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| 물리:구면_p-스핀_유리_모형 [2026/04/30 11:48] – [무작위 평균] admin | 물리:구면_p-스핀_유리_모형 [2026/05/26 10:03] (current) – [무작위 평균] admin |
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| \end{eqnarray*} | \end{eqnarray*} |
| 여기에서 $Q$는 $Q^{ab}$를 원소로 가지는 $n\times n$ 행렬이며, 마찬가지로 $\lambda$는 $\lambda^{ab}$를 원소로 가지는 $n\times n$ 행렬이다. | 여기에서 $Q$는 $Q^{ab}$를 원소로 가지는 $n\times n$ 행렬이며, 마찬가지로 $\lambda$는 $\lambda^{ab}$를 원소로 가지는 $n\times n$ 행렬이다. |
| [[물리:p-스핀_유리_모형|$p$-스핀 유리 모형]]에서 했던 것처럼 이를 형태로 정리해서 적어보면 | [[물리:p-스핀_유리_모형|$p$-스핀 유리 모형]]에서 했던 것처럼 이를 정리해서 적어보면 |
| $$\overline{Z^n} \sim \int DQ^{ab} D\lambda^{ab} D\sigma_i^a \exp\left[ \frac{\beta^2 N}{4} \sum_{ab} \left(Q^{ab}\right)^p + N\sum_{ab} \lambda^{ab} Q^{ab} - \sum_i \sum_{ab} \lambda^{ab} \sigma_i^a \sigma_i^b \right].$$ | $$\overline{Z^n} \sim \int DQ^{ab} D\lambda^{ab} D\sigma_i^a \exp\left[ \frac{\beta^2 N}{4} \sum_{ab} \left(Q^{ab}\right)^p + N\sum_{ab} \lambda^{ab} Q^{ab} - \sum_i \sum_{ab} \lambda^{ab} \sigma_i^a \sigma_i^b \right].$$ |
| 모든 복제본의 스핀 변수 $\{ \sigma_i^a \}$들에 대해 적분을 수행하면 (대각합의 역할) 다음의 결과를 얻는데 | 모든 복제본의 스핀 변수 $\{ \sigma_i^a \}$들에 대해 적분을 수행하면 (대각합의 역할) 다음의 결과를 얻는데 |
| 로서, $\delta\left(N\nabla_{m} f_\text{TAP} \right)$ 덕분에 $\lvert \det \mathcal{A}(m) \rvert$가 $m^\alpha$의 위치들에서만 계산될 것이다. 절댓값 기호는 다루기가 불편하므로, 우리는 자유 에너지 밀도 $f$에 제한을 걸어 다음처럼 정의된 양을 다룬다: | 로서, $\delta\left(N\nabla_{m} f_\text{TAP} \right)$ 덕분에 $\lvert \det \mathcal{A}(m) \rvert$가 $m^\alpha$의 위치들에서만 계산될 것이다. 절댓값 기호는 다루기가 불편하므로, 우리는 자유 에너지 밀도 $f$에 제한을 걸어 다음처럼 정의된 양을 다룬다: |
| $$\mathcal{N}'(f) = \int Dm ~\delta\left(\nabla_{m} f_\text{TAP} \right) \det \mathcal{A}(m) ~\delta\left(Nf_\text{TAP}-Nf\right).$$ | $$\mathcal{N}'(f) = \int Dm ~\delta\left(\nabla_{m} f_\text{TAP} \right) \det \mathcal{A}(m) ~\delta\left(Nf_\text{TAP}-Nf\right).$$ |
| $f$의 값이 충분히 낮다면 에너지 경관(energy landscape)은 수많은 극소점들을 가질 것이고 따라서 헤세 행렬의 [[수학:행렬식|행렬식(determinant)]] 값은 대개 양수일 것이며 $\mathcal{N}' \approx \mathcal{N}$일 것이다. 반면 $\varepsilon$를 높게 설정한다면 안장점들이 주로 존재하는 경관을 보게 될 것이며, [[수학:행렬식|행렬식]] 값의 부호가 자주 음수가 될 수 있으므로 위와 같은 계산에 뭔가 불안정성이 나타날 것이라 기대할 수 있다. | $f$의 값이 충분히 낮다면 에너지 경관(energy landscape)은 수많은 극소점들을 가질 것이고 따라서 헤세 행렬의 [[수학:행렬식|행렬식(determinant)]] 값은 대개 양수일 것이며 $\mathcal{N}' \approx \mathcal{N}$일 것이다. 반면 $f$를 높게 설정한다면 안장점들이 주로 존재하는 경관을 보게 될 것이며, [[수학:행렬식|행렬식]] 값의 부호가 자주 음수가 될 수 있으므로 위와 같은 계산에 뭔가 불안정성이 나타날 것이라 기대할 수 있다. |
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| /* | [[수학:디락_델타_함수|디락 델타 함수]]의 적분 표현을 도입하고 ($I \equiv \sqrt{-1}$) |
| ====구면 조건==== | $$\prod_i \delta(X_i) = \int \frac{D\lambda}{(2\pi)^N} \exp\left( -I \sum_{i=1}^N \lambda_i X_i \right)$$ |
| 구면 조건 $g(\sigma) \equiv \sum_i \sigma_i^2 - N = 0$과 함께 $H$의 극소점들을 찾기 위해 [[수학:라그랑주 곱수]] $\Lambda$를 도입하자 (편의를 위해 $p=3$으로 가정하여 식을 적는다). | $$\delta\left( Nf_\text{TAP} - Nf \right) = \int \frac{d\omega}{2\pi} \exp\left[ -I \omega N(f_\text{TAP} - f) \right]$$ |
| $$H = - \sum_{i<k<l} J_{ikl} \sigma_i \sigma_k \sigma_l = -\frac{1}{p!} \sum_{ikl} J_{ikl} \sigma_i \sigma_k \sigma_l$$ | |
| 이므로 다음의 식을 얻는다: | |
| $$\frac{\partial H}{\partial \sigma_i} = -\frac{p}{p!} \sum_{kl} J_{ikl} \sigma_k \sigma_l = \frac{\partial g}{\partial \sigma_i} = 2\Lambda \sigma_i.$$ | |
| 양변에 $\sigma_i$를 곱하고 $i$에 대해 합하면, | |
| $$-\frac{p}{p!} \sum_i \sum_{kl} J_{ikl} \sigma_i \sigma_k \sigma_l = p H = \sum_i 2\Lambda \sigma_i^2 = 2\Lambda N.$$ | |
| 따라서 [[수학:라그랑주 곱수]]는 $\Lambda = pH/(2N)$이고 이를 다시 원래의 식에 대입하면, 풀어야 하는 방정식은 다음과 같다: | |
| $$-\frac{p}{p!} \sum_{kl} J_{ikl} \sigma_k \sigma_l - p \frac{1}{N} H(\sigma) \sigma_i = 0.$$ | |
| 에너지 밀도를 $H(\sigma)/N = \varepsilon$으로 고정한다면 | |
| $$-\frac{p}{p!} \sum_{kl} J_{ikl} \sigma_k \sigma_l - p \varepsilon \sigma_i = 0.$$ | |
| 마찬가지로 헤세 행렬의 원소를 구면 조건을 포함해 적으면 아래와 같다: | |
| $$\mathcal{H}_{ki} \equiv \frac{\partial^2 H}{\partial \sigma_k \partial \sigma_i} = - \frac{p(p-1)}{p!} \sum_l J_{ikl} \sigma_l - p\varepsilon \delta_{ik}.$$ | |
