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--- 경제학:공통_지식 [2026/06/29 19:33] – [두 번째 예] admin
+++ 경제학:공통_지식 [2026/07/28 16:04] (current) – admin
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 ======아우만(Aumann)의 정리======
-두 사람이 같은 사전 확률 분포를 가지고 있고 사건 $E$에 대한 그들의 사후 확률이 공통 지식이라면, 그 사후 확률은 알치한다.
+두 사람이 같은 사전 확률 분포를 가지고 있고 사건 $E$에 대한 그들의 사후 확률이 공통 지식이라면, 그 사후 확률은 일치한다.
 사후 확률 분포가 공통 지식이라 함은 다음과 같은 의미이다. 당신이 사건 $E$에 확률 $x$를 부과했음이 공통 지식이라고 하자.
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 임을 얻는다. 그렇다면 $x=y$이다.
-따라서 두 사람이 같은 사전 확률 분포를 가지고 있고 사건 $E$에 대한 그들의 사후 확률 분포가 공통 지식이라면, 그 사후 확률 분포는 알치한다.
+따라서 두 사람이 같은 사전 확률 분포를 가지고 있고 사건 $E$에 대한 그들의 사후 확률 분포가 공통 지식이라면, 그 사후 확률 분포는 일치한다.
-======주의=======
+======간접 의사소통======
-=====서로의 사후 확률을 아는 것만으로는 불충분=====
+돌아가며 자신의 사후 확률을 공표하는 방법으로 사후 확률이 공통 지식이 되게끔 할 수 있다. 그때 그때 사후 확률의 결론에 이르는 과정을 말할 필요는 없다.
-$\Omega = \{1,2,3,4\}$이고 각 상태마다 같은 사전 확률 $1/4$을 지정했다고 하자. 나의 정보 분할은 $\mathcal{P}_1 = \{\{1,2\}, \{3,4\}\}$이고 당신의 정보 분할은 $\mathcal{P}_2 = \{\{1,2,3\}, \{4\}\}$라고 하자. 사건은 $E = \{1,4\}$이고, 실제 상태가 $\omega=1$이다.
+$\Omega = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$이고 각각의 상태가 $1/9$의 사전 확률을 부여 받았다고 하자. 나의 정보 분할은 $\mathcal{P}_1 = \{\{1,2,3\}, \{4,5,6\}, \{7,8,9\}\}$이고 당신의 정보 분할은 $\mathcal{P}_2 = \{\{1,2,3,4\}, \{5,6,7,8\}, \{9\}\}$이다. 실제 세계의 상태는 $\omega=1$이다.
-나는 상태가 $1$ 또는 $2$임을 안다. 따라서 나에게 사건 $E$의 확률은 $P(E|\{1,2\}) = P(\{1,4\} \cap \{1,2\}) / P(\{1,4\}) = P(\{1\}) / P(\{1,4\}) = \frac{1/4}{1/2} = 1/2$이다. 당신은 내 사후 확률이 그렇다는 것을 아는데, 사실 $\omega$가 $\Omega$ 중의 무엇이든 간에 이렇게 계산한 $E$의 확률은 1/2이기 때문이다.
+=====첫 번째 예=====
-당신은 상태가 $1$, $2$, 혹은 $3$ 중의 하나임을 안다. 따라서 당신이 보는 사건 $E$의 확률은 $1/3$이다. 나는 $\omega \in \{1,2\}$임을 알고, 따라서 당신에게는 $\omega \in \{1,2,3\}$임을 안다. 그러므로 당신이 보는 $E$의 확률이 $1/3$임을 나도 안다.
+사건이 $E = \{3,4\}$이라고 하자.
-당신이 나의 사후 확률을 알고 나도 당신의 사후 확률을 알지만 두 값은 같지 않고, 공통 지식이 아니다.
+먼저 나의 차례에서 나는 사후 확률이 $\text{Pr}(E \cap \{1,2,3\}) / \text{Pr}(\{1,2,3\}) = 1/3$이라고 말한다. 당신은 나의 정보 분할 $\mathcal{P}_1$로부터 이 말이 $\{1,2,3\}$ 혹은 $\{4,5,6\}$일 때 가능함을 알 것이다. 또 당신은 $\omega$가 $\{1,2,3,4\}$에 속한다는 사실을 알기 때문에, 그 중 어느 경우든 내가 $1/3$로 말할 것임 역시 알고 있었을 것이다. 당신에게는 내 발언이 주는 정보 가치가 없었던 셈이다.
