Differences
This shows you the differences between two versions of the page.
Both sides previous revision Previous revision Next revision | Previous revision Next revisionBoth sides next revision | ||
수학:확률 [2016/02/12 11:52] – [두 번째 예] admin | 수학:확률 [2017/01/20 16:28] – [상호독립과 짝독립] admin | ||
---|---|---|---|
Line 1: | Line 1: | ||
+ | |||
======두 가지 관점====== | ======두 가지 관점====== | ||
- | =====빈도론===== | + | =====빈도론(frequentism) 혹은 객관주의(objectivism)===== |
*모집단의 특성을 나타내는 매개변수는 고정된 상수로서 우리에게 알려져 있지 않다. | *모집단의 특성을 나타내는 매개변수는 고정된 상수로서 우리에게 알려져 있지 않다. | ||
*확률은 장기간에 걸친 상대적 빈도로 해석된다. | *확률은 장기간에 걸친 상대적 빈도로 해석된다. | ||
*통계적 절차는 실험을 무한히 반복했을 때의 결과를 통해 평가된다. | *통계적 절차는 실험을 무한히 반복했을 때의 결과를 통해 평가된다. | ||
- | =====베이즈 학파의 관점===== | + | =====베이즈 학파(bayesian) 혹은 주관주의(subjectivism)===== |
*매개변수의 실제 값이 우리에게 불확실하므로 이를 확률변수로 취급한다. | *매개변수의 실제 값이 우리에게 불확실하므로 이를 확률변수로 취급한다. | ||
*확률 법칙은 매개변수에 대한 추론을 위해 직접 사용된다. | *확률 법칙은 매개변수에 대한 추론을 위해 직접 사용된다. | ||
Line 11: | Line 12: | ||
*데이터를 수집하면서 베이즈의 정리를 따라 매개변수에 대한 우리의 믿음을 고쳐나간다. 이를 통해 사후(posterior) 확률을 얻는다. | *데이터를 수집하면서 베이즈의 정리를 따라 매개변수에 대한 우리의 믿음을 고쳐나간다. 이를 통해 사후(posterior) 확률을 얻는다. | ||
- | ======베이즈의 정리====== | + | ======확률론의 반례들====== |
- | 조건부 확률의 정의로부터 | + | |
- | $$ P(B|A) | + | =====상호독립과 짝독립===== |
- | 이 식은 | + | $\mathpb{P}(A_{i_{1}} A_{i_{2}}\cdots A_{i_{k}})=\mathpb{P}(A_{i_{1}})\mathpb{P}(A_{i_{2}})\cdots\mathpb{P}(A_{i{k}})$가 $k=2,\ldots,n$인 모든 $k$와, $1\leq i_{1}<i_{2}<\ldots<i_{k}\leq n$인 모든 $i_{1}, |
+ | $A_{1}, | ||
- | 분모에 등장하는 것처럼 가능한 $B$의 사건에 대해 더함으로써 얻어지는 확률은 주변(marginal) 확률이라고도 불린다: | + | 상호독립과 짝독립의 관계를 보기 위해 다음과 같은 상황을 |
- | $$P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap \overline{B}).$$ | + | |
- | ======베이즈의 정리를 이용한 추론====== | + | |
- | =====첫 번째 예===== | + | |
- | 5개의 공이 담긴 항아리가 있다. 공의 일부는 빨간색, 나머지는 녹색이지만 몇 개가 빨간색인지는 모른다. 확률변수 $X$가 항아리 속 빨간색 공의 갯수라고 하자. $X$의 가능한 값은 $x_i = 0, \ldots, 5$이다. 아무 정보가 없으므로 모든 값들이 동등하게 가능하다고 | + | |
- | 무작위로 공을 하나 골라내자. 확률 변수 | + | 겉보기에 차이가 없는 |
- | ^ | + | $A_{i}=$ $\{$ $i$번째 공에 |
- | | 0 | | + | |
- | | | + | |
- | | | + | |
- | | | + | |
- | | 4 | 1/6 | 4/5 | 4/30 | 4/15 | | + | |
- | | 5 | 1/6 | 5/5 | 5/30 | 5/15 | | + | |
- | | 합 | | | + | |
- | 공을 하나 더 뽑아보자 (빼낸 공을 다시 집어넣지 않는다). 이번에는 녹색 공이 나왔다고 해보자. 앞에서의 사후 확률이 이번에는 사전 확률이 되고 여기에서 갱신되는 확률 분포가 아래 표에 있다. | + | 그렇다면 |
+ | \begin{equation}\notag | ||
+ | P(A_{1})=P(A_{2})=P(A_{3})=\frac{1}{2} | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | 이 되고 | ||
+ | \begin{equation}\notag | ||
+ | P(A_{1}A_{2})=P(A_{1}A_{3})=P(A_{2}A_{3})=\frac{1}{4} | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | 이 되어 $A_{1}, | ||
- | ^ | + | 하지만 |
- | | 0 | 0 | ?? | 0 | 0 | | + | |
- | | 1 | 1/15 | 4/4 | 1/15 | | + | |
- | | | + | |
- | | 3 | 3/15 | 2/4 | | + | |
- | | 4 | 4/15 | | + | |
- | | 5 | 5/15 | 0/4 | 0 | 0 | | + | |
- | | 합 | | | + | |
- | 이렇게 한 번씩 사후 확률을 갱신하는 방법도 있고 두 번의 관찰을 동시에 고려해서 사후 확률을 만드는 방법도 있을 것이다. 이 둘은 정확히 같은 결과를 준다. | ||
+ | ====상호독립과 짝독립의 관계==== | ||
+ | 다음과 같은 상황을 생각하자. \\ | ||
+ | 겉보기에 차이가 없는 $16$개의 바구니가 앞에 놓여 있다. 바구니 안에는 $1$ 또는 $0$이 적힌 쪽지 하나씩이 들어 있는 공 $3$개가 각각 $1, | ||
- | =====두 | + | $A_{i}=$ $\{$ $i$번째 |
- | 큰 모집단에서 $p$라는 비율이 어떤 특징을 가지고 | + | |
- | $$f(y|p) = \binom{n}{y} p^y (1-p)^{n-y}.$$ | + | |
- | $y$를 고정한 상태에서 $p$가 변화한다고 생각하면 위의 식이 가능도가 된다. | + | |
- | 베이즈의 정리를 사용하려면 $p$의 값에 대한 우리의 믿음을 반영하는 사전 확률 $g(p)$가 있어야 한다. 사후 확률은 사전 확률이 가능도를 곱해서 얻어진다: | + | 그렇다면 |
+ | \begin{equation}\notag | ||
+ | P(A_{1})=P(A_{2})=P(A_{3})=\frac{1}{2} | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | 이 되고 | ||
+ | \begin{equation}\notag | ||
+ | P(A_{1}A_{2})=P(A_{1}A_{3})=P(A_{2}A_{3})=\frac{1}{4} | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | 이 되어 $A_{1}, | ||
- | 사전 확률로 베타 함수를 사용한다고 해보자: | + | 하지만 |
- | $$g(\pi; a,b) = \frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a) | + | ======함께 보기====== |
+ | [[수학: | ||
+ | [[수학: | ||
+ | [[수학: | ||
======참고문헌====== | ======참고문헌====== | ||
* W. M. Bolstad, Introduction to Bayesian statistics (Wiley, Hoboken, NJ, 2007). | * W. M. Bolstad, Introduction to Bayesian statistics (Wiley, Hoboken, NJ, 2007). | ||
+ | * J. M. Stoyanov, Counterexamples in Probability, |