| 정리하면, 복잡도를 구하기 위해 먼저 다음의 식을 계산하고: | |
| $$\mathcal{N}(\varepsilon) \approx \int D\sigma \prod_i \delta\left(-\frac{p}{p!} \sum_{kl} J_{ikl} \sigma_k \sigma_l - p\varepsilon \sigma_i \right) \det \left( - \frac{p(p-1)}{p!} \sum_l J_{ikl} \sigma_l - p\varepsilon \delta_{ik} \right)$$ | |
| 이어 다음의 식에 대입한다: | |
| $$\Sigma(\varepsilon) = \lim_{N\to\infty} \frac{1}{N} \ln \mathcal{N}(\varepsilon).$$ | |
| */ | |
| | |
| [[수학:디락_델타_함수|디락 델타 함수]]의 적분 표현을 도입하고 | |
| $$\prod_i \delta(X_i) = \int \frac{D\lambda}{(2\pi)^N} \exp\left( -i \sum_{i=1}^N \lambda_i X_i \right)$$ | |
| $$\delta\left( Nf_\text{TAP} - Nf \right) = \int \frac{d\omega}{2\pi} \exp\left[ -i \omega N(f_\text{TAP} - f) \right]$$ | |
| [[수학:행렬식|행렬식]]의 계산은 $\{\bar{\psi}_i, \psi_i\} = 0$을 만족하는 [[수학:그라스만_대수|그라스만 변수]]의 [[수학:허바드-스트라토노비치_변환|적분 표현]]으로 나타낸다: | [[수학:행렬식|행렬식]]의 계산은 $\{\bar{\psi}_i, \psi_i\} = 0$을 만족하는 [[수학:그라스만_대수|그라스만 변수]]의 [[수학:허바드-스트라토노비치_변환|적분 표현]]으로 나타낸다: |
| $$\det A = \int D\bar{\psi} D\psi \exp\left( -\sum_{ik}^N \bar{\psi}_i A_{ik} \psi_k \right).$$ | $$\det A = \int D\bar{\psi} D\psi \exp\left( -\sum_{ik}^N \bar{\psi}_i A_{ik} \psi_k \right).$$ |
| \end{eqnarray*} | \end{eqnarray*} |
| 로서 작용 $\mathcal{S}_J$는 다음처럼 정의된다: | 로서 작용 $\mathcal{S}_J$는 다음처럼 정의된다: |
| $$\mathcal{S}_J (m,\lambda,\bar{\psi},\psi, \omega) \equiv \sum_{k=1}^N i \lambda_k \mathcal{T}_k + \sum_{j,k=1}^N \bar{\psi}_j \mathcal{A}_{jk} \psi_k + i\omega N\left( f_\text{TAP} - f \right).$$ | $$\mathcal{S}_J (m,\lambda,\bar{\psi},\psi, \omega) \equiv \sum_{k=1}^N I \lambda_k \mathcal{T}_k + \sum_{j,k=1}^N \bar{\psi}_j \mathcal{A}_{jk} \psi_k + I\omega N\left( f_\text{TAP} - f \right).$$ |
| |
| 우리는 $\mathcal{N}$ 자체가 아니라 $\ln \mathcal{N}$의 무작위 평균을 취해야 하므로 복제 방법을 사용하도록 한다. 복제본의 수는 $n$개이고, 복제본을 가리키기 위한 인덱스는 $a=1,\ldots,n$이다. 복제본까지 포함하여 전체 작용을 적으면 | 우리는 $\mathcal{N}$ 자체가 아니라 $\ln \mathcal{N}$의 무작위 평균을 취해야 하므로 복제 방법을 사용하도록 한다. 복제본의 수는 $n$개이고, 복제본을 가리키기 위한 인덱스는 $a=1,\ldots,n$이다. 복제본까지 포함하여 전체 작용을 적으면 |
| $$\tilde{\mathcal{S}}_J = \sum_{a=1}^n \left\{ \sum_{k=1}^N i \lambda^a_k \mathcal{T}_k \left(m^a\right) + \sum_{j,k=1}^N \bar{\psi}^a_j \mathcal{A}_{jk}\left(m^a\right) \psi^a_k + i\omega^a N\left[ f_\text{TAP} \left(m^a\right) - f \right] \right\}.$$ | $$\tilde{\mathcal{S}}_J = \sum_{a=1}^n \left\{ \sum_{k=1}^N I \lambda^a_k \mathcal{T}_k \left(m^a\right) + \sum_{j,k=1}^N \bar{\psi}^a_j \mathcal{A}_{jk}\left(m^a\right) \psi^a_k + I\omega^a N\left[ f_\text{TAP} \left(m^a\right) - f \right] \right\}.$$ |
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| ====베키-루에-스토라-튜틴(Becchi-Rouet-Stora-Tyutin, BRST) 대칭성==== | ====BRST 대칭성==== |
| 어떤 [[수학:그라스만_대수|그라스만 변수]] $\epsilon$이 있다고 했을 때, 위의 작용 $\mathcal{S}$에 다음과 같은 변환을 취하고 | 어떤 [[수학:그라스만_대수|그라스만 변수]] $\epsilon$이 있다고 했을 때, 위의 작용 $\mathcal{S}$에 다음과 같은 변환을 취하고 |
| \begin{eqnarray*} | \begin{eqnarray*} |
| m_i &\to& m_i + \epsilon \psi_i\\ | m_i &\to& m_i + \epsilon \psi_i\\ |
| \bar{\psi}_i &\to& \bar{\psi}_i - i\epsilon \lambda_i\\ | \bar{\psi}_i &\to& \bar{\psi}_i - I\epsilon \lambda_i\\ |
| \lambda_i &\to& \lambda_i - \omega \epsilon \psi_i\\ | \lambda_i &\to& \lambda_i - \omega \epsilon \psi_i\\ |
| \psi_i &\to& \psi_i\\ | \psi_i &\to& \psi_i\\ |
| 이 변환에 따른 $\mathcal{S}$의 변화량을 적어보자: | 이 변환에 따른 $\mathcal{S}$의 변화량을 적어보자: |
| \begin{eqnarray*} | \begin{eqnarray*} |
| \delta S &=& \sum_k \left(i \delta \lambda_k \mathcal{T}_k + i\lambda_k \delta \mathcal{T}_k\right) + \sum_{jk} \left( \delta\bar{\psi}_j \mathcal{A}_{jk} \psi_k + \bar{\psi}_j \delta \mathcal{A}_{jk} \psi_k \right) + i\omega N\delta f_\text{TAP}\\ | \delta S &=& \sum_k \left(I \delta \lambda_k \mathcal{T}_k + I\lambda_k \delta \mathcal{T}_k\right) + \sum_{jk} \left( \delta\bar{\psi}_j \mathcal{A}_{jk} \psi_k + \bar{\psi}_j \delta \mathcal{A}_{jk} \psi_k \right) + I\omega N\delta f_\text{TAP}\\ |