-예컨대 당신은 세계의 상태가 $3$일 수도 있다고 생각한다. 그래서 당신은 상상하기를, 나$_2$가 상태를 $3$이나 $4$로 생각할 수 있다고 여긴다. 나$_2$가 상태를 $3$이라 상상한다면 그 상상 속에서 당신$_2$의 사후 확률이 $1/3$이라 생각할 것이고, 상태를 $4$라 상상한다면 당신$_2$의 사후 확률이 $1$이라고 생각할 것이다. 이것이 당신이 머릿속에서 나$_2$에 대해 가진 생각이다.
+당신의 차례에 당신은 사후 확률을 $\text{Pr}(E \cap \{1,2,3,4\}) / \text{Pr}(\{1,2,3,4\}) = 1/2$로 말한다. 이는 $\omega \in \{1,2,3,4\}$임을 내게 말해준다. 그러나 나는 이보다 더 세밀하게 $\omega \in \{1,2,3\}$임을 알고 있으므로 이는 내게 별 정보 가치가 없다.
+그래서 나는 돌아오는 차례에서 $1/3$을 다시 말한다. 그런데 이제 이 사실은 당신에게 $\omega \neq 4$임을 알려준다. 그 이유는 이렇다. 당신은 처음에 $\omega$가 $4$일 수도 있다고 생각했고, 내가 $1/3$을 말한 것은 $\{4,5,6\}$을 생각할 때 여전히 $\omega=4$라는 가능성을 배제해주지 못했다. 그런데 정말로 $\omega=4$였다면, 당신이 $1/2$을 말함으로써 $\omega$가 $5$나 $6$이 아니라는 사실을 알려주었을 때 나는 답 $\omega$가 $\{4,5,6\}$ 중 $4$라는 사실을 확신하고 $E$의 사후 확률을 $1$로 답했을 것이다. 내가 그렇게 하지 않고 $1/3$을 다시 말했다는 것은 거꾸로 $\omega \neq 4$임을 당신에게 알려주는 것이다.
-=====간접 의사소통으로 사후 확률을 공통 지식으로 만들기=====
+따라서 나의 답변을 고려에 넣은 당신은 $\{1,2,3\}$과 $\{4\}$를 구분할 수 있게 된다. 당신 역시 다음 차례에서는 $1/3$을 말하고, 그 뒤로 우리는 서로 $1/3$을 계속 말하는 상태로 수렴할 것이다.
-돌아가며 자신의 사후 확률을 공표하는 방법으로 사후 확률이 공통 지식이 되게끔 할 수 있다. 그때 그때 사후 확률의 결론에 이르는 과정을 말할 필요는 없다.
-$\Omega = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$이고 각각의 상태가 $1/9$의 사전 확률을 부여 받았다고 하자. 나의 정보 분할은 $\mathcal{P}_1 = \{\{1,2,3\}, \{4,5,6\}, \{7,8,9\}\}$이고 당신의 정보 분할은 $\mathcal{P}_2 = \{\{1,2,3,4\}, \{5,6,7,8\}, \{9\}\}$이다. 실제 세계의 상태는 $\omega=1$이다.
+=====두 번째 예=====
-/*
+$E = \{1,5,9\}$라면 내 쪽에서는 이 사건 $E$의 사후 확률로서 $\text{Pr}(E\cap \{1,2,3\}) / \text{Pr}(\{1,2,3\}) = 1/3$이라고 말할 것이다. 사실 $\omega$의 값이 무엇이든 나는 같은 답을 했을 것이므로, 이는 당신에게 별다른 정보를 주지 못한다.
-각 상태마다 다음과 같은 숫자들이 차례로 대응된다고 하자:
-$$X = \{17, -7, -7, -7, 17, -7, -7, -7, 17\}.$$
-나는 $\{1,2,3\}$ 중의 어느 것이 참인지 알지 못하고 단지 그 상태들에 해당하는 $X$의 원소들을 평균하여 $(17-7-7)/3 = 1$이라고 공표한다. 사실 $\omega$가 어떤 값이건 나는 같은 값을 공표했을 것이므로 이는 당신에게 아무런 정보도 주지 못한다.
+당신이 말할 차례가 되었다. 당신은 $\text{Pr}(E\cap \{1,2,3,4\}) / \text{Pr}(\{1,2,3,4\}) = 1/4$이라고 말할 것이다. 나는 이미 더 자세하게 $\omega \in \{1,2,3\}$임을 알고 있으므로 이는 내게 별 정보 가치가 없다.
