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 $$\mathcal{N}'(f) = \int Dm ~\delta\left(\nabla_{m} f_\text{TAP} \right) \det \mathcal{A}(m) ~\delta\left(Nf_\text{TAP}-Nf\right).$$
 $f$의 값이 충분히 낮다면 에너지 경관(energy landscape)은 수많은 극소점들을 가질 것이고 따라서 헤세 행렬의 [[수학:행렬식|행렬식(determinant)]] 값은 대개 양수일 것이며 $\mathcal{N}' \approx \mathcal{N}$일 것이다. 반면 $\varepsilon$를 높게 설정한다면 안장점들이 주로 존재하는 경관을 보게 될 것이며, [[수학:행렬식|행렬식]] 값의 부호가 자주 음수가 될 수 있으므로 위와 같은 계산에 뭔가 불안정성이 나타날 것이라 기대할 수 있다.
-/*
-====구면 조건====
-구면 조건 $g(\sigma) \equiv \sum_i \sigma_i^2 - N = 0$과 함께 $H$의 극소점들을 찾기 위해 [[수학:라그랑주 곱수]] $\Lambda$를 도입하자 (편의를 위해 $p=3$으로 가정하여 식을 적는다).
-$$H = - \sum_{i<k<l} J_{ikl} \sigma_i \sigma_k \sigma_l = -\frac{1}{p!} \sum_{ikl} J_{ikl} \sigma_i \sigma_k \sigma_l$$
-이므로 다음의 식을 얻는다:
-$$\frac{\partial H}{\partial \sigma_i} = -\frac{p}{p!} \sum_{kl} J_{ikl} \sigma_k \sigma_l = \frac{\partial g}{\partial \sigma_i} = 2\Lambda \sigma_i.$$
-양변에 $\sigma_i$를 곱하고 $i$에 대해 합하면,
-$$-\frac{p}{p!} \sum_i \sum_{kl} J_{ikl} \sigma_i \sigma_k \sigma_l = p H = \sum_i 2\Lambda \sigma_i^2 = 2\Lambda N.$$
-따라서 [[수학:라그랑주 곱수]]는 $\Lambda = pH/(2N)$이고 이를 다시 원래의 식에 대입하면, 풀어야 하는 방정식은 다음과 같다:
-$$-\frac{p}{p!} \sum_{kl} J_{ikl} \sigma_k \sigma_l - p \frac{1}{N} H(\sigma) \sigma_i = 0.$$
-에너지 밀도를 $H(\sigma)/N = \varepsilon$으로 고정한다면
-$$-\frac{p}{p!} \sum_{kl} J_{ikl} \sigma_k \sigma_l - p \varepsilon \sigma_i = 0.$$
-마찬가지로 헤세 행렬의 원소를 구면 조건을 포함해 적으면 아래와 같다:
-$$\mathcal{H}_{ki} \equiv \frac{\partial^2 H}{\partial \sigma_k \partial \sigma_i} = - \frac{p(p-1)}{p!} \sum_l J_{ikl} \sigma_l - p\varepsilon \delta_{ik}.$$
-정리하면, 복잡도를 구하기 위해 먼저 다음의 식을 계산하고:
-$$\mathcal{N}(\varepsilon) \approx \int D\sigma \prod_i \delta\left(-\frac{p}{p!} \sum_{kl} J_{ikl} \sigma_k \sigma_l - p\varepsilon \sigma_i \right) \det \left( - \frac{p(p-1)}{p!} \sum_l J_{ikl} \sigma_l - p\varepsilon \delta_{ik} \right)$$
-이어 다음의 식에 대입한다:
-$$\Sigma(\varepsilon) = \lim_{N\to\infty} \frac{1}{N} \ln \mathcal{N}(\varepsilon).$$
-*/
 [[수학:디락_델타_함수|디락 델타 함수]]의 적분 표현을 도입하고
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-====베키-루에-스토라-튜틴(Becchi-Rouet-Stora-Tyutin, BRST) 대칭성====
+====BRST 대칭성====
 어떤 [[수학:그라스만_대수|그라스만 변수]] $\epsilon$이 있다고 했을 때, 위의 작용 $\mathcal{S}$에 다음과 같은 변환을 취하고
 \begin{eqnarray*}
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 이므로
 $$\sum_k \delta \mathcal{A}_{jk} \psi_k = \sum_{kl} \frac{\partial \mathcal{A}_{jk}}{\partial m_l} \epsilon \psi_l \psi_k$$
-인데, $\left(\partial \mathcal{A}_{jk}/\partial m_l \right) \psi_l \psi_k = \left(\partial \mathcal{A}_{jl}/\partial m_k \right) \psi_l \psi_k = -\left(\partial \mathcal{A}_{jl}/\partial m_k \right) \psi_k \psi_l$이므로 $\sum_{jk} \bar{\psi}_j \delta \mathcal{A}_{jk} \psi_k = 0$이다. 나머지 항들은 서로 상쇄되므로 $\delta \mathcal{S} = 0$으로서, 결론적으로 작용 $\mathcal{S}$는 위 변환에 대해 불변량이다. 복제본들을 포함한 $\tilde{\mathcal{S}}$을 생각하면, 각 복제본마다 위 변환을 취했을 때에 마찬가지로 불변량이다.
