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--- 물리:가우스_고정점 [2018/05/10 00:09] – [$\sigma^4$의 평균] admin
+++ 물리:가우스_고정점 [2023/09/05 15:46] (current) – external edit 127.0.0.1
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 스핀 변수를 [[수학:푸리에 변환]]하여 위 식을 다시 적으면 아래와 같다.
-$$ H = \frac{1}{2} \sum_{i,k} (r_0 + ck^2) \left| \sigma_{ik} \right|^2 + \frac{u}{8} L^{-d} \sum_{k,k',k''}\sum_{ij} \sigma_{i,k} \sigma_{i,k'} \sigma_{j,k''} \sigma_{j,-k-k'-k''}$$
+$$ H = \frac{1}{2} \sum_{i,k} (r_0 + ck^2) \left| \sigma_{i,k} \right|^2 + \frac{u}{8} L^{-d} \sum_{k,k',k''}\sum_{ij} \sigma_{i,k} \sigma_{i,k'} \sigma_{j,k''} \sigma_{j,-k-k'-k''}$$
 $i$는 스핀의 성분을 나타내는 인덱스이고 $k$는 $d$차원 역공간(reciprocal space)의 벡터이다.
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 따라서 $H = H^\ast + \Delta H$처럼 항이 두 개이면 각각이
 [[물리:재규격화]]를 통해 둘로 갈라져 $H^\ast + A^\ast L^d + \Delta H' + \Delta A L^d$로 바뀐다.
-$$e^{-H^\ast-A^\ast L^d - \Delta H - \Delta A L^d} = \left[ \int \delta \phi e^{-H^\ast - \Delta H} \right]_{\sigma_k \to s^{1-\eta/2}\sigma_{sk}}$$
+$$e^{-H^\ast-A^\ast L^d - \Delta H' - \Delta A L^d} = \left[ \int \delta \phi e^{-H^\ast - \Delta H} \right]_{\sigma_k \to s^{1-\eta/2}\sigma_{sk}}$$
 섭동이 작다고 가정되어 있으므로 지수함수를 전개하여 1차항까지만 적으면 위 식은 다음처럼 쓸 수 있다.
 $$\left(1-\Delta H' - \Delta A L^d \right) e^{-H^\ast-A^\ast L^d} = \left[ \int \delta \phi \left( 1 - \Delta H \right) e^{-H^\ast} \right]_{\sigma_k \to s^{1-\eta/2}\sigma_{sk}}$$
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 $$\left< \Delta H \right> = \frac{1}{2} \int d^d x \left( r_0 \left< \sigma^2 \right> + \frac{1}{4} u \left< \sigma^4 \right> \right).$$
-==== $\sigma^2$의 평균====
+==== $\left< \sigma^2 \right>$의 계산====
 스핀 변수 $\sigma$의 $i$ 번째 성분 $\sigma_i$를 파수에 따라 두 부분으로 나누어 적어보자. 즉
 $$\sigma_i = \sigma_i' + \phi_i$$
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 가우스 고정점의 성질로부터 $\left< \sigma_{i,q} \sigma_{i,-q} \right> = (cq^2)^{-1}$이며, $\sum_q$는 $L^d (2\pi)^{-d} \int d^d q$에 대응된다. 스핀의 $n$개의 성분들이 모두 같은 방식으로 정리되어
 \begin{eqnarray*}
-\left< \phi^2 \right> &=& n (2\pi)^{-d} \int d^d q (cq^2)^{-1}\\
+\left< \phi^2 \right> = n\left< \phi_i^2 \right> &=& n (2\pi)^{-d} \int d^d q (cq^2)^{-1}\\
 &=& n \int_{\Lambda/s}^{\Lambda} dq ~K_d~ q^{d-1} (cq^2)^{-1} = n_c \left(1-s^{2-d} \right)
 \end{eqnarray*}
 이며, 이 때 $n_c \equiv \frac{n}{c} K_d \Lambda^{d-2} / (d-2)$로 정의된다.
