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--- 물리:구면_p-스핀_유리_모형 [2026/03/20 11:46] – [평균의 시간 변화] admin
+++ 물리:구면_p-스핀_유리_모형 [2026/03/20 18:41] (current) – [동적 상전이] admin
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 &=& 2TR(t_2,t_1) + \frac{p}{2} \int_{-\infty}^{t_2} dt' R(t_2,t') C^{p-1} (t_1,t').
 \end{eqnarray*}
+====평형====
 $\xi(t) = \xi$로 일정하게 두어 평형에 도달한 상태에서 $\mu(t) = \mu$과 $\langle \sigma(t) \rangle = M$으로서 각각이 시간에 의존하지 않는 상수라고 하자.
 시간 병진 불변성(time translation invariance)이 있어서 $R(t_1,t_2) = R(t_1-t_2)$, 그리고 $C(t_1,t_2) = C(t_1-t_2) = C(t_2 - t_1)$이라고 하자.
-그러면 $C(t_1,t_2)$에 대한 식은 아래와 같다:
+일반성을 잃지 않고 $t_1\equiv t>0$와 $t_2\equiv 0$으로 놓자. 모든 시간에서 평형이기 때문에 $M$은 시간에 무관하지만 상관함수 $C(t)$와 반응함수 $R(t)$는 기준점 $t_2=0$로부터의 시간 차이 $t$에 의존한다.
+당연히 $C(0)=1$이고 $\lim_{t\to\infty} C(t) =q$로 수렴한다고 가정할 것이다.
+덧붙여 평형 상태에서는 [[물리:랑주뱅_방정식|요동-흩어지기 정리]]의 결과로서 다음 관계가 성립한다(Sethna):
+$$\partial_t C(t) = -\beta^{-1} R(t).$$
+평형상태에서 먼저 $M$에 대한 식은 아래와 같이 정리된다.
+\begin{eqnarray*}
+&=& -\mu M + \frac{1}{2}p(p-1) M\int_{-\infty}^t dt' R(t-t') C^{p-2}(t-t') + \xi\\
+&=& -\mu M + \frac{1}{2}p(p-1)M\int_{-t}^{\infty} dt' R(t+t') C^{p-2}(t+t') + \xi\\
+&=& -\mu M - \frac{p \beta}{2} M\int_{-t}^{\infty} dt' \partial_{t'} C^{p-1}(t+t') + \xi\\
+&=& -\mu M + \frac{p \beta}{2} M \left[ C^{p-1}(0) - C^{p-1}(\infty) \right] + \xi\\
+&=& -\mu M + \frac{p \beta}{2} M \left(1-q^{p-1}\right) + \xi\\
+\end{eqnarray*}
+/*
+\frac{\xi}{M} &=& \mu - \frac{p\beta}{2} \left( 1-q^{p-1} \right) = \frac{\beta^{-1}}{1-q}\\
+M &=& \beta\xi (1-q).
 \begin{eqnarray*}
 \frac{\partial C(t_1 - t_2)}{\partial t_1} &=& -\mu C(t_1-t_2) + \frac{p}{2} (p-1) \int_{-\infty}^{t_1} dt' R(t_1- t') C^{p-2}(t_1- t') C(t_2- t') + \frac{p}{2} \int_{-\infty}^{t_2} dt' R(t_2-t') C^{p-1} (t_1-t') + \xi M + 2TR(t_2-t_1).
 \end{eqnarray*}
-일반성을 잃지 않고 $t_1\equiv t$와 $t_2\equiv 0$으로 놓자. $t>0$이라고 했을 때 인과성에 의해 우변 마지막 항의 $R(-t)=0$이고, 평형 상태에서는 [[물리:랑주뱅_방정식|요동-흩어지기 정리]]의 결과로서 다음 관계가 성립한다:
+*/
-$$\partial_t C(t) = -\beta^{-1} R(t).$$
+$C(t)$에 대한 식은 아래와 같다:
+\begin{eqnarray*}
+\partial_t C(t) &=& -\mu C(t) + \frac{p}{2} (p-1) \int_{-\infty}^{t_1} dt' R(t- t') C^{p-2}(t- t') C(- t') + \frac{p}{2} \int_{-\infty}^{0} dt' R(-t') C^{p-1} (t-t') + \xi M + 2TR(-t).