+인데, $\left(\partial \mathcal{A}_{jk}/\partial m_l \right) \psi_l \psi_k = \left(\partial \mathcal{A}_{jl}/\partial m_k \right) \psi_l \psi_k = -\left(\partial \mathcal{A}_{jl}/\partial m_k \right) \psi_k \psi_l$이므로 $\sum_{jk} \bar{\psi}_j \delta \mathcal{A}_{jk} \psi_k = 0$이다. 나머지 항들은 서로 상쇄되므로 $\delta \mathcal{S} = 0$으로서, 결론적으로 작용 $\mathcal{S}$는 위 변환에 대해 불변량이다. 복제본들을 포함한 $\tilde{\mathcal{S}}$을 생각하면, 각 복제본마다 위 변환을 취했을 때에 마찬가지로 불변량이다. 이는 베키-루에-스토라-튜틴(Becchi-Rouet-Stora-Tyutin, BRST) 대칭성의 한 예이다.
 이제 연산자 $O \equiv m^b \bar{\psi}^a = \sum_k m^b_k \bar{\psi}^a_k$를 생각하고 위 변환을 취해보면, 작용이 불변하므로 대칭성이 자발적으로 깨지지 않는 한 연산자의 기댓값 역시 변하지 않을 것이다:
-$0 = \langle \delta O \rangle = \langle \epsilon \psi^b \bar{\psi}^a \rangle + \langle m^b (-\epsilon \lambda^a) \rangle$.
+$0 = \langle \delta O \rangle = \langle \epsilon \psi^b \bar{\psi}^a \rangle + \langle m^b (-i\epsilon \lambda^a) \rangle$.
-따라서 $$\langle \psi^b \bar{\psi}^a \rangle = - \langle \bar{\psi}^a \psi^b \rangle = \langle m^b \lambda^a \rangle.$$
+따라서
-이번에는 $O \equiv \lambda^b \bar{\psi}^a$로 놓으면, $0 = \langle \delta O \rangle = \langle (-\omega^b \epsilon \psi^b) \bar{\psi}^a \rangle + \langle \lambda^b (-\epsilon \lambda^a) \rangle$로부터
+$$\langle \psi^b \bar{\psi}^a \rangle = - \langle \bar{\psi}^a \psi^b \rangle = i\langle m^b \lambda^a \rangle.$$
-$$\langle \omega^b \bar{\psi}^a \psi^b \rangle = \langle \lambda^a \lambda^b \rangle.$$
+이번에는 $O \equiv \lambda^b \bar{\psi}^a$로 놓으면, $0 = \langle \delta O \rangle = \langle (-\omega^b \epsilon \psi^b) \bar{\psi}^a \rangle + \langle \lambda^b (-i\epsilon \lambda^a) \rangle$로부터
+$$\langle \omega^b \bar{\psi}^a \psi^b \rangle = i\langle \lambda^a \lambda^b \rangle.$$
+앞으로 복제본에 상관없이 $\omega^b = \omega$라고 놓도록 하자.
+====무작위 평균====
+===리거(1992), 그리고 크리산티와 좀머스(1995)의 계산(작성 중)===
+여기에서는 $q$를 $m_i$들과 독립적인 변수로 취급하고 나중에 [[수학:디락_델타_함수|디락 델타 함수]]로써 $q = N^{-1}\sum_i m_i^2$의 제약을 둔다.