| &=& \sum_k \left(-i\omega \epsilon \psi_k \mathcal{T}_k + i\lambda_k \delta \mathcal{T}_k\right) + \sum_{jk} \left( -i\epsilon \lambda_j \mathcal{A}_{jk} \psi_k + \bar{\psi}_j \delta \mathcal{A}_{jk} \psi_k \right) + i\omega N\delta f_\text{TAP}\\ | &=& \sum_k \left(-I\omega \epsilon \psi_k \mathcal{T}_k + I\lambda_k \delta \mathcal{T}_k\right) + \sum_{jk} \left( -i\epsilon \lambda_j \mathcal{A}_{jk} \psi_k + \bar{\psi}_j \delta \mathcal{A}_{jk} \psi_k \right) + I\omega N\delta f_\text{TAP}\\ |
| &=& \sum_k \left(-i\omega \epsilon \psi_k \mathcal{T}_k + i\lambda_k \sum_l \mathcal{A}_{kl} \epsilon \psi_l \right) + \sum_{jk} \left( -i\epsilon \lambda_j \mathcal{A}_{jk} \psi_k + \bar{\psi}_j \delta \mathcal{A}_{jk} \psi_k \right) + i\omega \sum_k \mathcal{T}_k \epsilon \psi_k. | &=& \sum_k \left(-I\omega \epsilon \psi_k \mathcal{T}_k + I\lambda_k \sum_l \mathcal{A}_{kl} \epsilon \psi_l \right) + \sum_{jk} \left( -i\epsilon \lambda_j \mathcal{A}_{jk} \psi_k + \bar{\psi}_j \delta \mathcal{A}_{jk} \psi_k \right) + I\omega \sum_k \mathcal{T}_k \epsilon \psi_k. |
| \end{eqnarray*} | \end{eqnarray*} |
| 이때 $\delta \mathcal{A}_{jk} = \sum_l \left(\partial \mathcal{A}_{jk}/\partial m_l\right) \epsilon \psi_l$ | 이때 $\delta \mathcal{A}_{jk} = \sum_l \left(\partial \mathcal{A}_{jk}/\partial m_l\right) \epsilon \psi_l$ |
| 이므로 | 이므로 |
| $$\sum_k \delta \mathcal{A}_{jk} \psi_k = \sum_{kl} \frac{\partial \mathcal{A}_{jk}}{\partial m_l} \epsilon \psi_l \psi_k$$ | $$\sum_k \delta \mathcal{A}_{jk} \psi_k = \sum_{kl} \frac{\partial \mathcal{A}_{jk}}{\partial m_l} \epsilon \psi_l \psi_k$$ |
| 인데, $\left(\partial \mathcal{A}_{jk}/\partial m_l \right) \psi_l \psi_k = \left(\partial \mathcal{A}_{jl}/\partial m_k \right) \psi_l \psi_k = -\left(\partial \mathcal{A}_{jl}/\partial m_k \right) \psi_k \psi_l$이므로 $\sum_{jk} \bar{\psi}_j \delta \mathcal{A}_{jk} \psi_k = 0$이다. 나머지 항들은 서로 상쇄되므로 $\delta \mathcal{S} = 0$으로서, 결론적으로 작용 $\mathcal{S}$는 위 변환에 대해 불변량이다. 복제본들을 포함한 $\tilde{\mathcal{S}}$을 생각하면, 각 복제본마다 위 변환을 취했을 때에 마찬가지로 불변량이다. | 인데, $\left(\partial \mathcal{A}_{jk}/\partial m_l \right) \psi_l \psi_k = \left(\partial \mathcal{A}_{jl}/\partial m_k \right) \psi_l \psi_k = -\left(\partial \mathcal{A}_{jl}/\partial m_k \right) \psi_k \psi_l$이므로 $\sum_{jk} \bar{\psi}_j \delta \mathcal{A}_{jk} \psi_k = 0$이다. 나머지 항들은 서로 상쇄되므로 $\delta \mathcal{S} = 0$으로서, 결론적으로 작용 $\mathcal{S}$는 위 변환에 대해 불변량이다. 복제본들을 포함한 $\tilde{\mathcal{S}}$을 생각하면, 각 복제본마다 위 변환을 취했을 때에 마찬가지로 불변량이다. 이는 베키-루에-스토라-튜틴(Becchi-Rouet-Stora-Tyutin, BRST) 대칭성의 한 예이다. |
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| 이제 연산자 $O \equiv m^b \bar{\psi}^a = \sum_k m^b_k \bar{\psi}^a_k$를 생각하고 위 변환을 취해보면, 작용이 불변하므로 대칭성이 자발적으로 깨지지 않는 한 연산자의 기댓값 역시 변하지 않을 것이다: | 이제 연산자 $O \equiv m^b \bar{\psi}^a = \sum_k m^b_k \bar{\psi}^a_k$를 생각하고 위 변환을 취해보면, 작용이 불변하므로 대칭성이 자발적으로 깨지지 않는 한 연산자의 기댓값 역시 변하지 않을 것이다: |
| $0 = \langle \delta O \rangle = \langle \epsilon \psi^b \bar{\psi}^a \rangle + \langle m^b (-\epsilon \lambda^a) \rangle$. | $0 = \langle \delta O \rangle = \langle \epsilon \psi^b \bar{\psi}^a \rangle + \langle m^b (-I\epsilon \lambda^a) \rangle$. |
| 따라서 $$\langle \psi^b \bar{\psi}^a \rangle = - \langle \bar{\psi}^a \psi^b \rangle = \langle m^b \lambda^a \rangle.$$ | 따라서 |
| 이번에는 $O \equiv \lambda^b \bar{\psi}^a$로 놓으면, $0 = \langle \delta O \rangle = \langle (-\omega^b \epsilon \psi^b) \bar{\psi}^a \rangle + \langle \lambda^b (-\epsilon \lambda^a) \rangle$로부터 | $$\langle \psi^b \bar{\psi}^a \rangle = - \langle \bar{\psi}^a \psi^b \rangle = I\langle m^b \lambda^a \rangle.$$ |
| $$\langle \omega^b \bar{\psi}^a \psi^b \rangle = \langle \lambda^a \lambda^b \rangle.$$ | 이번에는 $O \equiv \lambda^b \bar{\psi}^a$로 놓으면, $0 = \langle \delta O \rangle = \langle (-\omega^b \epsilon \psi^b) \bar{\psi}^a \rangle + \langle \lambda^b (-I\epsilon \lambda^a) \rangle$로부터 |
| | $$\langle \omega^b \bar{\psi}^a \psi^b \rangle = I\langle \lambda^a \lambda^b \rangle.$$ |
| 앞으로 복제본에 상관없이 $\omega^b = \omega$라고 놓도록 하자. | 앞으로 복제본에 상관없이 $\omega^b = \omega$라고 놓도록 하자. |