-당신은 처음에 $\{1,2,3,4\}$가 동등하게 가능하다고 생각했을 것이고 따라서 $(17-7-7-7)/4 = -1$을 내게 말할 것이다. $\{5,6,7,8\}$도 평균 $-1$을 주지만 $\{9\}$만큼은 $17$을 주므로, 나는 당신의 발언으로부터 $\omega$가 최소한 $9$는 아님을 알게 되고, 나의 정보 분할은 $\mathcal{P}_1' = \{\{1,2,3\}, \{4,5,6\}, \{7,8\}, \{9\}\}$로 개선된다.
+그래서 나는 두 번째로 $1/3$을 말한다. 당신은 내 말로부터 $\omega=4$를 배제할 수 있을까? $\omega=4$였더라면 당신이 상상한 나$_2$는 처음에 $\text{Pr}(E\cap \{4,5,6\}) / \text{Pr}(\{4,5,6\}) = 1/3$이라고 실제와 같은 값을 말하고, 나$_2$의 생각 속의 당신$_2$는 $\omega$가 $4$, $5$, $6$ 중 어느 값이든 $\text{Pr}(E\cap \{1,2,3,4\}) / \text{Pr}(\{1,2,3,4\}) = \text{Pr}(E\cap \{5,6,7,8\}) / \text{Pr}(\{5,6,7,8\}) = 1/4$로 같은 값을 말했을 것이다. 첫 번째 예에서는 $\{1,2,3,4\}$와 $\{5,6,7,8\}$이 주는 값이 달랐기에 나$_2$가 후자의 가능성을 배제하면서 $\{4\}$와 $\{5,6\}$을 구분했고, $\omega=4$로부터 사후 확률을 $1$로 말할 것으로 기대되었다. 이것이 실제 일어난 일과 다르므로 당신은 $\omega=4$가 불가능함을 깨달았다. 그러나 지금의 경우 $\{1,2,3,4\}$와 $\{5,6,7,8\}$이 주는 값이 같기 때문에 이런 일은 벌어지지 않는다.
-내 차례가 되어 나는 $\mathcal{P}_1'$과 $\omega$를 비교하여 다시 한번 $1$을 말한다. 이는 앞서와 같은 발언이지만, 이제 당신은 $\mathcal{P}_1'$을 고려에 넣었을 때, $-7$을 주는 $\{7,8\}$은 답이 아님을 알게 된다. 당신의 정보 분할은 $\mathcal{P}_2' = \{\{1,2,3,4\}, \{5,6\}, \{7,8\}, \{9\}\}$로 개선된다.
+당신은 아직 $4$를 배제할 수 없기 때문에 두 번째 발언에서도 $1/4$를 말한다.
-당신의 차례가 되어 당신은 $\mathcal{P}_2'$과 $\omega$를 비교한 후 다시 한번 $-1$을 말한다. 이것도 당신의 지난 발언과 같지만, $\mathcal{P}_2'$을 고려했을 때 나는 당신으로 하여금 $5$를 답하게 했을 $\{5,6\}$도, $-7$을 답하게 했을 $\{7,8\}$도 배제할 수 있음을 알게 된다. 따라서 나의 정보 분할은 다시 한번 개선되어 $\mathcal{P}_1'' = \{\{1,2,3\}, \{4\}, \{5,6\}, \{7,8\}, \{9\}\}$이 된다.
+그런데 당신의 상상 속 나$_2$가 생각하는 당신$_2$는 $\omega \in \{1,2,3,4\} \cup \{5,6,7,8\}$인 것만 알고 있고, 그래서 당신$_2$는 머릿속으로 나$_3$이 $\{7,8,9\}$도 가능성에 넣고 있을 것으로 생각할 것이다. 나의 첫 답변 $1/3$은 이 가능성을 소멸시키지 못한다. 그러나 당신의 첫 답변 $1/4$은 $\omega \neq 9$임을 말해준다. 그래서 나$_3$은 $\{7,8\}$과 $\{9\}$를 구분하게 된다. 내가 두 번째로 말한 $1/3$은 답 $\omega$가 $\{7,8\}$에도 없음을 알려준다. 그래서 당신$_2$는 $\{5,6\}$과 $\{7,8\}$을 구분하게 된다. 당신이 두 번째로 $1/4$을 말한 것은 $\omega$가 $\{5,6\}$에도 없음을 알려준다. 그러므로 나$_2$는 $\{4\}$와 $\{5,6\}$을 구분할 수 있게 된다.