+\end{eqnarray*}
+인과성에 의해 우변 마지막 항의 $R(-t)=0$이다.
 $\int_{-\infty}^t$를 $\int_{-\infty}^0 + \int_0^t$로 쪼개어 표현하기 위해 아래의 식을 정의하자:
 \begin{eqnarray*}
-I(t) &\equiv& \int_{-\infty}^0 dt' \left[ (p-1) R(t-t') C^{p-2}(t-t') C(-t') + R(-t') C^{p-1}(t-t') \right]
+I(t) &\equiv& \int_{-\infty}^0 dt' \left[ (p-1) R(t-t') C^{p-2}(t-t') C(-t') + R(-t') C^{p-1}(t-t') \right]\\
+&=& \int_0^{\infty} dt' \left[ (p-1) R(t+t') C^{p-2}(t+t') C(t') + R(t') C^{p-1}(t+t') \right]\\
+&=& \int_0^{\infty} dt' \left[ -\beta \partial_{t'} C^{p-1}(t+t') \right] C(t') + \int_0^{\infty}dt' R(t') C^{p-1}(t+t')\\
+&=& \beta \left[ -q^p + C^{p-1}(t) \right] + \int_0^{\infty} dt' \beta C^{p-1}(t+t') \partial_{t'} C(t') + \int_0^{\infty}dt' \left[ -\beta \partial_{t'} C(t') \right] C^{p-1}(t+t')\\
+&=& \beta \left[C^{p-1}(t) - q^p \right].
 \end{eqnarray*}
 $\int_0^t$를 위해 아래 두 개의 항등식을 유도해놓자:
@@ Line 308: / Line 333: @@
 &=& \frac{p\beta}{2} \left\{ \beta^{-1} I(t) + C(t) - C^p(t) - \int_0^t dt' \left[ C^{p-1}(t-t') - C^{p-1}(t) \right] \partial_{t'} C(t') \right\} + \xi M.
 \end{eqnarray*}
+/*
 적분 변수를 재정의해서 $I(t)$를 아래처럼 고쳐 쓴 다음
 \begin{eqnarray*}
@@ Line 323: / Line 349: @@
 $$\partial_t I(t) = \beta \partial_t C^{p-1}(t)$$
 를 얻는다. $t=0$에서 $C(0)=1$이므로, $I(t) - I(0) = \beta \left[ C^{p-1}(t) - 1 \right]$이다.
-$\left.\partial_t C(t) \right|_{t=0} = -\beta^{-1}$까지 사용하면 $t$가 작을 때 다음처럼 적을 수 있다:
+*/
-$$-\beta^{-1}+\mu \approx \xi M + \frac{p}{2} I(0) = \xi M + \frac{p\beta}{2} \left[ \beta^{-1} I(t) + 1 - C^{p-1}(t) \right].$$
+===$t=0$에서 상관함수의 거동===
-$C(t)$의 시간 변화에 이 식을 대입해 $\xi M$을 소거하자:
+$t=0$에서 $C(t)$의 시간 변화를 고려하자.
+$\left.\partial_t C(t) \right|_{t=0} = -\beta^{-1}$와 $I(t) - I(0) = \beta \left[ C^{p-1}(t) - C(0) \right]$를 활용하면,
+$$-\beta^{-1}+\mu = \frac{p}{2} I(0) + \xi M = \frac{p\beta}{2} \left[ \beta^{-1} I(t) + 1 - C^{p-1}(t) \right] + \xi M.$$
+$t=0$을 대입해 유도했을 뿐, 이 관계식 자체는 모든 $t$에서 성립하는 정확한 식이라는 데 유의한다.