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| | ====무작위 평균==== |
| | ===리거(1992), 그리고 크리산티와 좀머스(1995)의 계산=== |
| | ++++보기| |
| | ==개요== |
| | 여기에서는 $q$를 $m_i$들과 독립적인 변수로 취급하고 나중에 [[수학:디락_델타_함수|디락 델타 함수]]로써 $q = N^{-1}\sum_i m_i^2$의 제약을 둔다. |
| | $\rho \equiv \beta^2 p(p-1) q^{p-2}$이고 |
| | $\zeta \equiv 1/(1-q) + (1-q) \rho/2$로 정의할 때 [[물리:tap_방정식|TAP 방정식]]을 다음처럼 적게 되며, |
| | $$\mathcal{T}_i = \zeta m_i - \frac{\beta}{(p-1)!} \sum_{k_2, \ldots, k_p} J_{i k_2 \ldots k_p} m_{k_2} \cdots m_{k_p} = 0$$ |
| | 헤세 행렬의 원소는 이렇게 주어진다: |
| | $$\mathcal{H}_{ij} = \frac{\partial \mathcal{T}_i}{\partial m_j} = \zeta \delta_{ij} - \frac{\beta}{(p-2)!} \sum_{k_3, \ldots, k_p} J_{ijk_3 \ldots k_p} m_{k_3} \cdots m_{k_p}.$$ |
| | 위에서 논의한 것처럼 행렬식 $\det \mathcal{H}$의 부호가 언제나 양수일 거라고 가정하면 해의 개수는 ($I\equiv \sqrt{-1}$) |
| | \begin{eqnarray*} |
| | \mathcal{N} &\approx& N\int_0^1 dq \int \prod_i dm_i \delta\left(Nq - \sum_i m_i^2 \right) \prod_i \delta\left(\mathcal{T}_i\right) \det \mathcal{H}\\ |
| | &=& N\int \frac{dq ~d\hat{q}}{2\pi} \int \left( \prod_i \frac{dm_i d\hat{m}_i}{2\pi}\right) \exp\left[I\hat{q} \left(Nq - \sum_i m_i^2 \right) \right] \exp \left[ I\zeta \sum_i \hat{m}_i m_i - \frac{I\beta}{(p-1)!} \sum_{i,k_2, \ldots, k_p} J_{i k_2 \ldots k_p} \hat{m}_i m_{k_2} \cdots m_{k_p}\right] \det \mathcal{H}.\\ |
| | \end{eqnarray*} |
| | $\mathcal{N}$에 대해 곧바로 무작위 평균을 취하도록 하자. 지수 함수뿐만 아니라 $\det \mathcal{H}$에도 $J_{ijk_3\ldots k_p}$가 포함되어 있지만, 평균을 취하는 과정에서 생겨나는 교차항을 무시하면 아래처럼 따로 평균을 취한 후 곱할 수 있다: |
| | \begin{eqnarray*} |
| | \langle \mathcal{N} \rangle &\approx& N\int \frac{dq ~d\hat{q}}{2\pi} \int \left(\prod_i \frac{dm_i d\hat{m}_i}{2\pi}\right) \exp\left[I\zeta \sum_i \hat{m}_i m_i + I\hat{q} \left(Nq - \sum_i m_i^2 \right) \right] \Biggl< \exp \left[- \frac{I\beta}{(p-1)!} \sum_{i,k_2, \ldots, k_p} J_{i k_2 \ldots k_p} \hat{m}_i m_{k_2} \cdots m_{k_p}\right] \Biggr> |
| | \langle \det \mathcal{H} \rangle.\\ |
| | \end{eqnarray*} |
| | |
| | ==지수 함수의 평균== |
| | 이 중에서 앞의 평균은 다음처럼 계산되고 |
| | \begin{eqnarray*} |
| | \prod_{k_1, \ldots, k_p} \Biggl< \exp \left[- \frac{I \beta}{(p-1)!} J_{k_1 k_2 \ldots k_p} \hat{m}_{k_1} m_{k_2} \cdots m_{k_p}\right] \Biggr> |
| | &\approx& \prod_{k_1 < \ldots< k_p} \Biggl< \exp \left[- \frac{I \beta}{(p-1)!} J_{k_1 k_2 \ldots k_p} \sum_{\pi} \hat{m}_{\pi(k_1)} m_{\pi(k_2)} \cdots m_{\pi(k_p)}\right] \Biggr>\\ |
| | &=& \prod_{k_1< \ldots<k_p} \exp \left\{ -\frac{\beta^2 p!}{4N^{p-1}} \left[ \frac{1}{(p-1)!} \sum_{\pi} \hat{m}_{\pi(k_1)} m_{\pi(k_2)} \cdots m_{\pi(k_p)} \right]^2 \right\}\\ |
| | \end{eqnarray*} |
| | 여기서 $\sum_\pi$는 모든 순열(permutation)에 대한 합을 의미한다. 예를 들어 $N=3$이고 $p=2$일 때, 인덱스가 겹치는 항들을 무시하면 다음과 같은 것이다: |
| | $$\sum_{i,j=1}^N a_{ij} = a_{11} + a_{12} + a_{13} + a_{21} + a_{22} + a_{23} + a_{31} + a_{32} + a_{33} \approx a_{12} + a_{21} + a_{13} + a_{31} + a_{23} + a_{32} = \sum_{i<j} \sum_\pi a_{\pi(i)\pi(j)}.$$ |
| | 지수 함수 안의 제곱항을 전개해보자. 이 계산에서는 $p$개의 인덱스 $k_1, \ldots, k_p$를 크기 순서대로 뽑고 그것들을 $\pi_1$으로 뒤섞은 항들의 합과 $\pi_2$로 뒤섞은 항들의 합을 곱하는데, 이를 $k_1, \ldots, k_p$을 선택하는 모든 경우에 대해 다시 합하는 것이다. 전체 항들 중에서 $\pi_1(k_1) = \pi_2(k_2)$인 경우들을 모아서 $\Gamma_1$, 그리고 $\pi_1(k_1) \neq \pi_2(k_2)$인 나머지 경우들을 모아서 $\Gamma_2$로 적자: |
| | \begin{eqnarray*} |
| | \sum_{k_1< \ldots<k_p} \left( \sum_{\pi} \hat{m}_{\pi(k_1)} m_{\pi(k_2)} \cdots m_{\pi(k_p)} \right)^2 &=& |
| | \sum_{k_1< \ldots<k_p} \left( \sum_{\pi_1} \hat{m}_{\pi_1(k_1)} m_{\pi_1(k_2)} \cdots m_{\pi_1(k_p)} \right) \left( \sum_{\pi_2} \hat{m}_{\pi_2(k_1)} m_{\pi_2(k_2)} \cdots m_{\pi_2(k_p)} \right) = \Gamma_1 + \Gamma_2. |
| | \end{eqnarray*} |
| | 대각항들을 포함하는 $\Gamma_1$을 계산한다. 먼저 $q = N^{-1} \sum_{i=1}^N m_i^2$이므로 하나의 $m_i^2$마다 대략 $q$만큼을 기여한다고 하자. $\hat{m}$의 인덱스가 고정되면 $\pi_1$과 $\pi_2$ 각각이 $(p-1)!$개의 경우의 수를 만들어내는데 곱셈에서 순서는 중요하지 않고 모두 같은 결과를 주므로 $\Gamma_1 \propto (p-1)!^2 q^{p-1} \hat{m}_{\pi_1(k_1)}^2$이다. 계산을 다 끝내고 나면 각 $\hat{m}_i^2$은 $i$마다 공평하게 같은 횟수만큼 등장할 것이다. 그 횟수를 세어보면, 결국 $N$개의 인덱스들 중에서 $k_2<\ldots<k_p$가 되게끔 $(p-1)$개를 추출하여 $\hat{m}_i=\hat{m}_{\pi_1(k_1)}$에 곱하는 데서 오는 것이므로 대략 $N^{p-1}/(p-1)!$번이다 ($N\gg p$). 예를 들어 |