-나는 $\mathcal{P}_1''$으로부터 다시 $1$을 말하는데, 이는 $\mathcal{P}_1''$을 파악한 당신으로 하여금 $\{1,2,3\}$과 $\{4\}$를 구분할 수 있게 해 준다. 따라서 당신의 정보 분할도 다시 개선되어 $\mathcal{P}_2'' = \{\{1,2,3\}, \{4\}, \{5,6\}, \{7,8\}, \{9\}\}$이 된다. 이는 나의 정보 분할과 같다.
+$\omega=4$였더라면 당신 머릿속의 나$_2$는 사후 확률을 $1$로 말했을 것이다. 이와 달리 내가 세 번째로 $1/3$을 말하면, 그때 드디어 당신은 $\omega \neq 4$임을 알게 된다. 그 다음부터는 양쪽에서 $1/3$을 말하는 것으로 수렴한다.
-이제부터 나와 당신은 계속해서 $1$을 말할 것이다.
-*/
-====첫 번째 예====
+=====정식화=====
-사건이 $E = \{3,4\}$이라고 하자.
+나의 정보 분할이 $\mathcal{P}^\alpha$이고 당신의 정보 분할이 $\mathcal{P}^\beta$라고 하자.
+$P^\alpha(\omega)$는 정보 분할 $\mathcal{P}^\alpha$에서 $\omega$를 포함하는 원소를 말한다. 예를 들어 $\mathcal{P}^\alpha = \{\{1,2,3\}, \{4,5,6\}, \{7,8,9\}\}$라면 $\omega=1$일 때 $P^\alpha(\omega) = \{1,2,3\}$.
+$\omega$를 사용해서 골라내지 않을 때에는 아래 첨자를 가지고 원소를 가리킨다. 즉 $P_2^\alpha = \{4,5,6\}$이다. 구체적인 계산을 위해서는 위 두 번째 예를 고려하도록 하겠다.
-먼저 나의 차례에서 나는 사후 확률이 $\text{Pr}(E \cap \{1,2,3\}) / \text{Pr}(\{1,2,3\}) = 1/3$이라고 말한다. 당신은 나의 정보 분할 $\mathcal{P}_1$로부터 이 말이 $\{1,2,3\}$ 혹은 $\{4,5,6\}$일 때 가능함을 알 것이다. 또 당신은 $\omega$가 $\{1,2,3,4\}$에 속한다는 사실을 알기 때문에, 그 중 어느 경우든 내가 $1/3$로 말할 것임 역시 알고 있었을 것이다. 당신에게는 내 발언이 주는 정보 가치가 없었던 셈이다.
+====$t=1$====
-당신의 차례에 당신은 사후 확률을 $\text{Pr}(E \cap \{1,2,3,4\}) / \text{Pr}(\{1,2,3,4\}) = 1/2$로 말한다. 이는 $\omega \in \{1,2,3,4\}$임을 내게 말해준다. 그러나 나는 이보다 더 세밀하게 $\omega \in \{1,2,3\}$임을 알고 있으므로 이는 내게 별 정보 가치가 없다.
+제일 처음에 내가 밝히는 사후 확률은 이런 계산의 결과이다:
+$$q_1^\alpha (\omega) = \frac{\text{Pr}(P^\alpha(\omega) \cap E)}{\text{Pr} (P^\alpha (\omega))} = \frac{\text{Pr}(\{1,2,3\} \cap \{1,5,9\})}{\text{Pr}(\{1,2,3\})} = \frac{1}{3}.$$
+나로 하여금 같은 발언을 하게끔 만드는 집합을 $a_1$이라고 부르자:
+$$a_1 = \left\{ k \Bigg| \frac{\text{Pr}(P_k^\alpha \cap E)}{\text{Pr}(P_k^\alpha)} = q_1^\alpha (\omega) \right\} = \{1,2,3\}.$$
-그래서 나는 돌아오는 차례에서 $1/3$을 다시 말한다. 그런데 이제 이 사실은 당신에게 $\omega \neq 4$임을 알려준다. 그 이유는 이렇다. 당신은 처음에 $\omega$가 $4$일 수도 있다고 생각했고, 내가 $1/3$을 말한 것은 $\{4,5,6\}$을 생각할 때 여전히 $\omega=4$라는 가능성을 배제해주지 못했다. 그런데 정말로 $\omega=4$였다면, 당신이 $1/2$을 말함으로써 $\omega$가 $5$나 $6$이 아니라는 사실을 알려주었을 때 나는 답 $\omega$가 $\{4,5,6\}$ 중 $4$라는 사실을 확신하고 사후 확률을 $1$로 답했을 것이다. 내가 그렇게 하지 않고 $1/3$을 다시 말했다는 것은 거꾸로 $\omega \neq 4$임을 당신에게 알려주는 것이다.
