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--- 수학:네덜란드식_마권 [2016/02/16 20:31] – [베이즈의 정리] admin
+++ 수학:네덜란드식_마권 [2016/02/16 20:48] – [역의 증명] admin
@@ Line 54: / Line 54: @@
 S_E \\ S_{\overline{E}}
 \end{pmatrix}
-$$
+= P\begin{pmatrix}
-이다. 위 $2\times 2$ 행렬의 행렬식이 0이 아니면 마권업자가 임의로 수익을 결정할 수 있게 된다. 따라서 행렬식이 0이 된다는 조건으로부터 $p(\overline{E}) = 0$이고
+S_E \\ S_{\overline{E}}
+\end{pmatrix}$$
+이다. 위 $2\times 2$ 행렬 $P$의 행렬식이 0이 아니면 마권업자가 임의로 수익을 결정할 수 있게 된다. 따라서 행렬식이 0이 된다는 조건으로부터 $p(\overline{E}) = 0$이고
 $$G_E = 0$$
 $$G_{\overline{E}} = -S_{\overline{E}}$$
@@ Line 83: / Line 85: @@
 S_{E_2}
 \end{pmatrix}
-$$
+= P\begin{pmatrix}
+S_E \\
+S_{E_1} \\
+S_{E_2}
+\end{pmatrix}$$
 처럼 쓸 수 있다. $3 \times 3$ 행렬 $P$의 행렬식이 0이 되지 않는다면 마권업자가 임의로 노름꾼의 결과를 설정할 수 있게 된다. 따라서
 $$\det P = p(E) - p(E_1) - p(E_2) = 0$$
@@ Line 175: / Line 181: @@
 으로 정규화 조건을 얻는다.
+======상호배제가 아닌 사건들======
+두 사건 $A$와 $B$는 일반적으로 상호배제하지 않는다. 그러나 $A \cap \overline{B}$와 $B$는 상호배제 사건들이다. 그러므로 두 사건들의 확률은 더할 수 있다:
+$$P(A \cap \overline{B}) + P(B) = P[(A \cap \overline{B}) \cup B].$$
+분배 법칙에 의하면
+$$(A \cap \overline{B}) \cup B = (A \cup B) \cap (\overline{B} \cup B) = A \cup B$$
+이므로, 정리해보면
+$$P(A \cap \overline{B}) + P(B) = P[A\cup B]$$
+이다. 베이즈의 정리를 이용하면
+$$P(A \cap \overline{B}) = p(\overline{B} | A) p(A) = [1-p(B|A)] p(A) = p(A) - p(A\cap B)$$
+임을 알 수 있다. 따라서 일반적으로는
+$$p(A \cap B) = p(A) + p(B) - p(A \cap B)$$
+이다.
+======역의 증명======
+다음의 두 가지를 증명하면 이 둘을 조합함으로써 일반적인 이야기를 할 수 있을 것이다.
+=====첫 번째 경우=====
+상호배타적이고 전체를 망라하는(exhaustive) 사건들에 대해 내기를 건다고 생각하자.
 ======참고문헌======
   *[[https://en.wikipedia.org/wiki/Dutch_book|Dutch book (Wikipedia)]]