+$\zeta \equiv 1/(1-q) + \beta^2 p (p-1)(1-q) q^{p-2}/2$로 정의할 때 [[물리:tap_방정식|TAP 방정식]]을 다음처럼 적게 되고
+$$\mathcal{T}_i = \zeta m_i - \frac{\beta}{(p-1)!} \sum_{k_2, \ldots, k_p} J_{i k_2 \ldots k_p} m_{k_2} \cdots m_{k_p} = 0$$
+헤세 행렬의 원소는 이렇게 주어진다:
+$$\mathcal{H}_{ij} = \frac{\partial \mathcal{T}_i}{\partial m_j} = \zeta \delta_{ij} - \frac{\beta}{(p-2)!} \sum_{k_3, \ldots, k_p} J_{ijk_3 \ldots k_p} m_{k_3} \cdots m_{k_p}.$$
+위에서 논의한 것처럼 행렬식 $\det \mathcal{H}$의 부호가 언제나 양수일 거라고 가정하면 해의 개수는 ($I^2=-1$)
+\begin{eqnarray*}
+\mathcal{N} &\approx& N\int_0^1 dq \int \prod_i dm_i \delta\left(Nq - \sum_i m_i^2 \right) \prod_i \delta\left(\mathcal{T}_i\right) \det \mathcal{H}\\
+&=& N\int \frac{dq ~d\hat{q}}{2\pi} \int \prod_i \left(\frac{dm_i d\hat{m}_i}{2\pi}\right) \exp\left[I\hat{q} \left(Nq - \sum_i m_i^2 \right) \right] \exp \left[ I\zeta \sum_i \hat{m}_i m_i - \frac{I\beta}{(p-1)!} \sum_{i,k_2, \ldots, k_p} J_{i k_2 \ldots k_p} \hat{m}_i m_{k_2} \cdots m_{k_p}\right] \det \mathcal{H}\\
+\end{eqnarray*}
+$\mathcal{N}$에 대해 곧바로 무작위 평균을 취하도록 하자. 지수 함수뿐만 아니라 $\det \mathcal{H}$에도 $J_{ijk_3\ldots k_p}$가 포함되어 있지만, 평균을 취하는 과정에서 생겨나는 교차항을 무시할 수 있다고 하면 아래처럼 따로 평균을 취한 후 곱할 수 있다:
+\begin{eqnarray*}
+\langle \mathcal{N} \rangle &\approx&
+&=& N\int \frac{dq ~d\hat{q}}{2\pi} \int \prod_i \left(\frac{dm_i d\hat{m}_i}{2\pi}\right) \exp\left[I\zeta \sum_i \hat{m}_i m_i + I\hat{q} \left(Nq - \sum_i m_i^2 \right) \right] \Biggl< \exp \left[- \frac{I\beta}{(p-1)!} \sum_{i,k_2, \ldots, k_p} J_{i k_2 \ldots k_p} \hat{m}_i m_{k_2} \cdots m_{k_p}\right] \Biggr>
+\langle \det \mathcal{H} \rangle.\\
+\end{eqnarray*}
+이 중에서 앞의 평균은 다음처럼 계산되고
+\begin{eqnarray*}
+\prod_{k_1, \ldots, k_p} \Biggl< \exp \left[- \frac{I p \beta}{p!} J_{k_1 k_2 \ldots k_p} \hat{m}_{k_1} m_{k_2} \cdots m_{k_p}\right] \Biggr>
+&=& \prod_{k_1< \ldots<k_p} \exp \left\{ -\frac{\beta^2 p!}{4N^{p-1}} \left[ \frac{1}{(p-1)!} \sum_{\pi} \hat{m}_{\pi(k_1)} m_{\pi(k_2)} \cdots m_{\pi(k_p)} \right]^2 \right\}\\
+\end{eqnarray*}
+===카바냐 등(1999)의 계산(작성 중)===
+++++보기|
+먼저 $q \equiv N^{-1} \sum_i m_i^2$이고 온사거 반응 항을 $g(q) \equiv -(\beta/4) \left[ (p-1)q^p - pq^{p-1} +1\right]$라고 했을 때 다음과 같은 표현식들을 적어보자:
+\begin{eqnarray*}
+f_\text{TAP}(m^a) &=& -\frac{1}{N} \sum_{i_1<\ldots<i_p} J_{i_1 \ldots i_p} m_{i_1}^a \cdots m_{i_p}^a - \frac{1}{2\beta} \ln(1-q^a) + g(q^a)\\
+&\approx& -\frac{1}{Np!} \sum_{i_1,\ldots,i_p} J_{i_1 \ldots i_p} m_{i_1}^a \cdots m_{i_p}^a - \frac{1}{2\beta} \ln(1-q^a) + g(q^a).
+\end{eqnarray*}
+\begin{eqnarray*}
+\mathcal{T}_k (m^a) = N\frac{\partial f_\text{TAP}}{\partial m_k^a} &=& -\sum_{i_2<\ldots<i_p} J_{ki_2\ldots i_p} m_{i_2}^a \cdots m_{i_p}^a + 2m_k^a \left[ \frac{1}{2\beta(1-q^a)} + g'(q^a) \right]\\
+&=& -\frac{1}{(p-1)!} \sum_{i_2,\ldots,i_p} J_{ki_2\ldots i_p} m_{i_2}^a \cdots m_{i_p}^a + 2m_k^a \left[ \frac{1}{2\beta(1-q^a)} + g'(q^a) \right]\\
+\sum_k \lambda_k \mathcal{T}_k &=& -\frac{p}{p!} \sum_{k,i_2,\ldots,i_p} J_{ki_2\ldots i_p} \lambda_k^a m_{i_2}^a \cdots m_{i_p}^a + \sum_k 2 \lambda_k^a m_k^a \left[ \frac{1}{2\beta(1-q^a)} + g'(q^a) \right].