| | $\left(\hat{m}_1 m_2 m_3 + \hat{m}_1 m_3 m_2 + \hat{m}_2 m_1 m_3 + \hat{m}_2 m_3 m_1 + \hat{m}_3 m_1 m_2 + \hat{m}_3 m_2 m_1 \right)^2$에서 $\hat{m}_1^2 m_2^2 m_3^2$이 $(p-1)!^2=4$개가 나오고 이 계산을 $\left(\hat{m}_1 m_2 m_4 + \hat{m}_1 m_4 m_2 + \hat{m}_2 m_1 m_4 + \hat{m}_2 m_4 m_1 + \hat{m}_4 m_1 m_2 + \hat{m}_4 m_2 m_1 \right)^2$, $\left(\hat{m}_1 m_3 m_4 + \hat{m}_1 m_3 m_4 + \hat{m}_3 m_1 m_4 + \hat{m}_3 m_4 m_1 + \hat{m}_4 m_1 m_3 + \hat{m}_4 m_3 m_1 \right)^2$ 등에 대해 반복하며 $4 \hat{m}_1^2 m_2^2 m_4^2 \approx (p-1)!^2 q^{p-1} \hat{m}_1^2$, 그리고 $4\hat{m}_1^2 m_3^2 m_4^2 \approx (p-1)!^2 q^{p-1} \hat{m}_1^2$ 등을 계속 모아나가는 셈이다. |
| | 따라서 |
| | $$\Gamma_1 = (p-1)! N^{p-1} q^{p-1} \sum_{i=1}^N \hat{m}_i^2.$$ |
| | 교차항들을 포함하는 $\Gamma_2$의 계산에서는 $\pi_1(k_1) \neq \pi_2(k_2)$인 항들을 곱해보면 $\hat{m}_{\pi_1(k_1)} m_{\pi_1(k_2)} \hat{m}_{\pi_1(k_2)} m_{\pi_1(k_1)}$의 꼴을 포함하는 항들이 등장한다. 앞에서와 마찬가지로 조합에 의해 동일한 항들이 $(p-1)!^2$개 나오는데, 교차항의 특성상 곱의 앞뒤 순서에 따라 다시 2개씩이 나오므로 $\Gamma_2 \propto 2(p-1)!^2 q^{p-2} \hat{m}_{\pi_1(k_1)} m_{\pi_1(k_2)} \hat{m}_{\pi_1(k_2)} m_{\pi_1(k_1)}$임을 알 수 있다. 이제 특정한 $\hat{m}_i m_i \hat{m}_j m_j$가 $\Gamma_2$ 안에 등장하는 횟수를 세어야 한다(곱의 앞뒤 순서를 이미 고려해서 결과가 같은 항들을 모두 합했으므로 중복 셈을 피하기 위해 $i<j$라고 하자). 위와 마찬가지의 논법으로 그 수는 $N\gg p$일 때 대략 $N^{p-2}/(p-2)!$이다. 앞의 예로 돌아가면 |
| | $\left(\hat{m}_1 m_2 m_3 + \hat{m}_1 m_3 m_2 + \hat{m}_2 m_1 m_3 + \hat{m}_2 m_3 m_1 + \hat{m}_3 m_1 m_2 + \hat{m}_3 m_2 m_1 \right)^2$에서 $\hat{m}_1 m_1 \hat{m}_2 m_2 m_3^2$이 $2(p-1)!^2=8$개가 나오고 이 계산을 $\left(\hat{m}_1 m_2 m_4 + \hat{m}_1 m_4 m_2 + \hat{m}_2 m_1 m_4 + \hat{m}_2 m_4 m_1 + \hat{m}_4 m_1 m_2 + \hat{m}_4 m_2 m_1 \right)^2$ 등에 대해 반복하며 $8 \hat{m}_1 m_1 \hat{m}_2 m_2 m_4^2 \approx 2(p-1)!^2 q^{p-2}\hat{m}_1 m_1 \hat{m}_2 m_2$ 등을 계속 모아나가는 셈이다. |
| | 따라서 |
| | $$\Gamma_2 = 2(p-1)!^2 \frac{N^{p-2}}{(p-2)!} q^{p-2} \sum_{i=1}^N \sum_{j>i}^N \hat{m}_i m_i \hat{m}_j m_j \approx (p-1)! (p-1) q^{p-2} N^{p-2} \left(\sum_{i=1}^N \hat{m}_i m_i \right)^2.$$ |
| | 이제 이 결과들을 앞의 식에 대입하면 |
| | \begin{eqnarray*} |
| | \langle \mathcal{N} \rangle &\approx& N\int \frac{dq ~d\hat{q}}{2\pi} \int \left(\prod_{i=1}^N \frac{dm_i d\hat{m}_i}{2\pi}\right) \exp\left[I\zeta \sum_{i=1}^N \hat{m}_i m_i + I\hat{q} \left(Nq - \sum_{i=1}^N m_i^2 \right) \right] \exp \left[ -\frac{\beta^2 p!}{4N^{p-1}} \frac{1}{(p-1)!^2} \left( \Gamma_1 + \Gamma_2 \right) \right] |
| | \langle \det \mathcal{H} \rangle\\ |
| | &=& N\int \frac{dq ~d\hat{q}}{2\pi} \int \left(\prod_{i=1}^N \frac{dm_i d\hat{m}_i}{2\pi}\right) \exp\left[I\zeta \sum_{i=1}^N \hat{m}_i m_i + I\hat{q} \left(Nq - \sum_{i=1}^N m_i^2 \right) -\frac{\beta^2 p q^{p-1}}{4} \sum_{i=1}^N \hat{m}_i^2 -\frac{\rho}{4N} \left(\sum_{i=1}^N \hat{m}_i m_i \right)^2 \right] |
| | \langle \det \mathcal{H} \rangle\\ |
| | &\propto& \int dy \int \frac{dq ~d\hat{q}}{2\pi} \int \left(\prod_{i=1}^N \frac{dm_i d\hat{m}_i}{2\pi}\right) \exp\left[I\zeta \sum_{i=1}^N \hat{m}_i m_i + I\hat{q} \left(Nq - \sum_{i=1}^N m_i^2 \right) -\frac{\beta^2 p q^{p-1}}{4} \sum_{i=1}^N \hat{m}_i^2 + Iy\sum_i m_i \hat{m}_i -\frac{Ny^2}{\rho} \right] |
| | \langle \det \mathcal{H} \rangle. |
| | \end{eqnarray*} |
| | 중간에 [[수학:허바드-스트라토노비치_변환|허바드-스트라토노비치 변환]]을 사용하여 변수 $y$를 도입했다. |
| | |
| | ==행렬식의 평균== |
| | 다른 한편으로, 행렬식 부분은 [[수학:윅의_정리|다차원 가우스 함수의 적분]]을 활용해서 다음의 표현식을 사용한다: |
| | $$\det \mathcal{H} = \lim_{n\to -2} \int \left(\prod_{i=1}^N \prod_{\alpha=1}^n \frac{d\xi_{i\alpha}}{\sqrt{2\pi}}\right) \exp\left(-\frac12 \sum_{i\alpha} \xi_{i\alpha} \mathcal{H}_{ij} \xi_{j\alpha} \right).$$ |
| | \begin{eqnarray*} |
| | \Biggl< \int \left(\prod_{i,\alpha} \frac{d\xi_{i\alpha}}{\sqrt{2\pi}}\right) \exp\left(-\frac12 \sum_{i\alpha} \xi_i^\alpha \mathcal{H}_{ij} \xi_j^\alpha \right) \Biggr> &=& |
