도===== | ||
+ | 두 사건 $E$와 $\overline{E}$를 생각하면, | ||
+ | $$\begin{pmatrix} | ||
+ | G_E\\ | ||
+ | G_{\overline{E}} | ||
+ | \end{pmatrix} | ||
+ | =\begin{pmatrix} | ||
+ | [1-p(E)] & -p(\overline{E})\\ | ||
+ | -p(E) & [1-p(\overline{E}) | ||
+ | \end{pmatrix} | ||
+ | \begin{pmatrix} | ||
+ | S_E\\ | ||
+ | S_\overline{E} | ||
+ | \end{pmatrix} | ||
+ | = P | ||
+ | \begin{pmatrix} | ||
+ | S_E\\ | ||
+ | S_\overline{E} | ||
+ | \end{pmatrix} | ||
+ | $$ | ||
+ | 마권업자의 뜻대로 되는 것을 막으려면 가운데 $2 \times 2$ 행렬 $P$의 행렬식이 0으로 되어야 할 것이다. 따라서 | ||
+ | $$0 = \det P = 1- [p(E) + p(\overline{E})]$$ | ||
+ | 으로 정규화 조건을 얻는다. | ||
+ | |||
+ | ======상호배타적이지 않은 사건들====== | ||
+ | 두 사건 $A$와 $B$는 일반적으로 상호배타적이지 않다. 그러나 $A \cap \overline{B}$와 $B$는 상호배타적인 사건들이다. 그러므로 두 사건들의 확률은 더할 수 있다: | ||
+ | $$P(A \cap \overline{B}) + P(B) = P[(A \cap \overline{B}) \cup B].$$ | ||
+ | 분배 법칙에 의하면 | ||
+ | $$(A \cap \overline{B}) \cup B = (A \cup B) \cap (\overline{B} \cup B) = A \cup B$$ | ||
+ | 이므로, 정리해보면 | ||
+ | $$P(A \cap \overline{B}) + P(B) = P[A\cup B]$$ | ||
+ | 이다. 베이즈의 정리를 이용하면 | ||
+ | $$P(A \cap \overline{B}) = p(\overline{B} | A) p(A) = [1-p(B|A)] p(A) = p(A) - p(A\cap B)$$ | ||
+ | 임을 알 수 있다. 따라서 일반적으로는 | ||
+ | $$p(A \cap B) = p(A) + p(B) - p(A \cap B)$$ | ||
+ | 이다. | ||
+ | |||
+ | ======역의 증명====== | ||
+ | 다음의 두 경우를 증명하면 이 둘을 조합함으로써 일반적인 이야기를 할 수 있을 것이다. | ||
+ | |||
+ | =====첫 번째 경우===== | ||
+ | 상호배타적이고 전체를 망라하는(exhaustive) 사건들 $N$ 개에 대해 내기를 건다고 생각하자. 각 사건 $j$에 대해 $S_j$의 판돈이 걸려있는데 노름꾼이 이에 $p_j$의 믿음을 가짐으로써 $p_j S_j$의 돈을 걸고 내기에 참여한다고 하자. 만일 사건 $j$가 일어난다면 노름꾼이 가지게 되는 금액은 | ||
+ | $$G_j = S_j - \sum_{k=1}^N p_k S_k$$ | ||
+ | 이다. 전체를 놓고 보면 이 노름꾼이 가지게 될 금액의 기대값은 | ||
+ | $$G = \sum_{j=1}^N p_j G_j = \sum_{j=1}^N p_j S_j - \sum_{j=1}^N \sum_{k=1}^N p_j p_k S_k | ||
+ | = \left(1 - \sum_{k=1}^N p_k \right) \sum_{j=1}^N p_j S_j$$ | ||
+ | 이다. 확률이 정규화되어 있다면 $G=0$이고 이는 모든 결과를 음수로 만드는 것이 불가능함을 의미한다. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | =====두 번째 경우===== | ||
+ | 조건부 사건 $A|B$에 대해 내기를 하는 경우를 생각해보자. 앞에서 베이즈의 정리를 논하면서 다음의 결과를 적었다: | ||
+ | *사건 $B$가 일어나지 않을 때 (확률은 $[1-p(B)]$): | ||
+ | *$B$는 일어났지만 $A$가 일어나지 않을 때 (확률은 $p(\overline{A}|B) p(B) = [1-p(A|B)] p(B)$): $$G_{\overline{A}|B} = [1-p(B)] S_B - p(A|B) S_{A|B} - p(A\cap B) S_{A \cap B}$$ | ||
+ | *$A$와 $B$가 둘 다 일어날 때 (확률은 $p(A \cap B)$): $$G_{A \cap B} = [1-p(B)] S_B - [1-p(A|B)] S_{A|B} - [1-p(A\cap B)] S_{A \cap B}$$ | ||
+ | |||
+ | 따라서 노름꾼이 전체적으로 기대하는 결과는 다음과 같다: | ||
+ | $$G = [1-p(B)] G_B + [1-p(A|B)] p(B) G_{A|B} + p(A\cap B) G_{A \cap B}.$$ | ||
+ | 위의 식들을 대입하고 정리하면 | ||
+ | $$G = [p(A \cap B) - p(A|B) p(B)] \times \left[ S_B + S_{A|B} -p(B) S_B - p(A\cap B)S_{A \cap B} -p(A|B) S_{A|B} \right]$$ | ||
+ | 이므로 베이즈의 정리가 그 값을 0으로 만든다. 다시 말해 언제나 노름꾼이 잃게끔 꾸미는 것은 불가능하다. | ||
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+ | |||