+\end{eqnarray*}
+\begin{eqnarray*}
+\mathcal{A}_{kl} (m^a) &=& N\frac{\partial^2 f_\text{TAP}}{\partial m_k^a \partial m_l^a} = \frac{\partial}{\partial m_k^a} \mathcal{T}_l (m^a) = -\sum_{i_3<\ldots<i_p} J_{kli_3\ldots i_p} m_{i_3}^a \cdots m_{i_p}^a + 2\delta_{kl} \left[ \frac{1}{2\beta(1-q^a)} + g'(q^a) \right] + \frac{4 m_k^a m_l^a}{N} \frac{\partial}{\partial q^a} \left[ \frac{1}{2\beta(1-q^a)} + g'(q^a) \right]\\
+&=& -\frac{1}{(p-2)!} \sum_{i_3,\ldots,i_p} J_{kli_3\ldots i_p} m_{i_3}^a \cdots m_{i_p}^a + 2\delta_{kl} \left[ \frac{1}{2\beta(1-q^a)} + g'(q^a) \right] + \frac{4 m_k^a m_l^a}{N} \left[ \frac{1}{2\beta(1-q^a)^2} + g''(q^a) \right]\\
+\end{eqnarray*}
+여기에서 $1/N$을 포함하는 마지막 항은 $N\to\infty$에서 무시하는 것이 일반적이나 여기에는 대가가 따르니 주의한다(Aspelmeier et al. (2004)과 Parisi (2006)).
+\begin{eqnarray*}
+\sum_{kl} \bar{\psi}_k^a \mathcal{A}_{kl} \psi_l^a &\approx& -\frac{p(p-1)}{p!} \sum_{k,l,i_3,\ldots,i_p} J_{kli_3\ldots i_p} \bar{\psi}_k^a \psi_l^a m_{i_3}^a \cdots m_{i_p}^a + 2 \sum_k \bar{\psi}_k^a \psi_k^a \left[ \frac{1}{2\beta(1-q^a)} + g'(q^a) \right].
+\end{eqnarray*}
+결합상수의 무작위성에 대해 평균을 취하여 복잡도를 계산해보자:
+$$\Sigma(f) = \lim_{n\to0} \frac{1}{nN} \ln \int Dm D\lambda D\bar{\psi} D\psi ~d\omega ~\overline{\exp\left[-\tilde{\mathcal{S}}_J (m, \lambda, \bar{\psi}, \psi, \omega) \right]}.$$
+먼저 작용을 결합상수를 포함하지 않는 부분 $\tilde{\mathcal{S}}_J^{(0)}$과 포함하는 부분 $\tilde{\mathcal{S}}_J^{(1)}$로 나누고
+\begin{eqnarray*}
+\tilde{\mathcal{S}}_J &=& \sum_{a=1}^n \left\{ \sum_{k=1}^N i \lambda^a_k \mathcal{T}_k \left(m^a\right) + \sum_{k,l=1}^N \bar{\psi}^a_k \mathcal{A}_{kl}\left(m^a\right) \psi^a_l + i\omega N \left[ f_\text{TAP} \left(m^a\right) - f \right] \right\} = \tilde{\mathcal{S}}_J^{(0)} + \tilde{\mathcal{S}}_J^{(1)}
+\end{eqnarray*}
+결합상수를 포함하지 않는 부분을 적어보자:
+\begin{eqnarray*}
+\exp\left[ -\tilde{\mathcal{S}}_J^{(0)} \right] &=& \exp \left\{ -2i\sum_{a=1}^n \sum_{k=1}^N \lambda_k^a m_k^a \left[ \frac{1}{2\beta(1-q^a)} + g'(q^a) \right]  - 2 \sum_{a=1}^n \sum_{k=1}^N \bar{\psi}_k^a \psi_k^a \left[ \frac{1}{2\beta(1-q^a)} + g'(q^a) \right] - i \omega N \sum_{a=1}^n \left[ -\frac{1}{2\beta} \ln(1-q^a) + g(q^a) -f\right] \right\}.
+\end{eqnarray*}
+이 중 앞의 두 항은 BRST 대칭성에 의해 상쇄될 것으로 생각할 수 있다.
 /*
 \begin{eqnarray*}
-\delta S &=& ip\varepsilon \sum_i \mu_i \eta \psi_i + i\frac{p}{p!} \sum_{ikl} J_{ikl} \left( \mu_i \sigma_k \eta \psi_l + \mu_i \eta \psi_k \sigma_l + \mu_i \eta \psi_k \eta \psi_l \right) - p\varepsilon \sum_i i\eta \mu_i \psi_i + \frac{p(p-1)}{p!} \sum_{ikl} J_{ikl} \left( -\eta \mu_i \psi_k \sigma_l + \bar{\psi}_i \psi_k \eta \psi_l - \eta \mu_i \psi_k \eta \psi_l \right)
+\overline{\exp\left[ -\tilde{\mathcal{S}}_J \right]} &=& \overline{ \exp \left[-\sum_{a=1}^n \left\{ \sum_{k=1}^N i \lambda^a_k \mathcal{T}_k \left(m^a\right) + \sum_{k,l=1}^N \bar{\psi}^a_k \mathcal{A}_{kl}\left(m^a\right) \psi^a_l + i\omega N \left[ f_\text{TAP} \left(m^a\right) - f \right] \right\} \right]}\\
