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--- 수학:네덜란드식_마권 [2016/02/16 20:10] – admin
+++ 수학:네덜란드식_마권 [2016/02/16 20:48] – [역의 증명] admin
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 S_E \\ S_{\overline{E}}
 \end{pmatrix}
-$$
+= P\begin{pmatrix}
-이다. 위 $2\times 2$ 행렬의 행렬식이 0이 아니면 마권업자가 임의로 수익을 결정할 수 있게 된다. 따라서 행렬식이 0이 된다는 조건으로부터 $p(\overline{E}) = 0$이고
+S_E \\ S_{\overline{E}}
+\end{pmatrix}$$
+이다. 위 $2\times 2$ 행렬 $P$의 행렬식이 0이 아니면 마권업자가 임의로 수익을 결정할 수 있게 된다. 따라서 행렬식이 0이 된다는 조건으로부터 $p(\overline{E}) = 0$이고
 $$G_E = 0$$
 $$G_{\overline{E}} = -S_{\overline{E}}$$
@@ Line 83: / Line 85: @@
 S_{E_2}
 \end{pmatrix}
-$$
+= P\begin{pmatrix}
+S_E \\
+S_{E_1} \\
+S_{E_2}
+\end{pmatrix}$$
 처럼 쓸 수 있다. $3 \times 3$ 행렬 $P$의 행렬식이 0이 되지 않는다면 마권업자가 임의로 노름꾼의 결과를 설정할 수 있게 된다. 따라서
 $$\det P = p(E) - p(E_1) - p(E_2) = 0$$
@@ Line 119: / Line 125: @@
 \end{pmatrix}
 \begin{pmatrix}
+S_B\\
+S_{A|B}\\
+S_{A\cap B}
+\end{pmatrix}
+= P\begin{pmatrix}
 S_B\\
 S_{A|B}\\
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 ======정규화======
+=====확률의 정규화=====
+사건 $E$와 $\overline{E}$가 상호배제 사건이고 이것 아니면 저것임이 확실하므로
+$$1 = P(E \cup \overline{E}) = P(E) + P(\overline{E})$$
+이다.
+=====세 번째 규칙을 대체하기=====
+상호배제 사건의 확률들을 더할 수 있다는 세 번째 규칙 대신 정규화 조건을 넣을 수도 있다. 이를 보기 위해 상호배제 사건인 $E_1$과 $E_2$를 고려하고 $E = E_1 \cup E_2$라고 하자. $E_1$과 $E_2$가 모든 가능성을 포괄하므로 정규화 조건에 의해
+$$p(E_1 |E) + p(E_2 |E) = 1$$
+이다. 나아가, $E_1$ 또는 $E_2$가 일어났다면 $E$ 역시 당연히 일어난 것이므로
+$$p(E|E_1) = p(E|E_2) = 1$$
+이다. 베이즈의 정리에 의하면
+$$p(E_1|E) p(E) = p(E|E_1) p(E_1) = p(E_1)$$
+$$p(E_2|E) p(E) = p(E|E_2) p(E_1) = p(E_2)$$
+이고 두 식을 더하면
+$$p(E) = p(E_1) + p(E_2)$$
+로서 아까의 세 번째 규칙을 유도할 수 있다.
+=====행렬식을 통한 정규화 조건 유도=====
+두 사건 $E$와 $\overline{E}$를 생각하면, 각각의 경우 노름꾼이 가지는 돈의 액수는 다음의 식처럼 쓸 수 있다.
+$$\begin{pmatrix}
+G_E\\
+G_{\overline{E}}
+\end{pmatrix}
+=\begin{pmatrix}
+[1-p(E)] & -p(\overline{E})\\
+-p(E) & [1-p(\overline{E})
+\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
+S_E\\
+S_\overline{E}
+\end{pmatrix}
+= P
+\begin{pmatrix}
+S_E\\
+S_\overline{E}
+\end{pmatrix}
+$$
+마권업자의 뜻대로 되는 것을 막으려면 가운데 $2 \times 2$ 행렬 $P$의 행렬식이 0으로 되어야 할 것이다. 따라서
+$$0 = \det P = 1- [p(E) + p(\overline{E})]$$
+으로 정규화 조건을 얻는다.
+======상호배제가 아닌 사건들======
+두 사건 $A$와 $B$는 일반적으로 상호배제하지 않는다. 그러나 $A \cap \overline{B}$와 $B$는 상호배제 사건들이다. 그러므로 두 사건들의 확률은 더할 수 있다:
+$$P(A \cap \overline{B}) + P(B) = P[(A \cap \overline{B}) \cup B].$$
+분배 법칙에 의하면
+$$(A \cap \overline{B}) \cup B = (A \cup B) \cap (\overline{B} \cup B) = A \cup B$$
+이므로, 정리해보면
+$$P(A \cap \overline{B}) + P(B) = P[A\cup B]$$
+이다. 베이즈의 정리를 이용하면
+$$P(A \cap \overline{B}) = p(\overline{B} | A) p(A) = [1-p(B|A)] p(A) = p(A) - p(A\cap B)$$
+임을 알 수 있다. 따라서 일반적으로는
+$$p(A \cap B) = p(A) + p(B) - p(A \cap B)$$
+이다.
+======역의 증명======
+다음의 두 가지를 증명하면 이 둘을 조합함으로써 일반적인 이야기를 할 수 있을 것이다.
+=====첫 번째 경우=====
+상호배타적이고 전체를 망라하는(exhaustive) 사건들에 대해 내기를 건다고 생각하자.
 ======참고문헌======
   *[[https://en.wikipedia.org/wiki/Dutch_book|Dutch book (Wikipedia)]]