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수학:1차_선형_상미분방정식 [2019/01/03 12:11] – admin | 수학:1차_선형_상미분방정식 [2024/05/23 20:35] – [일반화] admin | ||
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$$\int_0^xdx_1\int_0^{x_1}dx_2P(x_1)P(x_2) y_0 = \mathcal{T}\frac{1}{2}\left[\int_0^xdx' | $$\int_0^xdx_1\int_0^{x_1}dx_2P(x_1)P(x_2) y_0 = \mathcal{T}\frac{1}{2}\left[\int_0^xdx' | ||
- | 를 얻을 수 있다. | + | 를 얻을 수 있다. |
- | + | ||
- | $$\int_0^xdx_1\int_0^{x_1}dx_2\cdots\int_0^{x_n}dx_{n-1}P(x_1)P(x_2)\cdots P(x_n) y_0 = \mathcal{T}\frac{1}{n!}\left[\int_0^xdx' | + | |
- | + | ||
- | 를 가정하자. 그리고 여기에 $x$에 대한 미분을 취하면 | + | |
- | + | ||
- | \begin{align*} | + | |
- | \frac{d}{dx}\int_0^xdx_1\int_0^{x_1}dx_2\cdots\int_0^{x_{n+1}}dx_n P(x_1)P(x_2)\cdots P(x_n) y_0 &= P(x)\int_0^xdx_2\int_0^{x_2}dx_3\cdots\int_0^{x_n}dx_{n+1}P(x_2)P(x_3)\cdots P(x_{n+1}) y_0 \\ | + | |
- | &= \mathcal{T} P(x) \frac{1}{n!}\left[\int_0^xdx' | + | |
- | &= \mathcal{T} \frac{d}{dx}\frac{1}{(n+1)!}\left[\int_0^xdx' | + | |
- | \end{align*} | + | |
- | + | ||
- | 를 얻을 수 있고 위에서 $n=1$일 때 성립하는 것을 보였으므로 이것은 수학적 귀납법에 의해 자연수 $n$에 대해 일반적으로 성립한다는 것을 알 수 있다. 결론적으로 해는 | + | |
+ | 일반적으로 | ||
+ | $$\int_0^xdx_1\int_0^{x_1}dx_2\cdots\int_0^{x_{n-1}}dx_{n}P(x_1)P(x_2)\cdots P(x_{n}) y_0 = \mathcal{T}\frac{1}{n!}\left[\int_0^xdx' | ||
+ | 이다. 결론적으로 해는 | ||
$$y(x) = \sum_{n=0}^\infty \mathcal{T}\frac{(-1)^n}{n!}\left[\int_0^xdx' | $$y(x) = \sum_{n=0}^\infty \mathcal{T}\frac{(-1)^n}{n!}\left[\int_0^xdx' | ||
- | |||
이다. | 이다. | ||
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\end{eqnarray*} | \end{eqnarray*} | ||
괄호 안의 내용을 살펴보면, | 괄호 안의 내용을 살펴보면, | ||
- | $$\int_{x_3}^x dx_1 \int_{x_3}^{x_1} dx_2 P(x_1) P(x_2) Q(x_3) = \frac{\mathcal{T}}{2} \left[ \int_{x_3}^x dx'' | + | $$\int_{x_3}^x dx_1 \int_{x_3}^{x_1} dx_2 P(x_1) P(x_2) Q(x_3) = \frac{\mathcal{T}}{2} \left[ \int_{x_3}^x dx'' |
따라서 $Q(x)$로 인해 새로 등장한 항들을 다시 써보면 | 따라서 $Q(x)$로 인해 새로 등장한 항들을 다시 써보면 | ||
\begin{eqnarray*} | \begin{eqnarray*} |