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수학:1차_선형_상미분방정식 [2019/01/03 12:13] – admin | 수학:1차_선형_상미분방정식 [2024/05/23 20:58] (current) – [동차] admin | ||
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$$\int_0^xdx_1\int_0^{x_1}dx_2P(x_1)P(x_2) y_0 = \mathcal{T}\frac{1}{2}\left[\int_0^xdx' | $$\int_0^xdx_1\int_0^{x_1}dx_2P(x_1)P(x_2) y_0 = \mathcal{T}\frac{1}{2}\left[\int_0^xdx' | ||
- | 를 얻을 수 있다. | + | 를 얻을 수 있다. 일반적으로는 |
+ | $$\int_0^xdx_1\int_0^{x_1}dx_2\cdots\int_0^{x_{n-1}}dx_{n}P(x_1)P(x_2)\cdots | ||
+ | 이어서, 결론적으로 해는 | ||
+ | $$y(x) = \sum_{n=0}^\infty \mathcal{T}\frac{(-1)^n}{n!}\left[\int_0^xdx' | ||
+ | 이다. | ||
- | $$\int_0^xdx_1\int_0^{x_1}dx_2\cdots\int_0^{x_n}dx_{n-1}P(x_1)P(x_2)\cdots P(x_n) y_0 = \mathcal{T}\frac{1}{n!}\left[\int_0^xdx' | + | ====검산==== |
- | + | $n \ge 1$일 때($x_0 \equiv x$) | |
- | 를 가정하자. 그리고 여기에 $x$에 대한 미분을 취하면 | + | $$(-1)^n \int_0^xdx_1\int_0^{x_1}dx_2\cdots\int_0^{x_{n-1}}dx_{n}P(x_1)P(x_2)\cdots P(x_{n}) y_0 = \mathcal{T}\frac{1}{n!}\left[- \int_0^xdx' |
- | + | 에서 | |
- | \begin{align*} | + | |
- | \frac{d}{dx}\int_0^xdx_1\int_0^{x_1}dx_2\cdots\int_0^{x_{n+1}}dx_n P(x_1)P(x_2)\cdots P(x_n) y_0 &= P(x)\int_0^xdx_2\int_0^{x_2}dx_3\cdots\int_0^{x_n}dx_{n+1}P(x_2)P(x_3)\cdots P(x_{n+1}) y_0 \\ | + | |
- | &= \mathcal{T} | + | |
- | &= \mathcal{T} \frac{d}{dx}\frac{1}{(n+1)!}\left[\int_0^xdx' | + | |
- | \end{align*} | + | |
- | + | ||
- | 를 얻을 수 있고 위에서 $n=1$일 때 성립하는 것을 보였으므로 이것은 수학적 귀납법에 의해 자연수 $n$에 대해 일반적으로 성립한다는 것을 알 수 있다. 결론적으로 해는 | + | |
- | + | ||
- | $$y(x) = \sum_{n=0}^\infty \mathcal{T}\frac{(-1)^n}{n!}\left[\int_0^xdx' | + | |
- | 이다. | + | \begin{eqnarray*} |
+ | && | ||
+ | &=& (-1)^n P(x) \int_0^{x}dx_2\cdots\int_0^{x_{n-1}}dx_{n}P(x_2)\cdots P(x_{n}) y_0 \\ | ||
+ | &=& -P(x) \mathcal{T} \frac{1}{(n-1)!}\left[- \int_0^xdx' | ||
+ | \end{eqnarray*} | ||
+ | 따라서 | ||
+ | $$\frac{d}{dx} y(x) = -P(x) \sum_{n=0}^\infty \mathcal{T}\frac{1}{n!}\left[-\int_0^xdx' | ||
+ | 이다. | ||
====비동차==== | ====비동차==== | ||
우변의 $Q(x)$가 0이 아닌 경우에도 비슷하게 풀 수 있다. | 우변의 $Q(x)$가 0이 아닌 경우에도 비슷하게 풀 수 있다. |