+당신은 나의 발언을 고려에 넣고 다음처럼 사후 확률을 밝힌다:
+$$q_1^\beta(\omega) = \frac{\text{Pr}\left[ \left( P^\beta(\omega) \cap \bigcup_{k\in a_1} P_k^\alpha \right) \cap E \right]}{\text{Pr}\left( P^\beta(\omega) \cap \bigcup_{k\in a_1} P_k^\alpha \right)} = \frac{\text{Pr}(\{1,2,3,4\} \cap \{1,5,9\})}{\text{Pr}(\{1,2,3,4\})} = \frac{1}{4}.$$
+당신으로 하여금 이런 발언을 하게끔 하는 집합을 $b_1$이라고 부르자:
+$$b_1 = \left\{ k \Bigg| \frac{\text{Pr} \left[ \left(P_l^\beta \cap \bigcup_{k\in a_1} P_k^\alpha \right) \cap E \right]}{\text{Pr} \left(P_l^\beta \cap \bigcup_{k\in a_1} P_k^\alpha \right)} = q_1^\beta (\omega) \right\} = \{1,2\}.$$
+이는 당신의 첫 발언인 $1/4$로부터 $\omega \notin \{9\}$가 알려졌음을 의미한다.
-따라서 나의 답변을 고려에 넣은 당신은 $\{1,2,3\}$과 $\{4\}$를 구분할 수 있게 된다. 당신 역시 다음 차례에서는 $1/3$을 말하고, 그 뒤로 우리는 서로 $1/3$을 계속 말하는 상태로 수렴할 것이다.
+====$t=2$====
-====두 번째 예====
+다음 차례가 돌아오면 나의 발언은 아래와 같고
+$$q_2^\alpha(\omega) = \frac{\text{Pr}\left[ \left( P^\alpha(\omega) \cap \bigcup_{l\in b_1} P_l^\beta \right) \cap E \right]}{\text{Pr}\left( P^\alpha(\omega) \cap \bigcup_{l\in b_1} P_l^\beta \right)} = \frac{\text{Pr} \left[\left(\{1,2,3\} \cap \{1,2,3,4,5,6,7,8\} \right) \cap \{1,5,9\} \right]}{\text{Pr} \left(\{1,2,3\} \cap \{1,2,3,4,5,6,7,8\} \right)} = \frac{1}{3},$$
+이에 따라 새롭게 정의되는 집합은
+$$a_2 = \left\{ k \Bigg| \frac{\text{Pr}\left[ \left( P_k^\alpha \cap \bigcup_{l\in b_1} P_l^\beta \right) \cap E \right]}{\text{Pr}\left( P_k^\alpha \cap \bigcup_{l\in b_1} P_l^\beta \right)} = q_2^\alpha (\omega) \right\} = \{1,2\}$$
+이다. 이로부터 $\{7,8,9\}$가 사라졌음을 알 수 있다. 즉 $\omega$의 후보군으로부터 $7$과 $8$이 추가로 제외되었다.
-$E = \{1,5,9\}$라면 내 쪽에서는 이 사건 $E$의 사후 확률로서 $\text{Pr}(E\cap \{1,2,3\}) / \text{Pr}(\{1,2,3\}) = 1/3$이라고 말할 것이다. 사실 $\omega$의 값이 무엇이든 나는 같은 답을 했을 것이므로, 이는 당신에게 별다른 정보를 주지 못한다.
+또 당신의 두 번째 발언은
+$$q_2^\beta(\omega) = \frac{\text{Pr}\left[ \left( P^\beta(\omega) \cap \bigcup_{l\in a_1} P_l^\alpha \right) \cap E \right]}{\text{Pr}\left( P^\beta(\omega) \cap \bigcup_{l\in a_1} P_l^\alpha \right)} = \frac{1}{4}$$
+이며 이에 따라 새롭게 정의되는 집합은 아래와 같다:
+$$b_2 = \left\{ k \Bigg| \frac{\text{Pr}\left[ \left( P_k^\beta \cap \bigcup_{l\in a_2} P_l^\alpha \right) \cap E \right]}{\text{Pr}\left( P_k^\beta \cap \bigcup_{l\in a_2} P_l^\alpha \right)} = q_2^\beta (\omega) \right\} = \{1\}.$$
+이는 $\{5,6,7,8\}$ 역시 배제할 수 있음을 뜻한다. $7$과 $8$은 이미 위에서 배제되었으므로 실제로 더 삭제된 것은 $5$와 $6$이다.