+이를 $\xi M$에 대해 정리한 다음 $C(t)$의 식에 대입하면
 \begin{eqnarray*}
 \partial_t C(t) + \mu C(t) &=& \frac{p\beta}{2} \left\{ \beta^{-1} I(t) + C(t) - C^p(t) - \int_0^t dt' \left[ C^{p-1}(t-t') - C^{p-1}(t) \right] \partial_{t'} C(t') \right\} -\beta^{-1} + \mu - \frac{p\beta}{2} \left[ \beta^{-1} I(t) + 1 - C^{p-1}(t) \right]\\
--\partial_t C(t) + \mu \left[ 1-C(t) \right] - \frac{p\beta}{2} \left[ 1-C(t) \right] \left[ 1 - C^{p-1}(t) \right]&=& \frac{p\beta}{2} \left\{ \int_0^t dt' \left[ C^{p-1}(t-t') - C^{p-1}(t) \right] \partial_{t'} C(t') \right\} +\beta^{-1}\\
+-\partial_t C(t) + \mu \left[ 1-C(t) \right] - \frac{p\beta}{2} \left[ 1-C(t) \right] \left[ 1 - C^{p-1}(t) \right]&=& \frac{p\beta}{2} \left\{ \int_0^t dt' \left[ C^{p-1}(t-t') - C^{p-1}(t) \right] \partial_{t'} C(t') \right\} +\beta^{-1}.
 \end{eqnarray*}
-$t\to\infty$일 때 $C(t) \to q$로 수렴하면서 $\partial_t C(t) = 0$이라고 가정하자. 그러면
+===$t\to\infty$에서 상관함수의 거동===
+이제 위의 식에서 $t\to\infty$일 때를 고려하는데, 가정상 $C(t) \to q$로 수렴하기 때문에 $\partial_t C(t) = 0$이다. 우변의 적분은 무시할 수 있는데,
+$t'$이 작을 때에는 $C^{p-1}(t-t') \approx C^{p-1}(t)$이고 $t'$이 클 때에는 $\partial_{t'} C(t') \approx 0$일 것이기 때문이다. 따라서
 \begin{eqnarray*}
 &&\mu(1-q) - \frac{p\beta}{2} (1-q)\left(1-q^{p-1}\right) = \beta^{-1}\\
 &&\mu = \frac{p\beta}{2} \left(1-q^{p-1}\right) + \frac{\beta^{-1}}{1-q}\\
 \end{eqnarray*}
-이 식을 사용하여 아래에서 $\mu$를 소거할 것이다.
+이 식을 사용하면 $\mu$를 소거할 수 있게 된다. 예를 들어 앞에서 $M$에 대한 식으로부터 얻었던 관계는 다음처럼 간단해진다:
-$t=0$의 평형상태에서 $M$의 시간 변화에 대한 식을 풀어보면
 \begin{eqnarray*}
-&=& -\mu M + \frac{1}{2}p(p-1) M\int_{-\infty}^0 dt' R(-t') C^{p-2}(-t') + \xi\\
-&=& -\mu M + \frac{1}{2}p(p-1)M\int_0^{\infty} dt' R(t') C^{p-2}(t') + \xi\\
-&=& -\mu M - \frac{p \beta}{2} M\int_0^{\infty} dt' \partial_{t'} C^{p-1}(t') + \xi\\
-&=& -\mu M + \frac{p \beta}{2} M \left(1-q^{p-1}\right) + \xi\\
 \frac{\xi}{M} &=& \mu - \frac{p\beta}{2} \left( 1-q^{p-1} \right) = \frac{\beta^{-1}}{1-q}\\
 M &=& \beta\xi (1-q).