| | \Biggl< \int \left(\prod_{i,\alpha} \frac{d\xi_{i\alpha}}{\sqrt{2\pi}}\right) \exp\left[-\frac12 \zeta \sum_{i\alpha} \xi_{i\alpha}^2 + \frac{\beta}{2(p-2)!} \sum_\alpha \sum_{i_1,\ldots,i_p} J_{i_1\ldots i_p} \xi_{i_1\alpha} \xi_{i_2\alpha} m_{i_3} \cdots m_{i_p} \right] \Biggr>\\ |
| | &=& \int \left(\prod_{i,\alpha} \frac{d\xi_{i\alpha}}{\sqrt{2\pi}}\right) \exp\left(-\frac12 \zeta \sum_{i\alpha} \xi_{i\alpha}^2 \right) \Biggl< \exp\left[ \frac{\beta}{2(p-2)!} \sum_\alpha \sum_{i_1,\ldots,i_p} J_{i_1\ldots i_p} \xi_{i_1\alpha} \xi_{i_2\alpha} m_{i_3} \cdots m_{i_p} \right] \Biggr>\\ |
| | &=& \int \left(\prod_{i,\alpha} \frac{d\xi_{i\alpha}}{\sqrt{2\pi}}\right) \exp\left(-\frac12 \zeta \sum_{i\alpha} \xi_{i\alpha}^2 \right) \prod_{i_1,\ldots,i_p} \Biggl< \exp\left[ \frac{\beta}{2(p-2)!} J_{i_1\ldots i_p} \sum_\alpha \xi_{i_1\alpha} \xi_{i_2\alpha} m_{i_3} \cdots m_{i_p} \right] \Biggr>\\ |
| | &=& \int \left(\prod_{i,\alpha} \frac{d\xi_{i\alpha}}{\sqrt{2\pi}}\right) \exp\left(-\frac12 \zeta \sum_{i\alpha} \xi_{i\alpha}^2 \right) \prod_{i_1<\ldots<i_p} \Biggl< \exp\left[ \frac{\beta}{2(p-2)!} J_{i_1\ldots i_p} \sum_{\pi} \sum_{\alpha} \xi_{\pi(i_1)\alpha} \xi_{\pi(i_2)\alpha} m_{\pi(i_3)} \cdots m_{\pi(i_p)} \right] \Biggr>\\ |
| | &=& \int \left(\prod_{i,\alpha} \frac{d\xi_{i\alpha}}{\sqrt{2\pi}}\right) \exp\left(-\frac12 \zeta \sum_{i\alpha} \xi_{i\alpha}^2 \right) \prod_{i_1<\ldots<i_p} \exp\left\{ \frac{p!}{4N^{p-1}} \left[ \frac{\beta}{2(p-2)!} \sum_{\pi} \sum_{\alpha} \xi_{\pi(i_1)\alpha} \xi_{\pi(i_2)\alpha} m_{\pi(i_3)} \cdots m_{\pi(i_p)} \right]^2 \right\}. |
| | \end{eqnarray*} |
| | 여기에서도 지수 함수 안의 제곱 항을 다음처럼 전개했을 때 아래처럼 세 부분으로 나누어 쓸 수 있는데 |
| | \begin{eqnarray*} |
| | \sum_{i_1<\ldots<i_p} \left[ \sum_{\pi} \sum_{\alpha} \xi_{\pi(i_1)\alpha} \xi_{\pi(i_2)\alpha} m_{\pi(i_3)} \cdots m_{\pi(i_p)} \right]^2 &=& |
| | \sum_{i_1<\ldots<i_p} \left[ \sum_{\pi_1} \sum_{\alpha} \xi_{\pi_1(i_1)\alpha} \xi_{\pi_1(i_2)\alpha} m_{\pi_1(i_3)} \cdots m_{\pi_1(i_p)} \right] |
| | \left[ \sum_{\pi_2} \sum_{\gamma} \xi_{\pi_2(i_1)\gamma} \xi_{\pi_2(i_2)\gamma} m_{\pi_2(i_3)} \cdots m_{\pi_2(i_p)} \right] = \Omega_1 + \Omega_2 + \Omega_3, |
| | \end{eqnarray*} |
| | 먼저 $\pi_1(i_1)=\pi_2(i_1)$이면서 동시에 $\pi_1(i_2)=\pi_2(i_2)$인 부분의 기여가 $\Omega_1$, 둘 중 하나만 일치하는 경우가 $\Omega_2$, 둘 모두 불일치하는 경우가 $\Omega_3$이다. 이 중 $N\to\infty$에서는 $\Omega_1$이 가장 주된 기여를 하는데, $N=5$이고 $p=4$인 예를 생각해본다면 이런 항들을 얻게 될 것이다: |
| | \begin{eqnarray*} |
| | \Omega_1 &=& \left(\sum_\alpha \xi_{1\alpha} \xi_{2\alpha} m_3 m_4 + \xi_{1\alpha} \xi_{2\alpha} m_4 m_3 + \xi_{2\alpha} \xi_{1\alpha} m_3 m_4 + \xi_{2\alpha} \xi_{1\alpha} m_4 m_3 + \ldots\right) \left(\sum_\gamma \xi_{1\gamma} \xi_{2\gamma} m_3 m_4 + \xi_{1\gamma} \xi_{2\gamma} m_4 m_3 + \xi_{2\gamma} \xi_{1\gamma} m_3 m_4 + \xi_{2\gamma} \xi_{1\gamma} m_4 m_3 + \ldots\right) + \ldots\\ |
| | &=& \xi_{1\alpha}\xi_{2\alpha}\xi_{1\gamma}\xi_{2\gamma} \left[2(p-2)!\right]^2 \left(m_3^2 m_4^2 + m_3^2 m_5^2 + m_4^2 m_5^2 \right) + \xi_{1\alpha}\xi_{3\alpha}\xi_{1\gamma}\xi_{3\gamma} \left[2(p-2)!\right]^2 \left(m_2^2 m_4^2 + m_2^2 m_5^2 + m_4^2 m_5^2 \right) + \ldots |
| | \end{eqnarray*} |
| | 두 번째 줄에서 하나의 $(\ldots)$ 안에는 대략 $N^{p-2}/(p-2)!$ 개의 항들이 더해져 있고 각각의 항들이 $q^{p-2}$의 크기이므로 |
| | \begin{eqnarray*} |
| | \Omega_1 &=& \sum_{\alpha\gamma} \sum_{i<j} \xi_{i\alpha}\xi_{i\gamma}\xi_{j\alpha}\xi_{j\gamma} \left[2(p-2)!\right]^2 q^{p-2} \frac{N^{p-2}}{(p-2)!} \approx 2(p-2)! q^{p-2} N^p \left(\frac{1}{N} \sum_i \xi_{i\alpha}\xi_{i\gamma} \right)^2. |
| | \end{eqnarray*} |
| | 따라서 |
| | \begin{eqnarray*} |
| | \langle \det \mathcal{H} \rangle &\approx& \lim_{n\to -2} \int \left(\prod_{i,\alpha} \frac{d\xi_{i\alpha}}{\sqrt{2\pi}}\right) \exp\left(-\frac12 \zeta \sum_{i\alpha} \xi_{i\alpha}^2 \right) \exp\left[ \frac{\beta^2 p!}{16N^{p-1} [(p-2)!]^2} 2(p-2)! q^{p-2} N^p \sum_{\alpha\gamma} \left( \frac{1}{N} \sum_i \xi_{i\alpha}\xi_{i\gamma} \right)^2 \right]\\ |
