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--- 수학:크로네커_델타 [2016/05/18 20:54] – [함께 보기] admin
+++ 수학:크로네커_델타 [2021/11/16 14:38] – [합으로의 표현] admin
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 \end{array} \right.$$
-=======다른 표현======
+=======합으로의 표현======
-이산 형태의 [[:수학:푸리에 변환]]을 통해 보면
+이산 형태의 [[수학:푸리에 변환|푸리에 급수]]를 통해 보면
 $$\sum_{j=1}^N \exp \left[ 2\pi i(n'-n) \frac{j}{N} \right] = N \delta_{nn'}.$$
-이 때에 $n=n'$에서 $N$이 되는 것은 자명하다. 또 $n \neq n'$이라면 위 합은 상쇄되어 0이 된다.
+이 때에 $n=n'$에서 $N$이 되는 것은 자명하다. 또 $n \neq n'$이라면 위 합은 상쇄되어 0이 된다. 이는 등비급수의 합을 통해 바로 확인할 수 있다:
+$$\sum_{j=1}^N \exp \left[ 2\pi i(n'-n) \frac{j}{N} \right] = \frac{1-\exp \left[  2\pi i(n'-n) \right]}{1-\exp \left[  \frac{2\pi i(n'-n)}{N} \right]} \exp \left[  \frac{2\pi i(n'-n)}{N} \right] = 0.$$
+======적분 표현======
+[[수학:푸리에 변환|푸리에 급수]]에서
+$$f(x) = \sum_{n=-\infty}^\infty c_n e^{inx}$$
+$$c_n = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) e^{-inx} dx$$
+이므로 첫 번째 식을 두 번째 식에 대입하면
+\begin{eqnarray}
+c_n &=& \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi \left( \sum_{m=-\infty}^\infty c_m e^{imx} \right) e^{-inx} dx\\
+&=& \sum_{m=-\infty}^\infty c_m \left( \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi e^{i(m-n)x} dx \right)\\
+&=& \sum_{m=-\infty}^\infty c_m \delta_{mn}
+\end{eqnarray}
+이다. 식 (1)에서 허깨비 변수 $m$이 도입되었음에 유의한다.
+즉
+$$\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi e^{i(m-n)x} dx = \delta_{mn}$$
+인데, 이는 좌변의 적분을 수행함으로써 바로 확인 가능하다.
 ======함께 보기======