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--- 수학:합성곱 [2016/04/06 09:32] – admin
+++ 수학:합성곱 [2016/04/06 18:50] – [합성곱의 미분] admin
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+======합성곱======
+[[수학:라플라스 변환]] $\mathcal{L}$에서 합성곱은 다음처럼 정의한다:
+$$f(t) \ast g(t) = \int_0^t f(t-t') g(t') dt'.$$
+그러면 $\mathcal{L}[f \ast g] = \mathcal{L}[f] \times \mathcal{L}[g]$가 만족된다.
 ======합성곱의 미분======
 함수 $f(t)$와 $g(t)$를 합성곱한 다음 이를 $t$로 미분한 결과를 $h(t)$라 하자:
 $$h(t) = \frac{d}{dt} (f\ast g)(t)$$
 이것의 [[수학:라플라스 변환]]은 아래와 같다:
-$$\tilde{h}(s) = \mathcal{L}\left[ \frac{d}{dt} (f\ast g) \right] = s \mathcal{L}[f\ast g] - (f\ast g)(t=0)$$
+$$\tilde{h}(s) = \mathcal{L}\left[ \frac{d}{dt} (f\ast g) \right] = s \mathcal{L}[f\ast g] - (f\ast g)(0)$$
-여기에서 마지막 항은 곧바로 0이 된다. 따라서
+여기에서 마지막 항은 적분구간의 길이가 0이므로 곧바로 0이 된다. 따라서
 $$\tilde{h}(s) = s \tilde{f}(s) \tilde{g}(s) = [s\tilde{f}(s) - f(0)] \tilde{g}(s) - f(0) \tilde{g}(s)$$
 이고 이를 역변환하면
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 &=& \eta \dot{q}(t) + 2\eta q(0) \delta(t).
 \end{eqnarray*}
-마지막 줄로 넘어가는 단계에서 [[수학:디락 델타 함수]] $\delta(t)$가 짝함수여서
+마지막 줄로 넘어가는 단계에서 [[수학:디락 델타 함수|적분 구간]]이 [[수학:디락 델타 함수]]의 절반만을 포함하기 때문에 $\frac{1}{2}$이 붙게 되었다.
-$\int_0^\infty \delta(t) dt = \frac{1}{2}$
-이라고 놓았다.