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수학:오차_분석 [2018/05/30 16:59] – created admin | 수학:오차_분석 [2023/09/05 15:46] (current) – external edit 127.0.0.1 | ||
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+ | ======표준 오차====== | ||
+ | $n$번의 반복 실험을 통해 관찰된 값들 $x_1, x_2, \ldots, x_n$이 있을 때, | ||
+ | 보고하는 값은 평균 | ||
+ | $$\overline{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i$$ | ||
+ | 와 표준오차(standard error) | ||
+ | $$\sigma_m \approx \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2}{n(n-1)}}$$ | ||
+ | 이다. 표준오차는 분산 $\sigma$와 비교했을 때 $\sigma_m = \sigma / \sqrt{n}$의 관계게 있다. | ||
+ | |||
+ | 분산과 표준오차는 다른 목적을 가지고 있다: 분산은 한정된 수의 샘플을 통해 거대한 모집단의 특성을 추정하고자 할 때 계산하는 양이다. | ||
+ | 그래서 많은 경우 $n$이 커지면 어떤 유한한 값, 즉 모집단이 가지고 있는 퍼짐의 정도에 수렴한다. | ||
+ | |||
+ | 반면 표준오차는 재현가능성(reproducibility)에 초점이 맞추어져 있어서, | ||
+ | " | ||
+ | 내가 $n$번의 반복으로 얻은 평균과, 다른 사람이 또 독립적으로 $n$번 실험하여 얻은 평균이 얼마나 다를지를 알려준다고 할 수도 있다. | ||
+ | 이 양은 $n$이 커질수록 점점 작아진다. | ||
+ | |||
+ | |||
======선형 회귀 분석====== | ======선형 회귀 분석====== | ||
$n$개의 데이터 $(X_i, Y_i)$가 주어져있을 때 $\hat{Y}_i=a+bX_i$를 가정하여 $Q \equiv \sum(Y_i-\hat{Y_i})^2$을 최소화하는 것이 목표이다. | $n$개의 데이터 $(X_i, Y_i)$가 주어져있을 때 $\hat{Y}_i=a+bX_i$를 가정하여 $Q \equiv \sum(Y_i-\hat{Y_i})^2$을 최소화하는 것이 목표이다. | ||
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로 정의하면 계수 $a$와 $b$는 | 로 정의하면 계수 $a$와 $b$는 | ||
$$a = \overline{Y} - b \overline{X}$$ | $$a = \overline{Y} - b \overline{X}$$ | ||
- | $$b = \frac{Cov(X, | + | $$b = \frac{Cov(X, |
로 결정된다. 나아가 | 로 결정된다. 나아가 | ||
$$SS_x \equiv \sum_{i=1}^n (X_i-\overline{X})^2$$ | $$SS_x \equiv \sum_{i=1}^n (X_i-\overline{X})^2$$ | ||
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라고 놓으면 기울기 $b$의 표준오차는 | 라고 놓으면 기울기 $b$의 표준오차는 | ||
$$s_b = \sqrt{\frac{SS_y/ | $$s_b = \sqrt{\frac{SS_y/ | ||
- | $a$의 표준오차는 | + | 그리고 |
$$s_a = s_{\small Y \cdot X} \sqrt{\frac{1}{n} + \frac{\overline{X}^2}{SS_x}}$$ | $$s_a = s_{\small Y \cdot X} \sqrt{\frac{1}{n} + \frac{\overline{X}^2}{SS_x}}$$ | ||
이다. | 이다. | ||
+ | 좀더 정밀하게는 $t$ 분포를 사용해서, | ||
+ | |||
+ | =====예제===== | ||
+ | |||
+ | | $i$ ^ $X_i$ ^ $Y_i$ ^ | ||
+ | ^ 1 | 4 | 9 | | ||
+ | ^ 2 | 8 | 20 | | ||
+ | ^ 3 | 9 | 22 | | ||
+ | ^ 4 | 8 | 15 | | ||
+ | ^ 5 | 8 | 17 | | ||
+ | ^ 6 | 12 | 30 | | ||
+ | ^ 7 | 6 | 18 | | ||
+ | ^ 8 | 10 | 25 | | ||
+ | ^ 9 | 6 | 10 | | ||
+ | ^ 10| 9 | 20 | | ||
+ | |||
+ | 계산해보면 $a = -2.270$, $b = 2.609$이며 $SS_x = \sum (X_i - \overline{X})^2 = 46$, 평균 제곱근 오차는 $s_{\small Y \cdot X} = 2.631$이다. $b$의 표준오차는 $\sigma_b = s_{\small Y \cdot X}/ | ||
+ | |||
+ | 이 예에서 자유도 $n-2=8$이므로 95% 신뢰구간을 보고하려면 $t(8; | ||
+ | |||
+ | =====원점을 지나야만 하는 경우===== | ||
+ | 종종 $(0,0)$을 지나는 것이 너무나 자명한 경우 이 사실을 이용할 수 있다. 이 때 기울기는 | ||
+ | $$b = \frac{\sum X_i Y_i}{\sum X_i^2}$$ | ||
+ | 으로 추정하고 그 표준오차는 다음과 같다: | ||
+ | $$s_b = \sqrt{\frac{\sum (Y_i - b X_i)^2}{n-1}} \frac{\sqrt{\sum X_i^2}}{\sum X_i^2}.$$ | ||
+ | |||
+ | ======참고문헌====== | ||
+ | * Boas, // | ||
+ | * 박성현, 김성수, 강명욱, // | ||
+ | * https:// |