+&=& \exp \left\{ -i\sum_{a=1}^n \sum_{k=1}^N 2 \lambda_k^a m_k^a \left[ \frac{1}{2\beta(1-q^a)} + g'(q^a) \right] - \sum_{a=1}^n \sum_{k,l=1}^N \frac{4 m_k^a m_l^a \bar{\psi}_k^a \psi_l^a}{N} \left[ \frac{1}{2\beta(1-q^a)^2} + g''(q^a) \right] - 2 \sum_{a=1}^n \sum_{k=1}^N \bar{\psi}_k^a \psi_k^a \left[ \frac{1}{2\beta(1-q^a)} + g'(q^a) \right] - i \omega N \sum_{a=1}^n \left[ -\frac{1}{2\beta} \ln(1-q^a) + g(q^a) -f\right] \right\} \\
+&&\times \overline{\exp \left[ \sum_{k,i_2,\ldots,i_p} J_{ki_2\ldots i_p} \left( \frac{ip}{p!}\sum_{a=1}^n \lambda_k^a m_{i_2}^a \cdots m_{i_p}^a \right) + \sum_{k,l,i_3,\ldots,i_p} J_{kli_3\ldots i_p} \left( \frac{p(p-1)}{p!} \sum_{a=1}^n \bar{\psi}_k^a \psi_l^a m_{i_3}^a \cdots m_{i_p}^a \right) + \sum_{i_1,\ldots,i_p} J_{i_1 \ldots i_p} \left( \frac{i\omega}{p!} \sum_{a=1}^n m_{i_1}^a \cdots m_{i_p}^a \right) \right]}\\
 \end{eqnarray*}
 */
+다음으로 결합상수를 포함한 부분을 적고 평균을 취하자:
+\begin{eqnarray*}
+&&\overline{\exp \left[ \sum_{i_1,\ldots,i_p} J_{i_1\ldots i_p} \left( \frac{ip}{p!}\sum_{a=1}^n \lambda_{i_1}^a m_{i_2}^a \cdots m_{i_p}^a \right) + \sum_{i_1,\ldots,i_p} J_{i_1\ldots i_p} \left( \frac{p(p-1)}{p!} \sum_{a=1}^n \bar{\psi}_{i_1}^a \psi_{i_2}^a m_{i_3}^a \cdots m_{i_p}^a \right) + \sum_{i_1,\ldots,i_p} J_{i_1 \ldots i_p} \left( \frac{i\omega}{p!} \sum_{a=1}^n m_{i_1}^a \cdots m_{i_p}^a \right) \right]}\\
+&=& \overline{\prod_{i_1,\ldots,i_p} \exp \left[ J_{i_1\ldots i_p} \left( \frac{ip}{p!}\sum_{a=1}^n \lambda_{i_1}^a m_{i_2}^a \cdots m_{i_p}^a + \frac{p(p-1)}{p!} \sum_{a=1}^n \bar{\psi}_{i_1}^a \psi_{i_2}^a m_{i_3}^a \cdots m_{i_p}^a + \frac{i\omega}{p!} \sum_{a=1}^n m_{i_1}^a \cdots m_{i_p}^a \right) \right]}\\
+&=& \prod_{i_1,\ldots,i_p} \int dJ_{i_1\ldots i_p} \exp\left( -J_{i_1\ldots i_p}^2 \frac{N^p}{p!} \right) \exp \left[ J_{i_1\ldots i_p} \left( \frac{ip}{p!}\sum_{a=1}^n \lambda_{i_1}^a m_{i_2}^a \cdots m_{i_p}^a + \frac{p(p-1)}{p!} \sum_{a=1}^n \bar{\psi}_{i_1}^a \psi_{i_2}^a m_{i_3}^a \cdots m_{i_p}^a + \frac{i\omega}{p!} \sum_{a=1}^n m_{i_1}^a \cdots m_{i_p}^a \right) \right]\\
+&\propto& \prod_{i_1,\ldots,i_p} \exp \left[ \frac{p!}{4N^p} \left( \frac{ip}{p!}\sum_{a=1}^n \lambda_{i_1}^a m_{i_2}^a \cdots m_{i_p}^a + \frac{p(p-1)}{p!} \sum_{a=1}^n \bar{\psi}_{i_1}^a \psi_{i_2}^a m_{i_3}^a \cdots m_{i_p}^a + \frac{i\omega}{p!} \sum_{a=1}^n m_{i_1}^a \cdots m_{i_p}^a \right)^2 \right]\\
+&=& \prod_{i_1,\ldots,i_p} \exp \left[ \frac{1}{4N^p p!} \left( ip\sum_{a=1}^n \lambda_{i_1}^a m_{i_2}^a \cdots m_{i_p}^a + p(p-1) \sum_{a=1}^n \bar{\psi}_{i_1}^a \psi_{i_2}^a m_{i_3}^a \cdots m_{i_p}^a + i\omega \sum_{a=1}^n m_{i_1}^a \cdots m_{i_p}^a \right)^2 \right]\\
+&\approx& \prod_{i_1<\ldots<i_p} \exp \left[ \frac{1}{4N^p} \left( ip\sum_{a=1}^n \lambda_{i_1}^a m_{i_2}^a \cdots m_{i_p}^a + p(p-1) \sum_{a=1}^n \bar{\psi}_{i_1}^a \psi_{i_2}^a m_{i_3}^a \cdots m_{i_p}^a + i\omega \sum_{a=1}^n m_{i_1}^a \cdots m_{i_p}^a \right)^2 \right]\\
+\end{eqnarray*}
+++++
-/*
+===카스텔라니와 카바냐(2005)의 계산(작성 중)===
-====무작위 평균====
+++++보기|
-===0-RSB===
+$f_\text{TAP}$의 최소화가 $H$의 최소화와 일치한다는 특성을 이용한다.