-당신이 말할 차례가 되었다. 당신은 $\text{Pr}(E\cap \{1,2,3,4\}) / \text{Pr}(\{1,2,3,4\}) = 1/4$이라고 말할 것이다. 나는 이미 더 자세하게 $\omega \in \{1,2,3\}$임을 알고 있으므로 이는 내게 별 정보 가치가 없다.
+====$t=3$====
-그래서 나는 두 번째로 $1/3$을 말한다. 당신은 내 말로부터 $\omega=4$를 배제할 수 있을까? $\omega=4$였더라면 당신이 상상한 나$_2$는 처음에 $\text{Pr}(E\cap \{4,5,6\}) / \text{Pr}(\{4,5,6\}) = 1/3$이라고 실제와 같은 값을 말하고, 나$_2$의 생각 속의 당신$_2$는 $\omega$가 $4$, $5$, $6$ 중 어느 값이든 $\text{Pr}(E\cap \{1,2,3,4\}) / \text{Pr}(\{1,2,3,4\}) = \text{Pr}(E\cap \{5,6,7,8\}) / \text{Pr}(\{5,6,7,8\}) = 1/4$로 같은 값을 말했을 것이다. 첫 번째 예에서는 $\{1,2,3,4\}$와 $\{5,6,7,8\}$이 주는 값이 달랐기에 나$_2$가 후자의 가능성을 배제하면서 $\{4\}$와 $\{5,6\}$을 구분했고, $\omega=4$로부터 사후 확률을 $1$로 말할 것으로 기대되었다. 이것이 실제 일어난 일과 다르므로 당신은 $\omega=4$가 불가능함을 깨달았다. 그러나 지금의 경우 $\{1,2,3,4\}$와 $\{5,6,7,8\}$이 주는 값이 같기 때문에 이런 일은 벌어지지 않는다.
+나의 세 번째 발언은 아래와 같고
+$$q_3^\alpha(\omega) = \frac{\text{Pr}\left[ \left( P^\alpha(\omega) \cap \bigcup_{l\in b_2} P_l^\beta \right) \cap E \right]}{\text{Pr}\left( P^\alpha(\omega) \cap \bigcup_{l\in b_2} P_l^\beta \right)} = \frac{1}{3},$$
+이에 따라 새롭게 정의되는 집합은
+$$a_3 = \left\{ k \Bigg| \frac{\text{Pr}\left[ \left( P_k^\alpha \cap \bigcup_{l\in b_2} P_l^\beta \right) \cap E \right]}{\text{Pr}\left( P_k^\alpha \cap \bigcup_{l\in b_2} P_l^\beta \right)} = q_3^\alpha (\omega) \right\} = \{1\}$$
+이다. 따라서 내가 세 번째로 $1/3$를 말함으로 인해 $4$도 $\omega$의 가능성으로부터 제외되었다.
-당신은 아직 $4$를 배제할 수 없기 때문에 두 번째 발언에서도 $1/4$를 말한다.
+한편 당신의 세 번째 발언은
+$$q_3^\beta(\omega) = \frac{\text{Pr}\left[ \left( P^\beta(\omega) \cap \bigcup_{l\in a_3} P_l^\alpha \right) \cap E \right]}{\text{Pr}\left( P^\beta(\omega) \cap \bigcup_{l\in a_3} P_l^\alpha \right)} = \frac{\text{Pr} \left[ \left( \{1,2,3,4\} \cap \{1,2,3\} \right) \cap \{1,5,9\} \right]}{\text{Pr} \left( \{1,2,3,4\} \cap \{1,2,3\} \right)} = \frac{1}{3}$$
+이며 이에 따라 새롭게 정의되는 집합은 아래와 같다:
+$$b_3 = \left\{ k \Bigg| \frac{\text{Pr}\left[ \left( P_k^\beta \cap \bigcup_{l\in a_3} P_l^\alpha \right) \cap E \right]}{\text{Pr}\left( P_k^\beta \cap \bigcup_{l\in a_3} P_l^\alpha \right)} = q_3^\beta (\omega) \right\} = \{1\}.$$
+양쪽의 발언은 $1/3$로 수렴했다.
