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--- 물리:가우스_고정점 [2018/05/10 00:11] – [ $\sigma^2$ 의 평균] admin
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 스핀 변수를 [[수학:푸리에 변환]]하여 위 식을 다시 적으면 아래와 같다.
-$$ H = \frac{1}{2} \sum_{i,k} (r_0 + ck^2) \left| \sigma_{ik} \right|^2 + \frac{u}{8} L^{-d} \sum_{k,k',k''}\sum_{ij} \sigma_{i,k} \sigma_{i,k'} \sigma_{j,k''} \sigma_{j,-k-k'-k''}$$
+$$ H = \frac{1}{2} \sum_{i,k} (r_0 + ck^2) \left| \sigma_{i,k} \right|^2 + \frac{u}{8} L^{-d} \sum_{k,k',k''}\sum_{ij} \sigma_{i,k} \sigma_{i,k'} \sigma_{j,k''} \sigma_{j,-k-k'-k''}$$
  $i$ 는 스핀의 성분을 나타내는 인덱스이고  $k$ 는  $d$ 차원 역공간(reciprocal space)의 벡터이다.
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 따라서  $H = H^\ast + \Delta H$ 처럼 항이 두 개이면 각각이
 [[물리:재규격화]]를 통해 둘로 갈라져  $H^\ast + A^\ast L^d + \Delta H' + \Delta A L^d$ 로 바뀐다.
- $e^{-H^\ast-A^\ast L^d - \Delta H - \Delta A L^d} = \left[ \int \delta \phi e^{-H^\ast - \Delta H} \right]_{\sigma_k \to s^{1-\eta/2}\sigma_{sk}}$
+$$e^{-H^\ast-A^\ast L^d - \Delta H' - \Delta A L^d} = \left[ \int \delta \phi e^{-H^\ast - \Delta H} \right]_{\sigma_k \to s^{1-\eta/2}\sigma_{sk}}$$
 섭동이 작다고 가정되어 있으므로 지수함수를 전개하여 1차항까지만 적으면 위 식은 다음처럼 쓸 수 있다.
  $\left(1-\Delta H' - \Delta A L^d \right) e^{-H^\ast-A^\ast L^d} = \left[ \int \delta \phi \left( 1 - \Delta H \right) e^{-H^\ast} \right]_{\sigma_k \to s^{1-\eta/2}\sigma_{sk}}$
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  $\left< \Delta H \right> = \frac{1}{2} \int d^d x \left( r_0 \left< \sigma^2 \right> + \frac{1}{4} u \left< \sigma^4 \right> \right).$
-====  $\sigma^2$ 의 평균====
+==== $\left< \sigma^2 \right>$의 계산====
 스핀 변수  $\sigma$ 의  $i$  번째 성분  $\sigma_i$ 를 파수에 따라 두 부분으로 나누어 적어보자. 즉
  $\sigma_i = \sigma_i' + \phi_i$
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 이며, 이 때  $n_c \equiv \frac{n}{c} K_d \Lambda^{d-2} / (d-2)$ 로 정의된다.
-====  $\sigma^4$ 의 평균====
+==== $\left< \sigma^4 \right>$의 계산====
  $\sigma$ 가 벡터라는 사실에 유의해서 써보면
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 \begin{eqnarray*}
 \left< (\phi \cdot \sigma')^2 \right> &=& \sum_{ij} \sigma'_i \sigma'_j \left< \phi_i \phi_j \right>\\
-&=& \sum_i {\sigma'}_i^2 \left< \phi_i^2 \right> = \frac{1}{n} \left< \phi^2 \right> \sum_i {\sigma'}_i^2
+&=& \sum_i {\sigma'}_i^2 \left< \phi_i^2 \right> = \frac{1}{n} \left< \phi^2 \right> \sum_i {\sigma'}_i^2\\
-&=& \frac{1}{n} \left< \phi^2 \right> \sigma'^2 = \sigma'^2 \frac{n_c}{n} \left( 1-s^{2-d} \right)\\
+&=& \frac{1}{n} \left< \phi^2 \right> \sigma'^2\\
+&=& \frac{n_c}{n} \left( 1-s^{2-d} \right) \sigma'^2\\
 \left< \phi^4 \right> &=& \left< \sum_i \phi_i^2 \sum_j \phi_j^2 \right>\\
 &=& \left< \sum_{i=j} \phi_i^2 \phi_j^2 + 2 \sum_{i>j} \phi_i^2 \phi_j^2 \right>\\
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 &=& (n^2+2n) \left[ \frac{n_c}{n} \left( 1-s^{2-d} \right) \right]^2
 \end{eqnarray*}
+====  $\left< \Delta H \right>$ 의 계산====
+위의 표현식들을 대입하면
+ $\left< \Delta H \right> = \frac{1}{2} \int d^d x \left\{ r_0 \left[ \sigma'^2 + n_c(1-s^{2-d}) \right] + \frac{1}{4} u \left[ \sigma'^4 + 2\sigma'^2 n_c (1-s^{2-d}) + 4\sigma'^2 \frac{n_c}{n} (1-s^{2-d}) + (n^2+2n) \left( \frac{n_c}{n} \right)^2 (1-s^{2-d})^2 \right] \right\}$
+인데, 적분 안의 내용 중  $\sigma'^2$ 과  $\sigma'^4$ 에 비례하는 항끼리 묶고 나머지를  $\Delta AL^d$ 라고 놓으면 다음처럼 쓸 수 있다:
+ $\left< \Delta H \right> = \frac{1}{2} \int d^d x \left\{ \left[ r_0 + u\left( \frac{n}{2}+1 \right) \frac{n_c}{n} (1-s^{2-d}) \right] \sigma'^2 + \frac{1}{4} u\sigma'^4 \right\} + \Delta A L^d.$
+====  $\sigma_k \to s^{1-\eta/2} \sigma_{sk}$ 의 계산====
+가우스 고정점에서  $\eta=0$ 이므로 실제로는  $\sigma = s \sigma_{sk}$ 이다.
