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수학:범함수 [2020/01/09 17:07] – [예] admin | 수학:범함수 [2020/01/10 11:57] – [$F$의 미분] admin | ||
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Line 38: | Line 38: | ||
을 얻게 된다. | 을 얻게 된다. | ||
- | =====감쇠 오일러 방정식의 분석===== | + | =====또다른 예: 감쇠 오일러 방정식의 분석===== |
밀도장 $\rho(\vec{r}, | 밀도장 $\rho(\vec{r}, | ||
\begin{eqnarray*} | \begin{eqnarray*} | ||
Line 51: | Line 51: | ||
\[ \dot{F} = - \int \xi \rho |\vec{u}|^2 d\vec{r} \le 0 \] | \[ \dot{F} = - \int \xi \rho |\vec{u}|^2 d\vec{r} \le 0 \] | ||
임을 보일 수 있다. | 임을 보일 수 있다. | ||
+ | |||
+ | ====첫 번째 항==== | ||
+ | 표기를 약간 간단하게 하기 위해 $\Psi(\rho) \equiv \int^\rho \frac{P(\rho' | ||
+ | \begin{eqnarray*} | ||
+ | \frac{\delta}{\delta \rho(\vec{r})} \int \rho(\vec{r}' | ||
+ | \lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{\epsilon} \left\{ \int \left[ \rho(\vec{r}' | ||
+ | \int^{\rho(\vec{r}' | ||
+ | - \int \rho(\vec{r}' | ||
+ | \right\}\\ | ||
+ | & | ||
+ | \lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{\epsilon} \left\{ \int \left[ \rho(\vec{r}' | ||
+ | \left[ \int^{\rho(\vec{r}' | ||
+ | + \frac{P[\rho(\vec{r}' | ||
+ | \right] d\vec{r}' | ||
+ | - \int \rho(\vec{r}' | ||
+ | \right\}\\ | ||
+ | & | ||
+ | \int \rho(\vec{r}' | ||
+ | &=& | ||
+ | \frac{P[\rho(\vec{r})]}{\rho(\vec{r})} + \int^{\rho(\vec{r})} \frac{P(\rho' | ||
+ | &=& | ||
+ | \frac{P[\rho(\vec{r})]}{\rho(\vec{r})} + \Psi[\rho(\vec{r})] | ||
+ | \end{eqnarray*} | ||
+ | |||
+ | ====두 번째 항==== | ||
+ | \begin{eqnarray*} | ||
+ | \frac{\delta}{\delta \rho(\vec{r})} \int \rho(\vec{r}' | ||
+ | &=& \frac{\delta}{\delta \rho(\vec{r})} \int \rho(\vec{r}' | ||
+ | &=& \lim_{\epsilon\to 0} \frac{1}{\epsilon} \left\{ \int \left[ \rho(\vec{r}' | ||
+ | \left[ \rho(\vec{r}'' | ||
+ | - \int \rho(\vec{r}' | ||
+ | \right\}\\ | ||
+ | & | ||
+ | \int \rho(\vec{r}' | ||
+ | +\int \rho(\vec{r}'' | ||
+ | &=& \int \rho(\vec{r}' | ||
+ | &=& 2\Phi(\vec{r}) | ||
+ | \end{eqnarray*} | ||
+ | |||
+ | ====세 번째 항==== | ||
+ | 이 계산이 가장 간단하다. | ||
+ | \begin{eqnarray*} | ||
+ | \frac{\delta}{\delta \rho(\vec{r})} \int \rho(\vec{r}' | ||
+ | \lim_{\epsilon\to 0} \frac{1}{\epsilon} \left\{ \int \left[ \rho(\vec{r}' | ||
+ | - \int \rho(\vec{r}' | ||
+ | &=& | ||
+ | \int \delta (\vec{r}-\vec{r}' | ||
+ | &=& \frac{|\vec{u}(\vec{r})|^2}{2} | ||
+ | \end{eqnarray*} | ||
+ | |||
+ | ====$F$의 미분==== | ||
+ | 연쇄법칙(chain rule)에 의해 | ||
+ | \[ \frac{dF}{dt} = \int d\vec{r} \left( \frac{\delta F}{\delta \rho(\vec{r})} \frac{\partial \rho(\vec{r}, | ||
+ | + \frac{\delta F}{\delta u_x(\vec{r})} \frac{\partial u_x(\vec{r}, | ||
+ | + \frac{\delta F}{\delta u_y(\vec{r})} \frac{\partial u_y(\vec{r}, | ||
+ | + \frac{\delta F}{\delta u_z(\vec{r})} \frac{\partial u_z(\vec{r}, | ||
+ | \right). \] | ||
+ | $\vec{u}$의 성분별로도 변분하는 과정이 필요하다. 예를 들어 | ||
+ | \begin{eqnarray*} | ||
+ | \frac{\delta}{\delta u_x(\vec{r})} \int \rho(\vec{r}' | ||
+ | \lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{\epsilon} \int \rho(\vec{r}' | ||
+ | & | ||
+ | \end{eqnarray*} | ||
+ | |||
+ | ====종합==== | ||
+ | 앞의 결과들을 모두 모으면 다음과 같다. | ||
+ | \begin{eqnarray*} | ||
+ | \frac{dF}{dt} &=& \int \left( \Phi + \Psi + \frac{P}{\rho} + \frac{|\vec{u}|^2}{2} \right) \frac{\partial \rho}{\partial t} d\vec{r} + \int \rho \vec{u} \cdot \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} d\vec{r}\\ | ||
+ | &=& | ||
+ | \int \left( \Phi + \Psi + \frac{P}{\rho} + \frac{|\vec{u}|^2}{2} \right) \left[ -\nabla \cdot (\rho \vec{u}) \right] d\vec{r} | ||
+ | + \int (\rho \vec{u}) \cdot \left[ -(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u} - \frac{1}{\rho} \nabla P - \nabla \Phi - \xi \vec{u} \right] d\vec{r}\\ | ||
+ | &=& | ||
+ | \int \nabla \left( \Phi + \Psi + \frac{P}{\rho} + \frac{|\vec{u}|^2}{2} \right) \cdot (\rho \vec{u}) d\vec{r} | ||
+ | + \int (\rho \vec{u}) \cdot \left[ -(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u} - \frac{1}{\rho} \nabla P - \nabla \Phi - \xi \vec{u} \right] d\vec{r}. | ||
+ | \end{eqnarray*} | ||
+ | 마지막 줄로 넘어올 때에는 부분적분을 시행했다. 이제 | ||
+ | \begin{eqnarray*} | ||
+ | \nabla \Psi &=& \nabla \int^{\rho(\vec{r})} \frac{P(\rho' | ||
+ | \nabla \frac{P[\rho(\vec{r})]}{\rho(\vec{r})} &=& \frac{\nabla P}{\rho} - \frac{\nabla \rho}{\rho^2} P | ||
+ | \end{eqnarray*} | ||
+ | 임을 이용할 것이다. 또 Green의 벡터 항등식 | ||
+ | \[ \nabla^2 (\vec{A} \cdot \vec{B}) = \vec{A} \cdot \nabla^2 \vec{B} - \vec{B} \cdot \nabla^2 \vec{A} + 2\nabla \cdot [(\vec{B}\cdot \nabla) \vec{A} + \vec{B} \times (\nabla \times \vec{A})]\] | ||
+ | 을 활용하면 | ||
+ | \[ (\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u} = \nabla \left( \frac{|\vec{u}|^2}{2} \right) -\vec{u}\times (\nabla \times \vec{u}) \] | ||
+ | 임을 보일 수 있다. 따라서 | ||