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경제학:애로우의_불가능성_정리 [2020/01/10 15:29] – [극단성] admin | 경제학:애로우의_불가능성_정리 [2023/09/05 15:46] (current) – external edit 127.0.0.1 | ||
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======전제====== | ======전제====== | ||
- | * 최소 3개 이상의 원소를 가지는 유한한 정책 집합 $\mathbf{A} = \{ A, B, C, \ldots \}$. | + | * 최소 3개 이상의 원소를 가지는 유한한 정책 집합 $\mathbf{A} = \{ a, b, c, \ldots \}$과 $N$ 명의 개인들 |
- | * $N$ 명의 개인들 | + | |
* 개인의 선호는 소위 완전해서(complete) 임의의 두 정책 $a$와 $b$에 대해 개인 $i$는 반드시 다음 둘 중의 하나이어야 한다 (논의를 간단히 하기 위해 선호도가 정확히 같은 경우는 없다고 가정한다): | * 개인의 선호는 소위 완전해서(complete) 임의의 두 정책 $a$와 $b$에 대해 개인 $i$는 반드시 다음 둘 중의 하나이어야 한다 (논의를 간단히 하기 위해 선호도가 정확히 같은 경우는 없다고 가정한다): | ||
* $a$를 $b$보다 선호하거나 ($a \succ_i b$) | * $a$를 $b$보다 선호하거나 ($a \succ_i b$) | ||
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======불가능성 정리의 내용====== | ======불가능성 정리의 내용====== | ||
- | 사회 후생함수가 추이성과 만장일치성, | + | 사회 후생함수가 추이성과 만장일치성, |
- | =====극단성===== | + | =====단계 1. 극단성===== |
추이성과 만장일치성, | 추이성과 만장일치성, | ||
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위와 같은 논리로, $b$는 사회적 선호에서 상석 혹은 말석만을 차지할 수 있다. | 위와 같은 논리로, $b$는 사회적 선호에서 상석 혹은 말석만을 차지할 수 있다. | ||
+ | |||
+ | =====단계 2. 핵심(pivotal) 인물 $n$의 존재===== | ||
+ | 어떤 전략 $b$에 대해 모든 개인이 이 정책을 가장 싫어한다고 가정하자. 그런 정책이 실제로는 없을 수도 있지만, 없으면 가상으로 하나를 만들어서 집어넣자. IIA에 의해, 우리가 원래 보고자 했던, 즉 이 가상의 $b$를 제외한 나머지 정책들에 대한 사회 효용 함수는 영향을 받지 않을 것이다. | ||
+ | |||
+ | 원래 얘기로 돌아오면, | ||
+ | |||
+ | 정리하면, | ||
+ | |||
+ | ^개인^상황 I에서의 개인별 선호^상황 II에서의 개인별 선호^ | ||
+ | |$1$| $b \succ_1 \ldots$ | $b \succ_1 \ldots$ | | ||
+ | |$2$| $b \succ_2 \ldots$ | $b \succ_2 \ldots$ | | ||
+ | |$\vdots$||| | ||
+ | |$n-1$| $b \succ_{n-1} \ldots$ | $b \succ_{n-1} \ldots$ | | ||
+ | |$n$| $\ldots \succ_n b$ | $b \succ_n \ldots$ | | ||
+ | |$n+1$| $\ldots \succ_{n+1} b$| $\ldots \succ_{n+1} b$| | ||
+ | |$\vdots$||| | ||
+ | |$N$| $\ldots \succ_N b$| $\ldots \succ_N b$| | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | =====단계 3. $n$이 독재자===== | ||
+ | ====$b$가 아닌 정책들에 대해==== | ||
+ | $b$가 아닌 임의의 정책 $a$와 $c$에 대해 $a \succ_n c$이기만 하면 다른 사람들의 선호가 어떻든지 간에 $a \succsim c$임을 보이려 한다. | ||
+ | |||
+ | 먼저 $a \succ_n c$이고 그 외에는 임의로 주어진 상황 IV를 생각하자. 이것을 고쳐서 다음과 같은 가상 상황 III를 만들 것이다. | ||
+ | * 1부터 $n$ 바로 앞까지는 $b$를 가장 선호하게끔 한다. | ||
+ | * $n$에 대해서는 $a$를 첫 번째, $b$를 두 번째로 가장 선호하게끔 한다. ($a \succ_n b \succ_n \ldots$) | ||
+ | * $n+1$부터 $N$까지는 $b$를 가장 싫어하게끔 한다. | ||
+ | 상황 III(가상)과 IV(실제)를 비교해보면, | ||
+ | |||
+ | 그런데 우리가 만들어놓은 상황 III에서, 모든 개인에 대해 $a$와 $b$ 사이의 관계는 표 좌측에 적었던 상황 I에서와 같다. 상황 I에서 $b$는 사회적으로 가장 비호감 정책이었고 따라서 $a \succsim b$이었으므로 상황 III에서도 $a \succsim b$이어야 한다. | ||
+ | |||
+ | 또 한 가지. 우리가 만들어놓은 상황 III에서, 모든 개인에 대해 $b$와 $c$ 사이의 관계는 표 우측에 적었던 상황 II에서와 같다. 상황 II에서 $b$는 사회적으로 가장 선호되는 정책이었고 따라서 $b \succsim c$이었으므로 상황 III에서도 $b \succsim c$이어야 한다. | ||
+ | |||
+ | 추이성에 따라 상황 III에서 $a \succsim c$이어야 하고, 따라서 원래의 상황 IV에서도 $a \succsim c$이어야 한다. | ||
+ | |||
+ | ====$b$에 관련된 경우==== | ||
+ | 이제 $b$ 자체에 대해서도 같은 결론이 성립하는지 볼 차례이다. 즉 다른 사람들의 선호에 상관없이 어떤 정책 $a$를 두고 $b \succ_n a$이면 $b \succsim a$이고 $a \succ_n b$이면 $a \succsim b$라는 것이 사실일까? | ||
+ | |||
+ | 이 때 과연 $n' | ||
+ | |||
+ | 즉 $b$의 유무에 상관없이 임의의 전략 한 쌍에 대해 $n$의 개인적 선호는 사회적 선호와 일치한다. | ||