 \end{eqnarray*}
-평형 가정에서 $I(t)$를 바로 적분할 수 있다:
+===종합===
+마지막으로, 앞에서 구했던 $I(t) = \beta \left[C^{p-1}(t) - q^p \right]$를 "정확한" 관계식에 대입하면
 \begin{eqnarray*}
-I(t) &=& \int_0^{\infty} dt' \left[ (p-1) R(t+t') C^{p-2}(t+t') C(t') + R(t') C^{p-1}(t+t') \right]\\
+-\beta^{-1} + \mu &=& \frac{p\beta}{2} \left(1-q^p \right) + \xi M\\
-&=& \int_0^{\infty} dt' \left[ -\beta \partial_{t'} C^{p-1}(t+t') \right] C(t') + \int_0^{\infty}dt' R(t') C^{p-1}(t+t')\\
-&=& \beta \left[ -q^p + C^{p-1}(t) \right] + \int_0^{\infty} dt' \beta C^{p-1}(t+t') \partial_{t'} C(t') + \int_0^{\infty}dt' \left[ -\beta \partial_{t'} C(t') \right] C^{p-1}(t+t')\\
-&=& \beta \left[C^{p-1}(t) - q^p \right].
-\end{eqnarray*}
-따라서 $I(t) = \beta \left[C^{p-1}(t) - q^p \right]$로 적으면
-\begin{eqnarray*}
--\beta^{-1} + \mu &=& \xi M + \frac{p\beta}{2} \left(1-q^p \right)\\
 \xi M &=& -\beta^{-1} + \mu - \frac{p\beta}{2} \left(1-q^p \right)\\
-\beta \xi^2 (1-q) &=& -\beta^{-1} + \left( \frac{p\beta}{2} + \frac{\beta^{-1}}{1-q} - \frac{p\beta}{2} q^{p-1} \right) - \frac{p\beta}{2} + \frac{p\beta}{2} q^p\\
+\beta \xi^2 (1-q) &=& -\beta^{-1} + \left[ \frac{p\beta}{2} \left(1-q^{p-1}\right) + \frac{\beta^{-1}}{1-q} \right] - \frac{p\beta}{2} + \frac{p\beta}{2} q^p\\
-&=& -\beta^{-1} + \left( \frac{\beta^{-1}}{1-q} - \frac{p\beta}{2} q^{p-1} \right) + \frac{p\beta}{2} q^p\\
+&=& -\beta^{-1} + \frac{\beta^{-1}}{1-q} - \frac{p\beta}{2} q^{p-1} + \frac{p\beta}{2} q^p\\
 &=& \beta^{-1}\frac{q}{1-q} - \frac{p\beta}{2} q^{p-1} (1-q)\\
 \beta^2 \xi^2 &=& \frac{q}{(1-q)^2} - \frac{p\beta^2}{2} q^{p-1}.
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 $\xi\to0$에서 이 식은 복제 대칭해에서 구한 결과와 일치한다.
 =====동적 상전이=====
+$\xi=M=0$에서 $q=0$이 해가 되므로 이 값들을 대입하고 정리하면
+$$\partial_t C(t) = -\beta^{-1} C(t) - \frac{p\beta}{2} \int_0^t dt' C^{p-1}(t-t') \partial_{t'} C(t').$$
 ======TAP 방정식======
@@ Line 375: / Line 399: @@
   * A. Crisanti, H. Horner & H. -J. Sommers , //The spherical p-spin interaction spin glass model: the dynamics//, [[https://doi.org/10.1007/BF01312184|Z. Physik B - Condensed Matter 92, 257–271 (1993)]].
   * A. Crisanti & H. -J. Sommers, //Thouless-Anderson-Palmer Approach to the Spherical p-Spin Spin Glass Model//, [[https://doi.org/10.1051/jp1:1995164|J. Phys. I France 5 805-813 (1995)]].
+  * James P. Sethna, //Statistical Mechanics: Entropy, Order Parameters, and Complexity//, 2nd ed. (Oxford University Press, Oxford, 2021).