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수학:범함수 [2017/07/11 19:01] – [예] minjae | 수학:범함수 [2020/01/10 11:40] – [세 번째 항] admin | ||
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$$\frac{df}{dx}=\lim_{\epsilon\rightarrow0}\frac{f(x+\epsilon)-f(x)}{\epsilon}$$ | $$\frac{df}{dx}=\lim_{\epsilon\rightarrow0}\frac{f(x+\epsilon)-f(x)}{\epsilon}$$ | ||
함수의 미분법은 위의 식으로 설명하면 $x$가 조금 변할 때 함수 $f(x)$가 얼마나 변하는 것인지를 나타내는 표현이다. 이와 같은 방식으로 범함수의 미분법을 정의하면 다음과 같이 정의할 수 있다. | 함수의 미분법은 위의 식으로 설명하면 $x$가 조금 변할 때 함수 $f(x)$가 얼마나 변하는 것인지를 나타내는 표현이다. 이와 같은 방식으로 범함수의 미분법을 정의하면 다음과 같이 정의할 수 있다. | ||
- | $$\frac{\delta F}{\delta f(x)}=\lim_{\epsilon\rightarrow0}\frac{F[f(x^{\prime}+\epsilon\delta(x-x^{\prime})]-F[f(x^{\prime})]}{\epsilon}$$ | + | $$\frac{\delta F}{\delta f(x)}=\lim_{\epsilon\rightarrow0}\frac{F[f(x^{\prime})+\epsilon\delta(x-x^{\prime})]-F[f(x^{\prime})]}{\epsilon}$$ |
위의 정의식은 함수 $f(x)$가 변하는 정도에 따라 범함수 $F$가 얼마나 변하는 것인지 정의하는 것이므로 $\epsilon$이 조금 변할 때 함수 $f(x)$가 변하고 그로 인해 범함수 $F$가 변하는 정도를 나타낸 것으로 이해할 수 있다. 함수 $f(x)$의 값이 아주 조금 변하는 것은 $\delta$함수로 표현한다. | 위의 정의식은 함수 $f(x)$가 변하는 정도에 따라 범함수 $F$가 얼마나 변하는 것인지 정의하는 것이므로 $\epsilon$이 조금 변할 때 함수 $f(x)$가 변하고 그로 인해 범함수 $F$가 변하는 정도를 나타낸 것으로 이해할 수 있다. 함수 $f(x)$의 값이 아주 조금 변하는 것은 $\delta$함수로 표현한다. | ||
- | =====예===== | + | =====자주 보는 |
범함수 $J[f]=\int g(f^{\prime})dy$에 대한 미분법을 예로 들자. 여기서 $f^{\prime}$은 $f^{\prime}=\frac{df}{dy}$이다. 범함수 미분법의 정의식에 대입하면 | 범함수 $J[f]=\int g(f^{\prime})dy$에 대한 미분법을 예로 들자. 여기서 $f^{\prime}$은 $f^{\prime}=\frac{df}{dy}$이다. 범함수 미분법의 정의식에 대입하면 | ||
$$\frac{\delta J[f]}{\delta f(x)} = \lim_{\epsilon\rightarrow0}\frac{1}{\epsilon}\left[\int dyg\left(\frac{\partial}{\partial y}[f(y)+\epsilon\delta(y-x)]\right)-\int dyg\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)\right]$$ | $$\frac{\delta J[f]}{\delta f(x)} = \lim_{\epsilon\rightarrow0}\frac{1}{\epsilon}\left[\int dyg\left(\frac{\partial}{\partial y}[f(y)+\epsilon\delta(y-x)]\right)-\int dyg\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)\right]$$ | ||
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을 얻게 된다. | 을 얻게 된다. | ||
+ | =====또다른 예: 감쇠 오일러 방정식의 분석===== | ||
+ | 밀도장 $\rho(\vec{r}, | ||
+ | \begin{eqnarray*} | ||
+ | \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \vec{u}) &=& 0\\ | ||
+ | \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + (\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u} &=& -\frac{1}{\rho} \nabla P - \nabla \Phi - \xi \vec{u} | ||
+ | \end{eqnarray*} | ||
+ | $P$는 일종의 압력, $\xi$는 감쇠 계수를 의미힌다. 그러면 아래의 리아푸노프 함수가 존재해서 | ||
+ | \[ | ||
+ | F[\rho, | ||
+ | \] | ||
+ | 그 시간 변화율이 언제나 | ||
+ | \[ \dot{F} = - \int \xi \rho |\vec{u}|^2 d\vec{r} \le 0 \] | ||
+ | 임을 보일 수 있다. | ||
