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--- 물리:구면_p-스핀_유리_모형 [2026/03/20 14:20] – [평균의 시간 변화] admin
+++ 물리:구면_p-스핀_유리_모형 [2026/03/20 18:41] (current) – [동적 상전이] admin
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 $\left.\partial_t C(t) \right|_{t=0} = -\beta^{-1}$와 $I(t) - I(0) = \beta \left[ C^{p-1}(t) - C(0) \right]$를 활용하면,
 $$-\beta^{-1}+\mu = \frac{p}{2} I(0) + \xi M = \frac{p\beta}{2} \left[ \beta^{-1} I(t) + 1 - C^{p-1}(t) \right] + \xi M.$$
-$t=0$을 대입해 유도했지만 이 관계식 자체는 정확한 식이라는 데 유의한다.
+$t=0$을 대입해 유도했을 뿐, 이 관계식 자체는 모든 $t$에서 성립하는 정확한 식이라는 데 유의한다.
 이를 $\xi M$에 대해 정리한 다음 $C(t)$의 식에 대입하면
 \begin{eqnarray*}
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 ===$t\to\infty$에서 상관함수의 거동===
-이제 위의 식에서 $t\to\infty$일 때를 고려하는데, 가정상 $C(t) \to q$로 수렴하기 때문에 $\partial_t C(t) = 0$이다. 그러면
+이제 위의 식에서 $t\to\infty$일 때를 고려하는데, 가정상 $C(t) \to q$로 수렴하기 때문에 $\partial_t C(t) = 0$이다. 우변의 적분은 무시할 수 있는데,
+$t'$이 작을 때에는 $C^{p-1}(t-t') \approx C^{p-1}(t)$이고 $t'$이 클 때에는 $\partial_{t'} C(t') \approx 0$일 것이기 때문이다. 따라서
 \begin{eqnarray*}
 &&\mu(1-q) - \frac{p\beta}{2} (1-q)\left(1-q^{p-1}\right) = \beta^{-1}\\
 &&\mu = \frac{p\beta}{2} \left(1-q^{p-1}\right) + \frac{\beta^{-1}}{1-q}\\
 \end{eqnarray*}
-이 식을 사용하면 $\mu$를 소거할 수 있게 된다.
+이 식을 사용하면 $\mu$를 소거할 수 있게 된다. 예를 들어 앞에서 $M$에 대한 식으로부터 얻었던 관계는 다음처럼 간단해진다:
+\begin{eqnarray*}
+\frac{\xi}{M} &=& \mu - \frac{p\beta}{2} \left( 1-q^{p-1} \right) = \frac{\beta^{-1}}{1-q}\\
+M &=& \beta\xi (1-q).
+\end{eqnarray*}
-앞에서 구했던 $I(t) = \beta \left[C^{p-1}(t) - q^p \right]$를 대입하면
+===종합===
+마지막으로, 앞에서 구했던 $I(t) = \beta \left[C^{p-1}(t) - q^p \right]$를 "정확한" 관계식에 대입하면
 \begin{eqnarray*}
--\beta^{-1} + \mu &=& \xi M + \frac{p\beta}{2} \left(1-q^p \right)\\
+-\beta^{-1} + \mu &=& \frac{p\beta}{2} \left(1-q^p \right) + \xi M\\
 \xi M &=& -\beta^{-1} + \mu - \frac{p\beta}{2} \left(1-q^p \right)\\
-\beta \xi^2 (1-q) &=& -\beta^{-1} + \left( \frac{p\beta}{2} + \frac{\beta^{-1}}{1-q} - \frac{p\beta}{2} q^{p-1} \right) - \frac{p\beta}{2} + \frac{p\beta}{2} q^p\\
+\beta \xi^2 (1-q) &=& -\beta^{-1} + \left[ \frac{p\beta}{2} \left(1-q^{p-1}\right) + \frac{\beta^{-1}}{1-q} \right] - \frac{p\beta}{2} + \frac{p\beta}{2} q^p\\
-&=& -\beta^{-1} + \left( \frac{\beta^{-1}}{1-q} - \frac{p\beta}{2} q^{p-1} \right) + \frac{p\beta}{2} q^p\\
+&=& -\beta^{-1} + \frac{\beta^{-1}}{1-q} - \frac{p\beta}{2} q^{p-1} + \frac{p\beta}{2} q^p\\
 &=& \beta^{-1}\frac{q}{1-q} - \frac{p\beta}{2} q^{p-1} (1-q)\\
 \beta^2 \xi^2 &=& \frac{q}{(1-q)^2} - \frac{p\beta^2}{2} q^{p-1}.
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 $\xi\to0$에서 이 식은 복제 대칭해에서 구한 결과와 일치한다.
 =====동적 상전이=====
+$\xi=M=0$에서 $q=0$이 해가 되므로 이 값들을 대입하고 정리하면
+$$\partial_t C(t) = -\beta^{-1} C(t) - \frac{p\beta}{2} \int_0^t dt' C^{p-1}(t-t') \partial_{t'} C(t').$$
 ======TAP 방정식======