물리:경로적분_계산

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물리:경로적분_계산 [2021/04/06 21:04] – yong물리:경로적분_계산 [2023/09/05 15:46] (current) – external edit 127.0.0.1
Line 7: Line 7:
 \end{align} \end{align}
  
-이 때 만족하는 해는 $\rho(u) = e^{-Hu / \hbar}$ 이고, 기존 방정식과 비교하면 $\hbar$ 가 붙여졌다.  +이 때 만족하는 해는 $\rho(u) = e^{-Hu / \hbar}$ 이고 이 때, $u = \beta \hbar$이다. 기존 방정식과 다른 점은 
-또한 만족하는 해가 기존 밀도행렬의 형태,+$\hbar$ 가 곱해졌다는 것과, 해의 지수부분의 $\beta$ 가 $u/\hbar$ 로 바뀌었다는 점인데, 이는 경로적분을 설명하면서  
 +어떤 지점에서 특정 지점까지의 시간을 볼 것이기 때문이다. 다시말해 변수 u의 차원은 **시간**인데, 이를 간단하게 살펴보면,
  
 \begin{align} \begin{align}
-    \rho (\beta) = e^{-\beta H} +    u [s] = \beta\hbar = \frac{\hbar}{k_B T} [\frac{J \cdot s}{J/K \cdot K} = s]
-\end{align} +
- +
-에서 종속변수 $\beta$ 가 $u$로 바뀌었다. 이는 경로적분을 설명하면서 어떤 지점에서 특정 지점까지의 시간을 볼 것이기 때문이다.  +
-다시말해 변수 u의 차원은 **시간**인데, 이를 간단하게 살펴보면, +
- +
-\begin{align} +
-    u [s] = \frac{\beta}{\hbar} = \frac{1}{k_B T \cdot \hbar} [\frac{J \cdot K}{K \cdot J \cdot s} = s]+
 \end{align} \end{align}
  
Line 32: Line 26:
  
 \begin{align} \begin{align}
-    \rho(x, x^{\prime}, u) =+    \rho(x, x^{\prime}; u) =
     \langle x \vert \rho(u) \vert x^{\prime} \rangle      \langle x \vert \rho(u) \vert x^{\prime} \rangle 
-    &= \langle x \vert \rho_\epsilon \vert x_{n-1} \rangle +    &= \int \cdots \int \langle x \vert \rho_\epsilon \vert x_{n-1} \rangle 
     \langle x_{n-1} \vert \rho_\epsilon \vert x_{n-2} \rangle      \langle x_{n-1} \vert \rho_\epsilon \vert x_{n-2} \rangle 
     \cdots     \cdots
-    \langle x_1 \vert \rho_\epsilon \vert x^{\prime} \rangle \\+    \langle x_1 \vert \rho_\epsilon \vert x^{\prime} \rangle 
 +    dx_1 dx_2 \cdots dx_{n-1} \\
     &= \int \cdots \int \rho(x, x_{n-1};\epsilon) \rho(x_{n-1}, x_{n-2};\epsilon)     &= \int \cdots \int \rho(x, x_{n-1};\epsilon) \rho(x_{n-1}, x_{n-2};\epsilon)
     \cdots     \cdots
Line 44: Line 39:
  
 이라고 쓸 수 있다. $\epsilon$ 만큼 쪼갠 $\rho$ 를 '경로(path)' 라고 하면, 그 모든 경로에 대해 적분한 것,  이라고 쓸 수 있다. $\epsilon$ 만큼 쪼갠 $\rho$ 를 '경로(path)' 라고 하면, 그 모든 경로에 대해 적분한 것, 
-즉 $\rho(x, x^{\prime}, u)$ 는 전체 진폭이라고 하자. 이제 앞에서 $\epsilon$ 만큼 쪼갠 시간을 0으로 보내는 극한으로 보내면, +즉 $\rho(x, x^{\prime}; u)$ 는 전체 진폭이라고 하자. 이제 앞에서 $\epsilon$ 만큼 쪼갠 시간을 0으로 보내는 극한으로 보내면, 
 지금의 식은 지금의 식은
  
 \begin{align} \begin{align}
-    \rho(x, x^{\prime}, U) = \int \Phi[x(u)]\mathcal{D}x(u)+    \rho(x, x^{\prime}; U) = \int \Phi[x(u)]\mathcal{D}x(u)
 \end{align} \end{align}
  
Line 56: Line 51:
 \begin{align} \begin{align}
     &\Phi[x(u)] = \lim_{\epsilon \rightarrow 0}      &\Phi[x(u)] = \lim_{\epsilon \rightarrow 0} 
-    \rho(x, x_{n-1};\epsilon) \rho(x_1, x^{\prime};\epsilon)\\+    \rho(x, x_{n-1};\epsilon) \rho(x_{n-1}, x_{n-2};\epsilon) \cdots \rho(x_1, x^{\prime};\epsilon) \\
     &\mathcal{D}x(u) = \lim_{n \rightarrow \infty} dx_1 dx_2 \cdots dx_{n-1}     &\mathcal{D}x(u) = \lim_{n \rightarrow \infty} dx_1 dx_2 \cdots dx_{n-1}
 \end{align} \end{align}
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  • Last modified: 2023/09/05 15:46
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