+실공간에서 보면 [[물리:재규격화]]를 거친 위치 벡터는  $x' = x/s$ 의 관계에 있으며, 스핀 변수  $\sigma_x$ 는  $\sigma_x = \lambda_s \sigma_{x'} = s^{1-d/2} \sigma_{x'}$ 처럼 바뀌고, 적분 자체는  $\int d^d x = s^d \int d^d x'$ 로 바뀌어서 표현된다. 따라서
+\begin{eqnarray*}
+\left< \Delta H \right>_{\sigma_k \to s^{1-\eta/2} \sigma_{sk}} &=& \frac{1}{2} \int d^d x' s^d \left\{ \left[ r_0 + u\left( \frac{n}{2}+1 \right) \frac{n_c}{n} (1-s^{2-d}) \right] s^{2-d} \sigma^2 + \frac{1}{4} u s^{4-2d} \sigma^4 \right\} + \Delta A L^d\\
+&=& \frac{1}{2} \int d^d x \left( r_0' \sigma^2 + \frac{1}{4} u' \sigma^4 \right) + \Delta A L^d
+\end{eqnarray*}
+로서, [[물리:재규격화]]된 상호작용의 맺음변수들은 다음처럼 정리된다.
+\begin{eqnarray*}
+r_0' &=& s^2 \left[ r_0 + u \left( \frac{n}{2}+1 \right) \frac{n_c}{n} (1-s^{2-d}) \right]\\
+u' &=& s^{4-d} u.
+\end{eqnarray*}
+혹은  $B \equiv \left( \frac{n}{2}+1 \right) \frac{n_c}{n}$ 로 줄인 다음 행렬로 쓰면
+$$   $\begin{pmatrix} r_0' \\ u' \end{pmatrix}$ =
+ $\begin{pmatrix} s^2 & (s^2 - s^{4-d})B \\ 0 & s^{4-d} \end{pmatrix}$
+ $\begin{pmatrix} r_0 \\ u \end{pmatrix}$ $$
+이다. 이는 가우스 고정점  $\mu^\ast = (0,0,c)$  근방에서  $\mu = (r_0, u, c)$ 가 [[물리:재규격화]]를 거쳐 어떻게 변화해가는지를 선형적으로 기술한다.
+고유값 분석을 해보면 첫 번째 고유값은  $s^{y_1} = s^2$ 으로 그에 해당하는 고유 벡터는  $\vec{e}_1 = \binom{1}{0}$ 인데, 이 고유값은 가우스 고정점으로 표현된 임계점의 축척 지수가  $\nu = 1/y_1 = 1/2$ 임을 의미한다.
+외부 자기장은  $h' = h s^{\frac{1}{2} (d-\eta)+1}$ 로 [[물리:재규격화]]되므로  $y_h = \frac{1}{2} (d-\eta) + 1$ 로서 축척 관계를 사용하면 모든 임계 지수를 구할 수 있다.
+다른 한편으로, 두 번째 고유값은  $s^{y_2} = s^{4-d}$ 로 고유 벡터  $\vec{e}_2 = \binom{-B}{1}$ 에 대응된다.  $s>1$ 일 것이므로, 이 고유값을 통해 가우스 고정점  $\mu^\ast$ 가  $d<4$ 에서는 불안정해진다는 사실을 확인할 수 있다.
+따라서 방금 앞에서 구한 가우스 고정점의 임계 지수들은  $d>4$ 에서의 상전이를 기술한다.
+======함께 보기======
+[[물리:입실론 전개]]
 ======참고문헌======
   * Shang-Keng Ma, //Modern Theory of Critical Phenomena// (Westview Press, 1976, 2000).