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--- 물리:경로적분_계산 [2026/03/10 16:40] – [단순조화진동자] admin
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 [[수학:윅의_정리|1차원 가우스 함수의 적분]]으로부터, $N\times N$ 실수 대칭 행렬 $\alpha$가 있을 때 다음이 성립함을 알고 있다:
 $$\int^{\infty}_{-\infty} \Big[\prod^{N}_{k=1} dx_{k} \Big] \exp\left(-\frac{1}{2}\sum^{N}_{m,n=1}  x_{m}\alpha_{mn}x_{n}\right) = \sqrt{\frac{(2\pi)^{N}}{\det\alpha}}.$$
-$\hat{C}$의 고윳값과 고유벡터를 찾아보면
+$\hat{C}$의 고윳 구조를 찾아보면 고유벡터가
 $$y(u) = c\sin(\omega_n u)$$
-일 때 $\lambda_n = \frac{m}{i\hbar} (\omega_n^2 - \omega^2)$이며, $y(0)=y(U)=0$의 경계조건을 만족하기 위해서는 $\omega_n = n\pi/U$이다 ($n=1,2,\ldots$).
+일 때
-따라서 $F(U)$는 어떤 계수 $B$가 붙어서 다음처럼 표현될 것이다:
+$$\lambda_n = \frac{m}{i\hbar} (\omega_n^2 - \omega^2)$$
-$$F(u) = B \left\{ \prod_{n=1}^{\infty} \frac{m}{i\hbar} \left[ \left(\frac{n\pi}{U}\right)^2 -\omega^2 \right] \right\}^{-1/2}.$$
+이며, $y(0)=y(U)=0$의 경계조건을 만족하기 위해서는 $\omega_n = n\pi/U$이다 ($n=1,2,\ldots$).
+따라서 $F(U)$는 어떤 계수가 붙어서 다음처럼 표현될 것이다:
+$$F(u) \propto \left\{ \prod_{n=1}^{\infty} \left[ 1-\left(\frac{\omega U}{n\pi}\right)^2 \right] \right\}^{-1/2} = \sqrt{\frac{\omega U}{\sin \omega U}}.$$
+그런데 $\omega\to 0$의 극한에서 자유입자를 얻으므로, 앞의 자유입자 결과를 통해 계수를 결정할 수 있다. 최종 결과는 아래와 같다:
+$$F(U) = \sqrt{\frac{-im\omega}{2\pi \hbar \sin \omega U}}.$$
 ======함께 보기======
   * [[물리:포커-플랑크_방정식|포커-플랑크 방정식]]