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수학:베이지언_자백약 [2017/01/04 14:17] – [정식화] admin | 수학:베이지언_자백약 [2017/07/11 16:13] – external edit 127.0.0.1 |
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======개요====== | ======개요====== |
주관적인 답만이 가능한 문제에 대해 진실한 응답을 하는 것이 [[수학:내쉬 균형]]이 되게끔 설계된 게임. [[수학:베이즈의 정리]]를 사용해 추론할 경우 자신이 알고 있는 진실의 빈도를 다른 사람들은 과소평가해서 예측할 것으로 기대한다는 점을 이용한다. 예를 들어 내가 가장 좋아하는 화가가 피카소라고 하면 나는 많은 사람들, 예컨대 100명 중 피카소를 꼽는 사람이 적어도 한 명(=나) 있다는 것을 안다. 하지만 나는 다른 사람들은 이 사실을 몰라서 피카소 애호가의 비율을 1/1000 정도로 과소평가해서 예측할 것으로 기대한다는 것이다. | 주관적인 답만이 가능한 문제에 대해 진실한 응답을 하는 것이 [[수학:내쉬 균형]]이 되게끔 설계된 게임. [[수학:베이즈의 정리]]를 사용해 추론할 경우 자신이 알고 있는 진실의 빈도를 다른 사람들은 과소평가해서 예측할 것으로 기대한다는 점을 이용한다. 예를 들어 내가 가장 좋아하는 화가가 피카소라고 하면 나는 많은 사람들, 예컨대 100명 중 피카소를 꼽는 사람이 적어도 한 명(=나) 있다는 것을 안다. 하지만 나는 `다른 사람들은 이 사실을 몰라서 피카소 애호가의 비율을 1/1000 정도로 과소평가해서 예측할 것'으로 기대한다는 것이다. |
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======정식화====== | ======정식화====== |
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====앞면을 본 사람의 사후확률==== | ====앞면을 본 사람의 사후확률==== |
내가 던진 결과 앞면을 보았고, 다른 말로 나의 진실이 $t_1 \equiv (1,0)$이라고 생각해보자. 그러면 나는 동전에 앞면만 있다는 심증 쪽으로 더 기울 것이다. 즉 | 내가 던진 결과 앞면을 보았고, 다른 말로 나의 진실이 $t_1 \equiv (1,0)$이라고 생각해보자. 그러면 나는 동전에 앞면만 있다는 심증 쪽으로 더 기울 것이다. 즉 [[수학:확률|베이즈의 정리]]에 의해 |
$$p[\omega=(1,0)|t_1]=\frac{p[t_1|\omega=(1,0)] \times p[\omega=(1,0)]}{p[t_1|\omega=(1,0)] \times p[\omega=(1,0)] + p[t_1|\omega=(1/2,1/2)] \times p[\omega=(1/2,1/2)]} = \frac{1/2 \times 1/2}{1 \times 1/2 + 1/2 \times 1/2} = \frac{2}{3}$$ | \begin{eqnarray*} |
| p[\omega=(1,0)|t_1]&=&\frac{p[t_1|\omega=(1,0)] \times p[\omega=(1,0)]}{p[t_1|\omega=(1,0)] \times p[\omega=(1,0)] + p[t_1|\omega=(1/2,1/2)] \times p[\omega=(1/2,1/2)]}\\&=& \frac{1 \times 1/2}{1 \times 1/2 + 1/2 \times 1/2} = \frac{2}{3} |
| \end{eqnarray*} |
이고 따라서 $p[\omega=(1/2,1/2)|t_1]=1/3$이라는 것이 나의 사후확률이다. | 이고 따라서 $p[\omega=(1/2,1/2)|t_1]=1/3$이라는 것이 나의 사후확률이다. |
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나는 동전에 문제가 없다고 확신하므로, 사람들 전체를 보았을 때에 $1/2$은 앞면을 보았고 나머지 $1/2$은 뒷면을 보았다고 기대한다. 나아가 앞면을 본 전자의 사람들이 (군집 모두가 진실을 얘기했다는 가정 하에) 앞면 응답의 빈도를 $5/6$으로 추측할 것이라고 기대한다. 그리고 뒷면을 본 후자의 사람들이 나와 마찬가지로 앞면 응답의 빈도를 $1/2$로 추측할 것이라고 기대한다. 따라서 나는 | 나는 동전에 문제가 없다고 확신하므로, 사람들 전체를 보았을 때에 $1/2$은 앞면을 보았고 나머지 $1/2$은 뒷면을 보았다고 기대한다. 나아가 앞면을 본 전자의 사람들이 (군집 모두가 진실을 얘기했다는 가정 하에) 앞면 응답의 빈도를 $5/6$으로 추측할 것이라고 기대한다. 그리고 뒷면을 본 후자의 사람들이 나와 마찬가지로 앞면 응답의 빈도를 $1/2$로 추측할 것이라고 기대한다. 따라서 나는 |
$$\log \bar{y}_1 = \frac{1}{2} \log \frac{5}{6} + \frac{1}{2} \log \frac{1}{2}$$ | $$\log \bar{y}_1 = \frac{1}{2} \log \frac{5}{6} + \frac{1}{2} \log \frac{1}{2}$$ |
이라고 기대한다. 이는 앞면의 응답 비율을 각자 예측한 $y_1^r$을 기하평균하는 것이다. | 이라고 기대한다. 이는 앞면의 응답 비율을 사람들이 각자 예측한 결과 $y_1^r$을 기하평균하는 것이다. 단, 이 계산은 전지적 시점에서 이루어지는 것이 아니라 내가 아는 범위 안에서 추론하는 것일 뿐이다. |
같은 방식으로 나는 | 같은 방식으로 나는 |
$$\log \bar{y}_2 = \frac{1}{2} \log \frac{1}{6} + \frac{1}{2} \log \frac{1}{2}$$ | $$\log \bar{y}_2 = \frac{1}{2} \log \frac{1}{6} + \frac{1}{2} \log \frac{1}{2}$$ |