-원래는 $\ln \mathcal{N}$의 평균을 봐야 하겠지만, 일단 $\mathcal{N}(\varepsilon)$에 바로 무작위 평균을 취해보자:
+구면 조건 $g(\sigma) \equiv \sum_i \sigma_i^2 - N = 0$과 함께 $H$의 극소점들을 찾기 위해 [[수학:라그랑주 곱수]] $\Lambda$를 도입하자 (편의를 위해 $p=3$으로 가정하여 식을 적는다).
+$$H = - \sum_{i<k<l} J_{ikl} \sigma_i \sigma_k \sigma_l = -\frac{1}{p!} \sum_{ikl} J_{ikl} \sigma_i \sigma_k \sigma_l$$
+이므로 다음의 식을 얻는다:
+$$\frac{\partial H}{\partial \sigma_i} = -\frac{p}{p!} \sum_{kl} J_{ikl} \sigma_k \sigma_l = \frac{\partial g}{\partial \sigma_i} = 2\Lambda \sigma_i.$$
+양변에 $\sigma_i$를 곱하고 $i$에 대해 합하면,
+$$-\frac{p}{p!} \sum_i \sum_{kl} J_{ikl} \sigma_i \sigma_k \sigma_l = p H = \sum_i 2\Lambda \sigma_i^2 = 2\Lambda N.$$
+따라서 [[수학:라그랑주 곱수]]는 $\Lambda = pH/(2N)$이고 이를 다시 원래의 식에 대입하면, 풀어야 하는 방정식은 다음과 같다:
+$$-\frac{p}{p!} \sum_{kl} J_{ikl} \sigma_k \sigma_l - p \frac{1}{N} H(\sigma) \sigma_i = 0.$$
+에너지 밀도를 $H(\sigma)/N = \varepsilon$으로 고정한다면
+$$-\frac{p}{p!} \sum_{kl} J_{ikl} \sigma_k \sigma_l - p \varepsilon \sigma_i = 0.$$
+마찬가지로 헤세 행렬의 원소를 구면 조건을 포함해 적으면 아래와 같다:
+$$\mathcal{H}_{ki} \equiv \frac{\partial^2 H}{\partial \sigma_k \partial \sigma_i} = - \frac{p(p-1)}{p!} \sum_l J_{ikl} \sigma_l - p\varepsilon \delta_{ik}.$$
+정리하면, 복잡도를 구하기 위해 먼저 다음의 식을 계산하고:
+$$\mathcal{N}(\varepsilon) \approx \int D\sigma \prod_i \delta\left(-\frac{p}{p!} \sum_{kl} J_{ikl} \sigma_k \sigma_l - p\varepsilon \sigma_i \right) \det \left( - \frac{p(p-1)}{p!} \sum_l J_{ikl} \sigma_l - p\varepsilon \delta_{ik} \right)$$
+이어 다음의 식에 대입한다:
+$$\Sigma(\varepsilon) = \lim_{N\to\infty} \frac{1}{N} \ln \mathcal{N}(\varepsilon).$$
+일단 $\mathcal{N}(\varepsilon)$에 바로 무작위 평균을 취해보자:
 \begin{eqnarray*}
 \overline{\exp\left[ -\mathcal{S} \right]} &\propto& \exp\left( - ip\varepsilon \sum_i \mu_i \sigma_i -p\varepsilon\sum_i \bar{\psi}_i \psi_i \right) \prod_{i>k>l} \int dJ_{ikl} \exp\left[ -\frac12 J_{ikl}^2 \frac{2N^{p-1}}{p!} - ip J_{ikl} \mu_i \sigma_k \sigma_l - p(p-1) J_{ikl} \bar{\psi}_i \psi_k \sigma_l \right].
 \end{eqnarray*}
-$J_{ikl}$에 대한 평균은 아래처럼 계산되고
+$J_{ikl}$에 대한 평균은 아래처럼 계산되고 (여러 변수들이 곱해진 항들을 인덱스에 대해 대칭화했다):
 \begin{eqnarray*}
 && \int dJ_{ikl} \exp\left[ -\frac12 J_{ikl}^2 \frac{2N^{p-1}}{p!} - ip J_{ikl} \mu_i \sigma_k \sigma_l - p(p-1) J_{ikl} \bar{\psi}_i \psi_k \sigma_l \right]\\
@@ Line 542: / Line 610: @@
 &\approx&\prod_{ikl} \exp\left\{ \frac{1}{4N^{p-1}} \left[i \left( \mu_i \sigma_k \sigma_l + \sigma_i \mu_k \sigma_l + \sigma_i \sigma_k \mu_l \right) + \left( \bar{\psi}_i \psi_k \sigma_l + \bar{\psi}_i \psi_l \sigma_k + \bar{\psi}_k \psi_i \sigma_l + \bar{\psi}_k \psi_l \sigma_i + \bar{\psi}_l \psi_i \sigma_k + \bar{\psi}_l \psi_k \sigma_i \right) \right]^2 \right\}.