| | &=& \lim_{n\to -2} \int \left(\prod_{i,\alpha} \frac{d\xi_{i\alpha}}{\sqrt{2\pi}}\right) \exp\left(-\frac12 \zeta \sum_{i\alpha} \xi_{i\alpha}^2 \right) \exp\left[ \frac{1}{8} N\rho \sum_{\alpha\gamma} \left( \frac{1}{N} \sum_i \xi_{i\alpha}\xi_{i\gamma} \right)^2 \right]\\ |
| | &\propto& \lim_{n\to -2} \int \left(\prod_{\alpha\gamma} dw_{\alpha\gamma}\right) \int \left(\prod_{i,\alpha} \frac{d\xi_{i\alpha}}{\sqrt{2\pi}}\right) \exp\left(-\frac12 \zeta \sum_{i\alpha} \xi_{i\alpha}^2 - N\sum_{\alpha\gamma} \frac{w_{\alpha\gamma}^2}{2\rho} + \frac12 \sum_{\alpha\gamma} \sum_i w_{\alpha\gamma} \xi_{i\alpha}\xi_{i\gamma} \right). |
| | \end{eqnarray*} |
| | 마지막 줄에서 [[수학:허바드-스트라토노비치_변환|허바드-스트라토노비치 변환]]으로 변수 $w_{\alpha\gamma}$를 도입했다. 만일 $w_{\alpha\gamma} = w\delta_{\alpha\gamma}$라면, |
| | \begin{eqnarray*} |
| | \langle \det \mathcal{H} \rangle &\propto& \lim_{n\to -2} \int dw \int \left(\prod_{i,\alpha} \frac{d\xi_{i\alpha}}{\sqrt{2\pi}}\right) \exp\left(-\frac12 \zeta \sum_{i\alpha} \xi_{i\alpha}^2 - N\sum_{\alpha} \frac{w^2}{2\rho} + \frac12 \sum_{i\alpha} w \xi_{i\alpha}^2 \right)\\ |
| | &\propto& \lim_{n\to -2} \int dw (\zeta-w)^{-Nn/2} \exp\left( - \frac{Nnw^2}{2\rho} \right)\\ |
| | &=& \int dw (\zeta-w)^N \exp\left(\frac{Nw^2}{\rho} \right)\\ |
| | \end{eqnarray*} |
| |
| /* | /* |
| | 만일 $w_{\alpha\gamma} = w_\alpha \delta_{\alpha\gamma}$라면, |
| \begin{eqnarray*} | \begin{eqnarray*} |
| \delta S &=& ip\varepsilon \sum_i \mu_i \eta \psi_i + i\frac{p}{p!} \sum_{ikl} J_{ikl} \left( \mu_i \sigma_k \eta \psi_l + \mu_i \eta \psi_k \sigma_l + \mu_i \eta \psi_k \eta \psi_l \right) - p\varepsilon \sum_i i\eta \mu_i \psi_i + \frac{p(p-1)}{p!} \sum_{ikl} J_{ikl} \left( -\eta \mu_i \psi_k \sigma_l + \bar{\psi}_i \psi_k \eta \psi_l - \eta \mu_i \psi_k \eta \psi_l \right) | \langle \det \mathcal{H} \rangle &\propto& \lim_{n\to -2} \int \left( \prod_\alpha dw_\alpha \right) \int \left(\prod_{i,\alpha} \frac{d\xi_{i\alpha}}{\sqrt{2\pi}}\right) \exp\left(-\frac12 \zeta \sum_{i\alpha} \xi_{i\alpha}^2 - N\sum_{\alpha} \frac{w_\alpha^2}{2\rho} + \frac12 \sum_{i\alpha} w_\alpha \xi_{i\alpha}^2 \right)\\ |
| | &\propto& \lim_{n\to -2} \prod_\alpha \int dw_\alpha \left(\zeta - w_\alpha\right)^{-N/2} \exp\left( -\frac{Nw_\alpha^2}{2\rho} \right)\\ |
| | &=& \left[ \int dw \left(\zeta - w\right)^{-N/2} \exp\left( -\frac{Nw^2}{2\rho} \right) \right]^{-2}. |
| \end{eqnarray*} | \end{eqnarray*} |
| */ | */ |
| |
| /* | ==결과의 종합== |
| ====무작위 평균==== | |
| ===0-RSB=== | |
| 원래는 $\ln \mathcal{N}$의 평균을 봐야 하겠지만, 일단 $\mathcal{N}(\varepsilon)$에 바로 무작위 평균을 취해보자: | |
| \begin{eqnarray*} | \begin{eqnarray*} |
| \overline{\exp\left[ -\mathcal{S} \right]} &\propto& \exp\left( - ip\varepsilon \sum_i \mu_i \sigma_i -p\varepsilon\sum_i \bar{\psi}_i \psi_i \right) \prod_{i>k>l} \int dJ_{ikl} \exp\left[ -\frac12 J_{ikl}^2 \frac{2N^{p-1}}{p!} - ip J_{ikl} \mu_i \sigma_k \sigma_l - p(p-1) J_{ikl} \bar{\psi}_i \psi_k \sigma_l \right]. | \langle \mathcal{N} \rangle &\propto& \int dy~dw \int \frac{dq ~d\hat{q}}{2\pi} \int \left(\prod_{i=1}^N \frac{dm_i d\hat{m}_i}{2\pi}\right) \exp\left[I\zeta \sum_{i=1}^N \hat{m}_i m_i + I\hat{q} \left(Nq - \sum_{i=1}^N m_i^2 \right) -\frac{\beta^2 pq^{p-1}}{4} \sum_{i=1}^N \hat{m}_i^2 + Iy \sum_{i=1}^N m_i \hat{m}_i -\frac{Ny^2}{\rho} \right] \times \exp\left( \frac{Nw^2}{\rho} \right) (\zeta - w)^N\\ |
| | &\propto& \int dy~dw \int \frac{dq ~d\hat{q}}{2\pi} \exp \left[N \left( I\hat{q}q - \frac{y^2}{\rho} + \frac{w^2}{\rho} \right) \right]\int \left(\prod_{i=1}^N \frac{dm_i d\hat{m}_i}{2\pi}\right) \exp\left[I\zeta \sum_{i=1}^N \hat{m}_i m_i - I\hat{q}\sum_{i=1}^N m_i^2 -\frac{\beta^2 pq^{p-1}}{4} \sum_{i=1}^N \hat{m}_i^2 + Iy\sum_{i=1}^N m_i \hat{m}_i \right] (\zeta - w)^N\\ |
| | &=& \int dy~dw \int \frac{dq ~d\hat{q}}{2\pi} \exp \left[N \left( I\hat{q}q - \frac{y^2}{\rho} + \frac{w^2}{\rho} \right) \right] \left\{ \int \frac{dm ~d\hat{m}}{2\pi} \exp\left[I\zeta \hat{m} m - I\hat{q} m^2 -\frac{\beta^2 pq^{p-1}}{4} \hat{m}^2 + Iy m \hat{m} \right] (\zeta - w) \right\}^N\\ |
