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--- 물리:경로적분_계산 [2026/03/10 15:20] – [$F(U)$의 계산] admin
+++ 물리:경로적분_계산 [2026/03/10 16:48] (current) – [단순조화진동자] admin
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 \end{align}
-으로 주어지는데, 이것을 유도해보도록 하자. 여기에서 $\alpha$는 임의의 상수이며, 퍼텐셜의 영점을 바꾸는 것에 해당하여 물리를 바꾸지 않는다. 자유입자의 경로적분 표현으로부터 얻는 밀도행렬의 식
+으로 주어지는데, 이것을 유도해보도록 하자. 여기에서 $\alpha$는 임의의 상수이며, 퍼텐셜의 영점을 바꾸는 것에 해당하여 물리를 바꾸지 않는다. 간단히 $\alpha=0$으로 놓아도 된다.
+본래의 양자역학적인 계산을 수행한다면
+$$F(U) = \sqrt{\frac{-im}{2\pi\hbar U}}.$$
+이 식을 유도하기 위해 자유입자의 경로적분 표현으로부터 얻는 밀도행렬의 식
 \begin{align}
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 ======단순조화진동자======
+양자역학적 단순조화진동자에 대한 경로적분은 다음과 같은 양이 된다:
+$$F(U) = \int\cdots\int \exp\left[ -\frac{1}{i\hbar} \int_0^U \left(\frac{m}{2} \dot{y}^2 - \frac{m\omega^2}{2} y^2 \right) du \right] \mathcal{D}y(u).$$
+이때 $y(0) = y(U) = 0$이다.
+여기에서 부분적분을 시행하면 다음 결과를 얻는데,
+$$\int \dot{y}^2 du = \left[ y \dot{y} \right]_{u=0}^U - \int y \ddot{y} du$$
+$y(0)=y(U)=0$이므로 우변 첫 번째 항은 사라진다.
+따라서 다음과 같은 형태로 쓸 수 있게 된다:
+\begin{eqnarray*}
+F(U) &=& \int\cdots\int \exp\left[ -\frac{1}{i\hbar} \int_0^U \left(-\frac{m}{2} y\ddot{y} - \frac{m\omega^2}{2} y^2 \right) du \right] \mathcal{D}y(u)\\
+&=& \int\cdots\int \exp\left[ -\frac{1}{2} \int_0^U y \hat{C} y ~du \right] \mathcal{D}y(u).
+\end{eqnarray*}
+이때 $\hat{C}$는 다음과 같은 연산자이다:
+$$\hat{C} \equiv -\frac{m}{i\hbar} \frac{\partial^2}{\partial u^2} - \frac{m\omega^2}{i\hbar} = \frac{m}{i\hbar} \left(-\frac{\partial^2}{\partial u^2} - \omega^2 \right).$$
+[[수학:윅의_정리|1차원 가우스 함수의 적분]]으로부터, $N\times N$ 실수 대칭 행렬 $\alpha$가 있을 때 다음이 성립함을 알고 있다:
+$$\int^{\infty}_{-\infty} \Big[\prod^{N}_{k=1} dx_{k} \Big] \exp\left(-\frac{1}{2}\sum^{N}_{m,n=1}  x_{m}\alpha_{mn}x_{n}\right) = \sqrt{\frac{(2\pi)^{N}}{\det\alpha}}.$$
+$\hat{C}$의 고윳 구조를 찾아보면 고유벡터가
+$$y(u) = c\sin(\omega_n u)$$
+일 때
+$$\lambda_n = \frac{m}{i\hbar} (\omega_n^2 - \omega^2)$$
+이며, $y(0)=y(U)=0$의 경계조건을 만족하기 위해서는 $\omega_n = n\pi/U$이다 ($n=1,2,\ldots$).
+따라서 $F(U)$는 어떤 계수가 붙어서 다음처럼 표현될 것이다:
+$$F(u) \propto \left\{ \prod_{n=1}^{\infty} \left[ 1-\left(\frac{\omega U}{n\pi}\right)^2 \right] \right\}^{-1/2} = \sqrt{\frac{\omega U}{\sin \omega U}}.$$
+그런데 $\omega\to 0$의 극한에서 자유입자를 얻으므로, 앞의 자유입자 결과를 통해 계수를 결정할 수 있다. 최종 결과는 아래와 같다:
+$$F(U) = \sqrt{\frac{-im\omega}{2\pi \hbar \sin \omega U}}.$$
 ======함께 보기======
   * [[물리:포커-플랑크_방정식|포커-플랑크 방정식]]
   * [[물리:양자기체의_밀도행렬|양자기체의 밀도행렬]]
+  * [[수학:윅의_정리|1차원 가우스 함수의 적분]]
 ======참고문헌======
   * Richard P. Feynman, //Statistical Mechanics// (Westview Press, 1972).
   * Tom Lancaster & Stephen J. Blundell, //Quantum Field Theory for the Gifted Amateur// (Oxford University Press, Oxford, 2014).