 \end{eqnarray*}
-그리고 제곱을 통해 등장하는 $\mu$와 [[수학:그라스만_대수|그라스만 변수]]와의 교차항은 결과에 기여하지 않는다고 가정하자. 이 가정은 나중에 얻게 되는 답과 부합한다. $\mu$에 의존하는 부분을 먼저 적어보면
+그리고 제곱을 통해 등장하는 교차항($\mu$와 [[수학:그라스만_대수|그라스만 변수]]의 곱)은 결과에 기여하지 않는다고 가정하자. 이 가정은 나중에 얻게 되는 답과 부합한다. $\mu$에 의존하는 부분을 먼저 적어보면
 \begin{eqnarray*}
 A &=&\int D\sigma \frac{D\mu}{(2\pi)^N} \exp\left[ -\frac{1}{4N^{p-1}} \sum_{ikl} \left( \mu_i \sigma_k \sigma_l + \sigma_i \mu_k \sigma_l + \sigma_i \sigma_k \mu_l \right)^2 - ip\varepsilon \sum_i \mu_i \sigma_i \right]\\
@@ Line 560: / Line 628: @@
 모두 종합하면 다음의 결과를 얻는다:
 $$\lim_{N\to\infty} \frac{1}{N} \ln A = \frac12  - \frac12 \ln \frac{p}{2} - \varepsilon^2.$$
-*/
 /*
@@ Line 572: / Line 639: @@
 \end{eqnarray*}
 */
+/*
-====무작위 평균====
-먼저 $q \equiv N^{-1} \sum_i m_i^2$이고 온사거 반응 항을 $g(q) \equiv -(\beta/4) \left[ (p-1)q^p - pq^{p-1} +1\right]$라고 했을 때 다음과 같은 표현식들을 적어보자:
 \begin{eqnarray*}
-f_\text{TAP}(m) &=& -\frac{1}{N} \sum_{i_1<\ldots<i_p} J_{i_1 \ldots i_p} m_{i_1} \cdots m_{i_p} - \frac{1}{2\beta} \ln(1-q) + g(q)\\
+\delta S &=& ip\varepsilon \sum_i \mu_i \eta \psi_i + i\frac{p}{p!} \sum_{ikl} J_{ikl} \left( \mu_i \sigma_k \eta \psi_l + \mu_i \eta \psi_k \sigma_l + \mu_i \eta \psi_k \eta \psi_l \right) - p\varepsilon \sum_i i\eta \mu_i \psi_i + \frac{p(p-1)}{p!} \sum_{ikl} J_{ikl} \left( -\eta \mu_i \psi_k \sigma_l + \bar{\psi}_i \psi_k \eta \psi_l - \eta \mu_i \psi_k \eta \psi_l \right)
-&\approx& -\frac{1}{Np!} \sum_{i_1,\ldots,i_p} J_{i_1 \ldots i_p} m_{i_1} \cdots m_{i_p} - \frac{1}{2\beta} \ln(1-q) + g(q).
 \end{eqnarray*}
-\begin{eqnarray*}
+*/
-\mathcal{T}_k (m) = N\frac{\partial f_\text{TAP}}{\partial m_k} &=& -\sum_{i_2<\ldots<i_p} J_{ki_2\ldots i_p} m_{i_2} \cdots m_{i_p} + 2m_k \left[ \frac{1}{2\beta(1-q)} + g'(q) \right]\\
+++++
-&=& -\frac{1}{(p-1)!} \sum_{i_2,\ldots,i_p} J_{ki_2\ldots i_p} m_{i_2} \cdots m_{i_p} + 2m_k \left[ \frac{1}{2\beta(1-q)} + g'(q) \right]\\
-\sum_k \lambda_k \mathcal{T}_k &=& -\frac{p}{p!} \sum_{k,i_2,\ldots,i_p} J_{ki_2\ldots i_p} \lambda_k m_{i_2} \cdots m_{i_p} + \sum_k 2 \lambda_k m_k \left[ \frac{1}{2\beta(1-q)} + g'(q) \right].
