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수학:네덜란드식_마권 [2016/02/16 20:31] – [베이즈의 정리] admin | 수학:네덜란드식_마권 [2016/02/16 20:56] – [첫 번째 경우] admin | ||
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* 확률은 0부터 1까지의 값을 가질 수 있다. | * 확률은 0부터 1까지의 값을 가질 수 있다. | ||
* 확실하게 일어나는 일은 확률 1이다. | * 확실하게 일어나는 일은 확률 1이다. | ||
- | * 상호배제하는 | + | * 상호배타적인 |
* [[수학: | * [[수학: | ||
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S_E \\ S_{\overline{E}} | S_E \\ S_{\overline{E}} | ||
\end{pmatrix} | \end{pmatrix} | ||
- | $$ | + | = P\begin{pmatrix} |
- | 이다. 위 $2\times 2$ 행렬의 행렬식이 0이 아니면 마권업자가 임의로 수익을 결정할 수 있게 된다. 따라서 행렬식이 0이 된다는 조건으로부터 $p(\overline{E}) = 0$이고 | + | S_E \\ S_{\overline{E}} |
+ | \end{pmatrix}$$ | ||
+ | 이다. 위 $2\times 2$ 행렬 | ||
$$G_E = 0$$ | $$G_E = 0$$ | ||
$$G_{\overline{E}} = -S_{\overline{E}}$$ | $$G_{\overline{E}} = -S_{\overline{E}}$$ | ||
Line 62: | Line 64: | ||
- | =====상호배제 사건===== | + | =====상호배타적인 |
- | 상호배제하는 | + | 상호배타적인 |
* $E_1$도 $E_2$도 일어나지 않음. 이 때 노름꾼이 갖게 되는 돈은 $G_{\overline{E}} = -p(E) S_E - p(E_1) S_{E_1} - p(E_2) S_{E_2}$이다. | * $E_1$도 $E_2$도 일어나지 않음. 이 때 노름꾼이 갖게 되는 돈은 $G_{\overline{E}} = -p(E) S_E - p(E_1) S_{E_1} - p(E_2) S_{E_2}$이다. | ||
* $E_1$이 일어남. 그러면 $G_{E_1} = [1-p(E)] S_E + [1-p(E_1)] S_{E_1} - p(E_2) S_{E_2}$이다. | * $E_1$이 일어남. 그러면 $G_{E_1} = [1-p(E)] S_E + [1-p(E_1)] S_{E_1} - p(E_2) S_{E_2}$이다. | ||
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S_{E_2} | S_{E_2} | ||
\end{pmatrix} | \end{pmatrix} | ||
- | $$ | + | = P\begin{pmatrix} |
+ | S_E \\ | ||
+ | S_{E_1} \\ | ||
+ | S_{E_2} | ||
+ | \end{pmatrix}$$ | ||
처럼 쓸 수 있다. $3 \times 3$ 행렬 $P$의 행렬식이 0이 되지 않는다면 마권업자가 임의로 노름꾼의 결과를 설정할 수 있게 된다. 따라서 | 처럼 쓸 수 있다. $3 \times 3$ 행렬 $P$의 행렬식이 0이 되지 않는다면 마권업자가 임의로 노름꾼의 결과를 설정할 수 있게 된다. 따라서 | ||
$$\det P = p(E) - p(E_1) - p(E_2) = 0$$ | $$\det P = p(E) - p(E_1) - p(E_2) = 0$$ | ||
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=====확률의 정규화===== | =====확률의 정규화===== | ||
- | 사건 $E$와 $\overline{E}$가 상호배제 사건이고 이것 아니면 저것임이 확실하므로 | + | 사건 $E$와 $\overline{E}$가 상호배타적인 |
$$1 = P(E \cup \overline{E}) = P(E) + P(\overline{E})$$ | $$1 = P(E \cup \overline{E}) = P(E) + P(\overline{E})$$ | ||
이다. | 이다. | ||
=====세 번째 규칙을 대체하기===== | =====세 번째 규칙을 대체하기===== | ||
- | 상호배제 사건의 확률들을 더할 수 있다는 세 번째 규칙 대신 정규화 조건을 넣을 수도 있다. 이를 보기 위해 상호배제 사건인 $E_1$과 $E_2$를 고려하고 $E = E_1 \cup E_2$라고 하자. $E_1$과 $E_2$가 모든 가능성을 포괄하므로 정규화 조건에 의해 | + | 상호배타적인 |
$$p(E_1 |E) + p(E_2 |E) = 1$$ | $$p(E_1 |E) + p(E_2 |E) = 1$$ | ||
이다. 나아가, $E_1$ 또는 $E_2$가 일어났다면 $E$ 역시 당연히 일어난 것이므로 | 이다. 나아가, $E_1$ 또는 $E_2$가 일어났다면 $E$ 역시 당연히 일어난 것이므로 | ||
Line 175: | Line 181: | ||
으로 정규화 조건을 얻는다. | 으로 정규화 조건을 얻는다. | ||
+ | ======상호배타적이지 않은 사건들====== | ||
+ | 두 사건 $A$와 $B$는 일반적으로 상호배타적이지 않다. 그러나 $A \cap \overline{B}$와 $B$는 상호배타적인 사건들이다. 그러므로 두 사건들의 확률은 더할 수 있다: | ||
+ | $$P(A \cap \overline{B}) + P(B) = P[(A \cap \overline{B}) \cup B].$$ | ||
+ | 분배 법칙에 의하면 | ||
+ | $$(A \cap \overline{B}) \cup B = (A \cup B) \cap (\overline{B} \cup B) = A \cup B$$ | ||
+ | 이므로, 정리해보면 | ||
+ | $$P(A \cap \overline{B}) + P(B) = P[A\cup B]$$ | ||
+ | 이다. 베이즈의 정리를 이용하면 | ||
+ | $$P(A \cap \overline{B}) = p(\overline{B} | A) p(A) = [1-p(B|A)] p(A) = p(A) - p(A\cap B)$$ | ||
+ | 임을 알 수 있다. 따라서 일반적으로는 | ||
+ | $$p(A \cap B) = p(A) + p(B) - p(A \cap B)$$ | ||
+ | 이다. | ||
+ | |||
+ | ======역의 증명====== | ||
+ | 다음의 두 경우를 증명하면 이 둘을 조합함으로써 일반적인 이야기를 할 수 있을 것이다. | ||
+ | |||
+ | =====첫 번째 경우===== | ||
+ | 상호배타적이고 전체를 망라하는(exhaustive) 사건들 $N$ 개에 대해 내기를 건다고 생각하자. 각 사건 $j$에 대해 $S_j$의 판돈이 걸려있는데 노름꾼이 이에 $p_j$의 믿음을 가짐으로써 $p_j S_j$의 돈을 걸고 내기에 참여한다고 하자. 만일 사건 $j$가 일어난다면 노름꾼이 가지게 되는 금액은 | ||
+ | $$G_j = S_j - \sum_{k=1}^N p_k S_k$$ | ||
+ | 이다. 전체를 놓고 보면 이 노름꾼이 가지게 될 금액의 기대값은 | ||
+ | $$G = \sum_{j=1}^N p_j G_j = \sum_{j=1}^N p_j S_j - \sum_{j=1}^N \sum_{k=1}^N p_j p_k S_k | ||
+ | = \left(1 - \sum_{k=1}^N p_k \right) \sum_{j=1}^N p_j S_j$$ | ||
+ | 이다. 확률이 정규화되어 있다면 $G=0$이고 이는 모든 결과를 음수로 만드는 것이 불가능함을 의미한다. | ||
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+ | =====두 번째 경우===== | ||