-그런데 당신의 상상 속 나$_2$가 생각하는 당신$_2$는 $\omega \in \{1,2,3,4\} \cup \{5,6,7,8\}$인 것만 알고 있고, 그래서 당신$_2$는 머릿속으로 나$_3$이 $\{7,8,9\}$도 가능성에 넣고 있을 것으로 생각할 것이다. 나의 첫 답변 $1/3$은 이 가능성을 소멸시키지 못한다. 그러나 당신의 첫 답변 $1/4$은 $\omega \neq 9$임을 말해준다. 그래서 나$_3$은 $\{7,8\}$과 $\{9\}$를 구분하게 된다. 내가 두 번째로 말한 $1/3$은 답 $\omega$가 $\{7,8\}$에도 없음을 알려준다. 그래서 당신$_2$는 $\{5,6\}$과 $\{7,8\}$을 구분하게 된다. 당신이 두 번째로 $1/4$을 말한 것은 $\omega$가 $\{5,6\}$에도 없음을 알려준다. 그러므로 나$_2$는 $\{4\}$와 $\{5,6\}$을 구분할 수 있게 된다.
+====일반적인 $t$====
-$\omega=4$였더라면 당신 머릿속의 나$_2$는 사후 확률을 $1$로 말했을 것이다. 이와 달리 내가 세 번째로 $1/3$을 말하면, 그때 드디어 당신은 $\omega \neq 4$임을 알게 된다. 그 다음부터는 양쪽에서 $1/3$을 말하는 것으로 수렴한다.
+$t$번째 차례가 돌아오면 나의 발언은 아래와 같고
+$$q_t^\alpha(\omega) = \frac{\text{Pr}\left[ \left( P^\alpha(\omega) \cap \bigcup_{l\in b_{t-1}} P_l^\beta \right) \cap E \right]}{\text{Pr}\left( P^\alpha(\omega) \cap \bigcup_{l\in b_{t-1}} P_l^\beta \right)}$$
+이에 따라 새롭게 정의되는 집합은
+$$a_t = \left\{ k \Bigg| \frac{\text{Pr}\left[ \left( P_k^\alpha \cap \bigcup_{l\in b_{t-1}} P_l^\beta \right) \cap E \right]}{\text{Pr}\left( P_k^\alpha \cap \bigcup_{l\in b_{t-1}} P_l^\beta \right)} = q_t^\alpha (\omega) \right\}.$$
+또 당신의 $t$번째 발언은
+$$q_t^\beta(\omega) = \frac{\text{Pr}\left[ \left( P^\beta(\omega) \cap \bigcup_{l\in a_t} P_l^\alpha \right) \cap E \right]}{\text{Pr}\left( P^\beta(\omega) \cap \bigcup_{l\in a_t} P_l^\alpha \right)}$$
+이며 이에 따라 새롭게 정의되는 집합은 아래와 같다:
+$$b_t = \left\{ k \Bigg| \frac{\text{Pr}\left[ \left( P_k^\beta \cap \bigcup_{l\in a_t} P_l^\alpha \right) \cap E \right]}{\text{Pr}\left( P_k^\beta \cap \bigcup_{l\in a_t} P_l^\alpha \right)} = q_t^\beta (\omega) \right\}.$$
+====수렴의 증명====
-====일반화====
+어떤 $n$에서 $a_{n+1} = a_n$이고 $b_{n+1} = b_n$이면 $q_{n+1}^\alpha(\omega) = q_{n+1}^\beta(\omega)$임을 보일 수 있다.
+정의상 $\forall k\in a_{n+1}$에 대해 다음이 성립한다:
+$$\text{Pr}\left[ \left( P_k^\alpha \cap \bigcup_{l\in b_n} P_l^\beta \right) \cap E \right] = q_{n+1}^\alpha (\omega) \times \text{Pr} \left( P_k^\alpha \cap \bigcup_{l\in b_n} P_l^\beta \right).$$
+가정상 $a_n = a_{n+1}$이므로 이 식은 $\forall k \in a_n$에 대해서도 성립한다. 따라서 양변을 모든 $k$에 대해 더하면
+\begin{eqnarray*}
+\sum_{k \in a_n} \text{Pr}\left[ \left( P_k^\alpha \cap \bigcup_{l\in b_n} P_l^\beta \right) \cap E \right] &=& q_{n+1}^\alpha (\omega) \sum_{k \in a_n} \text{Pr} \left( P_k^\alpha \cap \bigcup_{l\in b_n} P_l^\beta \right)\\
+\text{Pr}\left[ \left( \bigcup_{k \in a_n} P_k^\alpha \cap \bigcup_{l\in b_n} P_l^\beta \right) \cap E \right] &=& q_{n+1}^\alpha (\omega) \text{Pr} \left( \bigcup_{k \in a_n} P_k^\alpha \cap \bigcup_{l\in b_n} P_l^\beta \right).