-\end{eqnarray*}
-\begin{eqnarray*}
-\mathcal{A}_{kl} (m) &=& N\frac{\partial^2 f_\text{TAP}}{\partial m_k \partial m_l} = \frac{\partial}{\partial m_k} \mathcal{T}_l = -\sum_{i_3<\ldots<i_p} J_{kli_3\ldots i_p} m_{i_3} \cdots m_{i_p} + \frac{4 m_k m_l}{N} \frac{\partial}{\partial q} \left[ \frac{1}{2\beta(1-q)} + g'(q) \right] + 2\delta_{kl} \left[ \frac{1}{2\beta(1-q)} + g'(q) \right]\\
-&=& -\frac{1}{(p-2)!} \sum_{i_3,\ldots,i_p} J_{kli_3\ldots i_p} m_{i_3} \cdots m_{i_p} + \frac{4 m_k m_l}{N} \left[ \frac{1}{2\beta(1-q)^2} + g''(q) \right] + 2\delta_{kl} \left[ \frac{1}{2\beta(1-q)} + g'(q) \right]\\
-\sum_{kl} \bar{\psi}_k \mathcal{A}_{kl} \psi_l &=& -\frac{p(p-1)}{p!} \sum_{k,l,i_3,\ldots,i_p} J_{kli_3\ldots i_p} \bar{\psi}_k \psi_l m_{i_3} \cdots m_{i_p} + \sum_{kl} \frac{4 m_k m_l \bar{\psi}_k \psi_l}{N} \left[ \frac{1}{2\beta(1-q)^2} + g''(q) \right] + 2 \sum_k \bar{\psi}_k \psi_k \left[ \frac{1}{2\beta(1-q)} + g'(q) \right].
-\end{eqnarray*}
-결합상수의 무작위성에 대해 평균을 취하여 복잡도를 계산해보자:
-$$\Sigma(f) = \lim_{n\to0} \frac{1}{nN} \ln \int Dm D\lambda D\bar{\psi} D\psi ~d\omega ~\overline{\exp\left[-\tilde{\mathcal{S}}_J (m, \lambda, \bar{\psi}, \psi, \omega) \right]}.$$
-\begin{eqnarray*}
-\tilde{\mathcal{S}}_J &=& \sum_{a=1}^n \left\{ \sum_{k=1}^N i \lambda^a_k \mathcal{T}_k \left(m^a\right) + \sum_{k,l=1}^N \bar{\psi}^a_k \mathcal{A}_{kl}\left(m^a\right) \psi^a_l + i\omega^a N \left[ f_\text{TAP} \left(m^a\right) - f \right] \right\}.
-\end{eqnarray*}
-\begin{eqnarray*}
-\overline{\exp\left[ -\tilde{\mathcal{S}}_J \right]} &=& \overline{ \exp \left[-\sum_{a=1}^n \left\{ \sum_{k=1}^N i \lambda^a_k \mathcal{T}_k \left(m^a\right) + \sum_{k,l=1}^N \bar{\psi}^a_k \mathcal{A}_{kl}\left(m^a\right) \psi^a_l + i\omega^a N \left[ f_\text{TAP} \left(m^a\right) - f \right] \right\} \right]}\\
-&=& \exp \left\{ -i\sum_{a=1}^n \sum_{k=1}^N 2 \lambda_k^a m_k^a \left[ \frac{1}{2\beta(1-q^a)} + g'(q^a) \right] - \sum_{a=1}^n \sum_{k,l=1}^N \frac{4 m_k^a m_l^a \bar{\psi}_k^a \psi_l^a}{N} \left[ \frac{1}{2\beta(1-q^a)^2} + g''(q^a) \right] - 2 \sum_{a=1}^n \sum_{k=1}^N \bar{\psi}_k^a \psi_k^a \left[ \frac{1}{2\beta(1-q^a)} + g'(q^a) \right] \right\} \\
-&&\overline{\exp \left[-\sum_{a=1}^n \left\{ \sum_{k=1}^N i \lambda^a_k \mathcal{T}_k \left(m^a\right) + \sum_{k,l=1}^N \bar{\psi}^a_k \mathcal{A}_{kl}\left(m^a\right) \psi^a_l + i\omega^a N \left[ f_\text{TAP} \left(m^a\right) - f \right] \right\} \right]}\\
-\end{eqnarray*}
 =====일반화된 자유 에너지=====
 평형 분배 함수 $Z$를 다음처럼 적어보자:
@@ Line 635: / Line 678: @@
   * James P. Sethna, //Statistical Mechanics: Entropy, Order Parameters, and Complexity//, 2nd ed. (Oxford University Press, Oxford, 2021).
   * Andrea Cavagna, Juan P Garrahan and Irene Giardina, //Quenched complexity of the mean-field p-spin spherical model with external magnetic field//, [[https://doi.org/10.1088/0305-4470/32/5/004|J. Phys. A: Math. Gen. 32 711 (1999)]].
+  * T. Aspelmeier, A. J. Bray, and M. A. Moore, //Complexity of Ising Spin Glasses//, [[https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.92.087203|Phys. Rev. Lett. 92, 087203 (2004)]].
+  * G. Parisi, //Counting the number of metastable states in infinite-range models//, [[https://doi.org/10.48550/arXiv.cond-mat/0602349|arXiv:cond-mat/0602349]].
 /*
   * Andrea Cavagna, Irene Giardina, and Giorgio Parisi, //Stationary points of the Thouless-Anderson-Palmer free energy//, [[https://doi.org/10.1103/PhysRevB.57.11251|Phys. Rev. B 57, 11251 (1998)]].
   * H. Rieger, // The number of solutions of the Thouless-Anderson-Palmer equations for p-spin-interaction spin glasses//, [[https://doi.org/10.1103/PhysRevB.46.14655|Phys. Rev. B 46, 14655 (1992)]].
 */