-==== $\sigma^4$의 평균====
+==== $\left< \sigma^4 \right>$의 계산====
 $\sigma$가 벡터라는 사실에 유의해서 써보면
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 \begin{eqnarray*}
 \left< (\phi \cdot \sigma')^2 \right> &=& \sum_{ij} \sigma'_i \sigma'_j \left< \phi_i \phi_j \right>\\
-&=& \sum_i {\sigma'}_i^2 \left< \phi_i^2 \right> = \frac{1}{n} \left< \phi^2 \right> \sum_i {\sigma'}_i^2
+&=& \sum_i {\sigma'}_i^2 \left< \phi_i^2 \right> = \frac{1}{n} \left< \phi^2 \right> \sum_i {\sigma'}_i^2\\
-&=& \frac{1}{n} \left< \phi^2 \right> \sigma'^2 = \sigma'^2 \frac{n_c}{n} \left( 1-s^{2-d} \right)\\
+&=& \frac{1}{n} \left< \phi^2 \right> \sigma'^2\\
+&=& \frac{n_c}{n} \left( 1-s^{2-d} \right) \sigma'^2\\
 \left< \phi^4 \right> &=& \left< \sum_i \phi_i^2 \sum_j \phi_j^2 \right>\\
 &=& \left< \sum_{i=j} \phi_i^2 \phi_j^2 + 2 \sum_{i>j} \phi_i^2 \phi_j^2 \right>\\
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 &=& (n^2+2n) \left[ \frac{n_c}{n} \left( 1-s^{2-d} \right) \right]^2
 \end{eqnarray*}
+==== $\left< \Delta H \right>$의 계산====
+위의 표현식들을 대입하면
+$$\left< \Delta H \right> = \frac{1}{2} \int d^d x \left\{ r_0 \left[ \sigma'^2 + n_c(1-s^{2-d}) \right] + \frac{1}{4} u \left[ \sigma'^4 + 2\sigma'^2 n_c (1-s^{2-d}) + 4\sigma'^2 \frac{n_c}{n} (1-s^{2-d}) + (n^2+2n) \left( \frac{n_c}{n} \right)^2 (1-s^{2-d})^2 \right] \right\}$$
+인데, 적분 안의 내용 중 $\sigma'^2$과 $\sigma'^4$에 비례하는 항끼리 묶고 나머지를 $\Delta AL^d$라고 놓으면 다음처럼 쓸 수 있다:
+$$\left< \Delta H \right> = \frac{1}{2} \int d^d x \left\{ \left[ r_0 + u\left( \frac{n}{2}+1 \right) \frac{n_c}{n} (1-s^{2-d}) \right] \sigma'^2 + \frac{1}{4} u\sigma'^4 \right\} + \Delta A L^d.$$
+==== $\sigma_k \to s^{1-\eta/2} \sigma_{sk}$의 계산====
+가우스 고정점에서 $\eta=0$이므로 실제로는 $\sigma = s \sigma_{sk}$이다.
+실공간에서 보면 [[물리:재규격화]]를 거친 위치 벡터는 $$x' = x/s$$의 관계에 있으며, 스핀 변수 $\sigma_x$는 $$\sigma_x = \lambda_s \sigma_{x'} = s^{1-d/2} \sigma_{x'}$$처럼 바뀌고, 적분 자체는 $$\int d^d x = s^d \int d^d x'$$로 바뀌어서 표현된다. 따라서
+\begin{eqnarray*}
+\left< \Delta H \right>_{\sigma_k \to s^{1-\eta/2} \sigma_{sk}} &=& \frac{1}{2} \int d^d x' s^d \left\{ \left[ r_0 + u\left( \frac{n}{2}+1 \right) \frac{n_c}{n} (1-s^{2-d}) \right] s^{2-d} \sigma^2 + \frac{1}{4} u s^{4-2d} \sigma^4 \right\} + \Delta A L^d\\
+&=& \frac{1}{2} \int d^d x \left( r_0' \sigma^2 + \frac{1}{4} u' \sigma^4 \right) + \Delta A L^d
+\end{eqnarray*}
+로서, [[물리:재규격화]]된 상호작용의 맺음변수들은 다음처럼 정리된다.
+\begin{eqnarray*}
+r_0' &=& s^2 \left[ r_0 + u \left( \frac{n}{2}+1 \right) \frac{n_c}{n} (1-s^{2-d}) \right]\\
+u' &=& s^{4-d} u.
+\end{eqnarray*}
+혹은 $B \equiv \left( \frac{n}{2}+1 \right) \frac{n_c}{n}$로 줄인 다음 행렬로 쓰면
+$$  \begin{pmatrix} r_0' \\ u' \end{pmatrix}=
+\begin{pmatrix} s^2 & (s^2 - s^{4-d})B \\ 0 & s^{4-d} \end{pmatrix}
+\begin{pmatrix} r_0 \\ u \end{pmatrix}$$
+이다. 이는 가우스 고정점 $\mu^\ast = (0,0,c)$ 근방에서 $\mu = (r_0, u, c)$가 [[물리:재규격화]]를 거쳐 어떻게 변화해가는지를 선형적으로 기술한다.
+고유값 분석을 해보면 첫 번째 고유값은 $s^{y_1} = s^2$으로 그에 해당하는 고유 벡터는 $\vec{e}_1 = \binom{1}{0}$인데, 이 고유값은 가우스 고정점으로 표현된 임계점의 축척 지수가 $\nu = 1/y_1 = 1/2$임을 의미한다.
+외부 자기장은 $h' = h s^{\frac{1}{2} (d-\eta)+1}$로 [[물리:재규격화]]되므로 $y_h = \frac{1}{2} (d-\eta) + 1$로서 축척 관계를 사용하면 모든 임계 지수를 구할 수 있다.
+다른 한편으로, 두 번째 고유값은 $s^{y_2} = s^{4-d}$로 고유 벡터 $\vec{e}_2 = \binom{-B}{1}$에 대응된다. $s>1$일 것이므로, 이 고유값을 통해 가우스 고정점 $\mu^\ast$가 $d<4$에서는 불안정해진다는 사실을 확인할 수 있다.
+따라서 방금 앞에서 구한 가우스 고정점의 임계 지수들은 $d>4$에서의 상전이를 기술한다.
+======함께 보기======
+[[물리:입실론 전개]]
 ======참고문헌======
   * Shang-Keng Ma, //Modern Theory of Critical Phenomena// (Westview Press, 1976, 2000).