+\end{eqnarray*}
+마찬가지로, $\forall l \in b_{n+1}$에 대해 정의상 다음이 성립하는데
+$$\text{Pr}\left[ \left( P_l^\beta \cap \bigcup_{k\in a_{n+1}} P_k^\alpha \right) \cap E \right] = q_{n+1}^\beta (\omega) \times \text{Pr} \left( P_l^\beta \cap \bigcup_{k\in a_{n+1}} P_k^\alpha \right),$$
+$a_n = a_{n+1}$과 $b_n = b_{n+1}$이라 하였으므로 다음을 얻는다:
+\begin{eqnarray*}
+\sum_{l \in b_n} \text{Pr}\left[ \left( P_l^\beta \cap \bigcup_{k\in a_n} P_k^\alpha \right) \cap E \right] &=& q_{n+1}^\beta (\omega) \sum_{l \in b_n} \text{Pr} \left( P_l^\beta \cap \bigcup_{k\in a_n} P_k^\alpha \right)\\
+\text{Pr}\left[ \left( \bigcup_{l \in b_n} P_l^\beta \cap \bigcup_{k\in a_n} P_k^\alpha \right) \cap E \right] &=& q_{n+1}^\beta (\omega) \text{Pr} \left( \bigcup_{l \in b_n} P_l^\beta \cap \bigcup_{k\in a_n} P_k^\alpha \right).
+\end{eqnarray*}
+식들을 비교해보면 $q_{n+1}^\alpha(\omega) = q_{n+1}^\beta(\omega)$라는 결론을 얻는다.
+다음과 같은 포함 관계가 성립하므로
+$$a_1 \supset a_2 \supset \ldots \supset a_t \supset a_{t+1} \ldots$$
+$$b_1 \supset b_2 \supset \ldots \supset b_t \supset b_{t+1} \ldots,$$
+유한한 시간 안에 수렴이 일어날 것이다.
+======생각할 점들=======
+=====서로의 사후 확률을 아는 것만으로는 불충분=====
+$\Omega = \{1,2,3,4\}$이고 각 상태마다 같은 사전 확률 $1/4$을 지정했다고 하자. 나의 정보 분할은 $\mathcal{P}_1 = \{\{1,2\}, \{3,4\}\}$이고 당신의 정보 분할은 $\mathcal{P}_2 = \{\{1,2,3\}, \{4\}\}$라고 하자. 사건은 $E = \{1,4\}$이고, 실제 상태가 $\omega=1$이다.
+나는 상태가 $1$ 또는 $2$임을 안다. 따라서 나에게 사건 $E$의 확률은 $P(E|\{1,2\}) = P(\{1,4\} \cap \{1,2\}) / P(\{1,4\}) = P(\{1\}) / P(\{1,4\}) = \frac{1/4}{1/2} = 1/2$이다. 당신은 내 사후 확률이 그렇다는 것을 아는데, 사실 $\omega$가 $\Omega$ 중의 무엇이든 간에 이렇게 계산한 $E$의 확률은 1/2이기 때문이다.
+당신은 상태가 $1$, $2$, 혹은 $3$ 중의 하나임을 안다. 따라서 당신이 보는 사건 $E$의 확률은 $1/3$이다. 나는 $\omega \in \{1,2\}$임을 알고, 따라서 당신에게는 $\omega \in \{1,2,3\}$임을 안다. 그러므로 당신이 보는 $E$의 확률이 $1/3$임을 나도 안다.
+당신이 나의 사후 확률을 알고 나도 당신의 사후 확률을 알지만 두 값은 같지 않고, 공통 지식이 아니다.
+예컨대 당신은 세계의 상태가 $3$일 수도 있다고 생각한다. 그래서 당신은 상상하기를, 나$_2$가 상태를 $3$이나 $4$로 생각할 수 있다고 여긴다. 나$_2$가 상태를 $3$이라 상상한다면 그 상상 속에서 당신$_2$의 사후 확률이 $1/3$이라 생각할 것이고, 상태를 $4$라 상상한다면 당신$_2$의 사후 확률이 $1$이라고 생각할 것이다. 이것이 당신이 머릿속에서 나$_2$에 대해 가진 생각이다.