+ | ====첫 번째 항==== | ||
+ | 표기를 약간 간단하게 하기 위해 $\Psi(\rho) \equiv \int^\rho \frac{P(\rho' | ||
+ | \begin{eqnarray*} | ||
+ | \frac{\delta}{\delta \rho(\vec{r})} \int \rho(\vec{r}' | ||
+ | \lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{\epsilon} \left\{ \int \left[ \rho(\vec{r}' | ||
+ | \int^{\rho(\vec{r}' | ||
+ | - \int \rho(\vec{r}' | ||
+ | \right\}\\ | ||
+ | & | ||
+ | \lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{\epsilon} \left\{ \int \left[ \rho(\vec{r}' | ||
+ | \left[ \int^{\rho(\vec{r}' | ||
+ | + \frac{P[\rho(\vec{r}' | ||
+ | \right] d\vec{r}' | ||
+ | - \int \rho(\vec{r}' | ||
+ | \right\}\\ | ||
+ | & | ||
+ | \int \rho(\vec{r}' | ||
+ | &=& | ||
+ | \frac{P[\rho(\vec{r})]}{\rho(\vec{r})} + \int^{\rho(\vec{r})} \frac{P(\rho' | ||
+ | &=& | ||
+ | \frac{P[\rho(\vec{r})]}{\rho(\vec{r})} + \Psi[\rho(\vec{r})] | ||
+ | \end{eqnarray*} | ||
+ | ====두 번째 항==== | ||
+ | \begin{eqnarray*} | ||
+ | \frac{\delta}{\delta \rho(\vec{r})} \int \rho(\vec{r}' | ||
+ | &=& \frac{\delta}{\delta \rho(\vec{r})} \int \rho(\vec{r}' | ||
+ | &=& \lim_{\epsilon\to 0} \frac{1}{\epsilon} \left\{ \int \left[ \rho(\vec{r}' | ||
+ | \left[ \rho(\vec{r}'' | ||
+ | - \int \rho(\vec{r}' | ||
+ | \right\}\\ | ||
+ | & | ||
+ | \int \rho(\vec{r}' | ||
+ | +\int \rho(\vec{r}'' | ||
+ | &=& \int \rho(\vec{r}' | ||
+ | &=& 2\Phi(\vec{r}) | ||
+ | \end{eqnarray*} | ||
+ | |||
+ | ====세 번째 항==== | ||
+ | 이 계산이 가장 간단하다. | ||
+ | \begin{eqnarray*} | ||
+ | \frac{\delta}{\delta \rho(\vec{r})} \int \rho(\vec{r}' | ||
+ | \lim_{\epsilon\to 0} \frac{1}{\epsilon} \left\{ \int \left[ \rho(\vec{r}' | ||
+ | - \int \rho(\vec{r}' | ||
+ | &=& | ||
+ | \int \delta (\vec{r}-\vec{r}' | ||
+ | &=& \frac{|\vec{u}(\vec{r})|^2}{2} | ||
+ | \end{eqnarray*} | ||
+ | |||
+ | ====$F$의 미분==== | ||
+ | 연쇄법칙(chain rule)에 의해 | ||
+ | \[ \frac{dF}{dt} = \int d\vec{r} \left( \frac{\delta F}{\delta \rho(\vec{r})} \frac{\partial \rho(\vec{r}, | ||
+ | + \frac{\delta F}{\delta u_x(\vec{r})} \frac{\partial u_x(\vec{r}, | ||
+ | + \frac{\delta F}{\delta u_y(\vec{r})} \frac{\partial u_y(\vec{r}, | ||
+ | + \frac{\delta F}{\delta u_z(\vec{r})} \frac{\partial u_z(\vec{r}, | ||
+ | \right) \] | ||
+ | $\vec{u}$의 성분별로도 변분하는 과정이 필요하다. 예를 들어 | ||
+ | \begin{eqnarray*} | ||
+ | \frac{\delta}{\delta u_x(\vec{r})} \int \rho(\vec{r}' | ||
+ | \lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{\epsilon} \int \rho(\vec{r}' | ||
+ | & | ||
+ | \end{eqnarray*} | ||
======참고 문헌====== | ======참고 문헌====== | ||
- | * T. Lancaster and S. J. Blundell, //Quantum Field Theory for the Gited Amateur.// (Oxford Univerty Press, 2014) | + | |
+ | * P. H. Chavanis, Eur. Phys. J. B 62, 179 (2008) [[doi: |