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물리:결맞는_상태_coherent_state [2023/01/21 13:53] – minwoo | 물리:결맞는_상태_coherent_state [2023/11/15 16:54] (current) – minwoo | ||
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====== 양자 조화 진동자 ====== | ====== 양자 조화 진동자 ====== | ||
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==== 조화 진동자 (고전적 모형과의 차이) ==== | ==== 조화 진동자 (고전적 모형과의 차이) ==== | ||
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$ \\ $ | $ \\ $ | ||
- | 결맞는 상태 $| alpha \rangle$ 를 아래와 같이 $|n \rangle$을 기저로 하여 생성한다면 | + | 결맞는 상태 $| \alpha \rangle$ 를 아래와 같이 $|n \rangle$을 기저로 하여 생성한다면 |
$$|\alpha\rangle = \sum_{n=0}^{\infty} c_n(\alpha) |n\rangle\\ $$ | $$|\alpha\rangle = \sum_{n=0}^{\infty} c_n(\alpha) |n\rangle\\ $$ | ||
Line 138: | Line 139: | ||
& \therefore |\alpha\rangle = \sum_{n=0}^\infty c_n(\alpha) |n\rangle = \sum_{n=0}^\infty\frac{\alpha^{n}}{\sqrt{n!}}e^{-|\alpha|^2/ | & \therefore |\alpha\rangle = \sum_{n=0}^\infty c_n(\alpha) |n\rangle = \sum_{n=0}^\infty\frac{\alpha^{n}}{\sqrt{n!}}e^{-|\alpha|^2/ | ||
\end{align} | \end{align} | ||
+ | |||
+ | ===== 푸아송 분포 (Poisson distribution) ===== | ||
+ | 아래의 ' | ||
+ | |||
+ | $$ |\alpha\rangle = \sum_{n=0}^\infty\frac{\alpha^{n}}{\sqrt{n!}}e^{-|\alpha|^2/ | ||
+ | |||
+ | $|n \rangle$의 상태로 발견될 확률은 다음과 같다. | ||
+ | |||
+ | $$P(n)=|\langle n | \alpha \rangle|^2=e^{-|\alpha|^2} \frac{\alpha^{2n}}{n!}$$ | ||
+ | |||
+ | 그런데, $|n \rangle$의 $n$은 에너지의 높고 낮음을 표현하므로 | ||
+ | |||
+ | 이는 $n$개의 광자를 흡수한 상태로 이해할 수 있다. | ||
+ | |||
+ | 즉, $P(n)=|\langle n | \alpha \rangle|^2=e^{-|\alpha|^2} \frac{\alpha^{2n}}{n!}$는 $n$개의 광자(photon)들을 발견할 확률과 같다. | ||
+ | |||
+ | $$ \\ $$ | ||
+ | 이를 통해, 결맞는 상태에 대해서 ' | ||
+ | |||
+ | 그의 분산도 $|\alpha|^2$이다. | ||
+ | |||
===== ' | ===== ' | ||
Line 189: | Line 211: | ||
\end{align} | \end{align} | ||
- | 즉, $n$이 클수록 불화정성(uncertainty)가 더 크다. | + | 즉, $n$이 클수록 불확정성(uncertainty)가 더 크다. |
$$ \\ $$ | $$ \\ $$ | ||
Line 197: | Line 219: | ||
$$ n \le \frac{1}{2}(x^2+p^2) \le n+1 $$ | $$ n \le \frac{1}{2}(x^2+p^2) \le n+1 $$ | ||
- | 또한, $\langle n|x|n \rangle=\langle n|\hat{p}|n \rangle=0$ 이 성립하는데, | + | 또한, $\langle n|x|n \rangle=\langle n|\hat{p}|n \rangle=0$ 이 성립한다. |
- | + | ||
- | 이는 (슈뢰딩거 방정식을 풀어서 얻을 수 있는) 아래의 확률 분포로도 ($n=30$) 이해할 수 있겠다. | + | |
- | + | ||
- | {{: | + | |
- | + | ||
- | 양 쪽의 x값에서 입자가 발견될 확률이 가장 높고, 그의 평균 $\langle x \rangle$은 0인 것이다. | + | |
$$ \\ $$ | $$ \\ $$ | ||
Line 270: | Line 286: | ||
즉, 마치 고전적인 극한에서 불확정성을 표현하는 면적이 점으로 표현되는 것과 같이 | 즉, 마치 고전적인 극한에서 불확정성을 표현하는 면적이 점으로 표현되는 것과 같이 | ||
- | 위의 ' | + | 위의 ' |
결맞는 상태가 $(x,p)$ 평면 상에서 고전적인 조화 진동자를 모방한다고 표현할 수 있다. | 결맞는 상태가 $(x,p)$ 평면 상에서 고전적인 조화 진동자를 모방한다고 표현할 수 있다. | ||
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===== 참고 문헌 ===== | ===== 참고 문헌 ===== | ||
Hitoshi Murayama, Jan27 151 Coherent state, QFT on 1D lattice, 2021. (lecture of Prof. Hitoshi Murayama) | Hitoshi Murayama, Jan27 151 Coherent state, QFT on 1D lattice, 2021. (lecture of Prof. Hitoshi Murayama) | ||
- | Wikipedia, Quantum_harmonic_oscillator. (I use a figure of probability distribution where $n=30$.) |