| \end{eqnarray*} | \end{eqnarray*} |
| $J_{ikl}$에 대한 평균은 아래처럼 계산되고 | |
| | 다음의 두 변수를 정의하자: |
| \begin{eqnarray*} | \begin{eqnarray*} |
| && \int dJ_{ikl} \exp\left[ -\frac12 J_{ikl}^2 \frac{2N^{p-1}}{p!} - ip J_{ikl} \mu_i \sigma_k \sigma_l - p(p-1) J_{ikl} \bar{\psi}_i \psi_k \sigma_l \right]\\ | B &\equiv& w - \rho(1-q)/2\\ |
| &=& \int dJ_{ikl} \exp\left[ -\frac12 J_{ikl}^2 \frac{2N^{p-1}}{p!} - i J_{ikl} \left( \mu_i \sigma_k \sigma_l + \sigma_i \mu_k \sigma_l + \sigma_i \sigma_k \mu_l \right) - J_{ikl} \left( \bar{\psi}_i \psi_k \sigma_l + \bar{\psi}_i \psi_l \sigma_k + \bar{\psi}_k \psi_i \sigma_l + \bar{\psi}_k \psi_l \sigma_i + \bar{\psi}_l \psi_i \sigma_k + \bar{\psi}_l \psi_k \sigma_i \right) \right]\\ | \Delta &\equiv& y + \rho(1-q)/2. |
| & \propto& \exp\left\{ \frac{p!}{4N^{p-1}} \left[i \left( \mu_i \sigma_k \sigma_l + \sigma_i \mu_k \sigma_l + \sigma_i \sigma_k \mu_l \right) + \left( \bar{\psi}_i \psi_k \sigma_l + \bar{\psi}_i \psi_l \sigma_k + \bar{\psi}_k \psi_i \sigma_l + \bar{\psi}_k \psi_l \sigma_i + \bar{\psi}_l \psi_i \sigma_k + \bar{\psi}_l \psi_k \sigma_i \right) \right]^2 \right\}\\ | |
| \end{eqnarray*} | \end{eqnarray*} |
| $p!$을 아래처럼 흡수한다: | 그러면 $w^2 - y^2 = B^2-\Delta^2 + \rho(1-q) (B+\Delta)$이고 $\zeta-w = 1/(1-q)-B$, 그리고 $\zeta+y = 1/(1-q) + \Delta$이다. 이를 대입하면 |
| | $$\langle \mathcal{N} \rangle \propto \int dq~d\hat{q} ~dB ~dD \exp(N\Xi)$$ |
| | 로서, 다음의 양들을 정의했다: |
| | \begin{eqnarray*} |
| | \Xi &\equiv& I\hat{q}{q} + (B+\Delta)(1-q) + \frac{1}{\rho}\left(B^2 - \Delta^2 \right) + \ln\left( \frac{1}{1-q} - B \right) + \ln \mathcal{I}\\ |
| | \mathcal{I} &\equiv& \int \frac{dm~d\hat{m}}{2\pi} \exp\left[ -\frac{\beta^2 pq^{p-1}}{4} \hat{m}^2 + I\hat{m} \left( \frac{1}{1-q}+\Delta \right)m - I\hat{q} m^2 \right] |
| | = \left[ \left(\frac{1}{1-q} + \Delta\right)^2 + I\beta^2 pq^{p-1} \hat{q} \right]^{-1/2} |
| | \end{eqnarray*} |
| | [[수학:안장점_근사|안장점 근사]]로 $B$에 관한 적분을 계산하기 위해 방정식 $\partial \Xi / \partial B=0$을 풀어보면 $B=0$이 해 중의 하나로 등장하며, 우리는 이것을 택한다. 이어서 $\partial_{\hat{q}} \Xi = \partial_\Delta \Xi = 0$을 연립하여 적분에 가장 큰 기여를 하는 $\hat{q}$와 $\Delta$를 찾음으로써 적분을 수행하면, $\langle \mathcal{N} \rangle \sim e^{N\Sigma}$일 때에 복잡도 $\Sigma$는 다음처럼 얻어진다: |
| | \begin{eqnarray*} |
| | \Sigma(E) &=& -\frac12 + \frac{1}{p} - \frac{1}{\beta^2 p^2 (1-q)^2 q^{p-2}} - \frac{1}{4} \beta^2 (1-p) (1-q)^2 q^{p-2} + \frac12 \ln 2 + \ln \left(\frac{1}{1-q}\right) - \frac12 \ln \beta^2 pq^{p-2}\\ |
| | &=& \frac12 \left( \frac{2-p}{p} - \ln \frac{pz^2}{2} + \frac{p-1}{2} z^2 - \frac{2}{p^2 z^2} \right). |
| | \end{eqnarray*} |
| | 이때 앞에서 정의한 대로 다음처럼 적는다: |
| | $$z \equiv \beta (1-q)q^{p/2-1} = \frac{1}{p-1} \left(-E -\sqrt{E^2 - E_c^2} \right).$$ |
| | $E>E_c$에서는 물리적인 해가 없어지며, $E_c$보다 작은 어떤 에너지 $E_\text{RSB}$에서 $\Sigma = 0$이 된다. |
| | ++++ |
| | |
| | ===카스텔라니와 카바냐(2005)의 계산=== |
| | ++++보기| |
| | ==개요== |
| | $f_\text{TAP}$의 최소화가 $H$의 최소화와 일치한다는 특성을 이용한다. |
| | 구면 조건 $g(\sigma) \equiv \sum_i \sigma_i^2 - N = 0$과 함께 $H$의 극소점들을 찾기 위해 [[수학:라그랑주 곱수]] $\Lambda$를 도입하자 (편의를 위해 $p=3$으로 가정하여 식을 적는다). |
| | $$H = - \sum_{i<k<l} J_{ikl} \sigma_i \sigma_k \sigma_l = -\frac{1}{p!} \sum_{ikl} J_{ikl} \sigma_i \sigma_k \sigma_l$$ |
| | 이므로 다음의 식을 얻는다: |
| | $$\frac{\partial H}{\partial \sigma_i} = -\frac{p}{p!} \sum_{kl} J_{ikl} \sigma_k \sigma_l = \frac{\partial g}{\partial \sigma_i} = 2\Lambda \sigma_i.$$ |
| | 양변에 $\sigma_i$를 곱하고 $i$에 대해 합하면, |
| | $$-\frac{p}{p!} \sum_i \sum_{kl} J_{ikl} \sigma_i \sigma_k \sigma_l = p H = \sum_i 2\Lambda \sigma_i^2 = 2\Lambda N.$$ |
| | 따라서 [[수학:라그랑주 곱수]]는 $\Lambda = pH/(2N)$이고 이를 다시 원래의 식에 대입하면, 풀어야 하는 방정식은 다음과 같다: |
| | $$-\frac{p}{p!} \sum_{kl} J_{ikl} \sigma_k \sigma_l - p \frac{1}{N} H(\sigma) \sigma_i = 0.$$ |
| | 에너지 밀도를 $H(\sigma)/N = \varepsilon$으로 고정한다면 |
| | $$-\frac{p}{p!} \sum_{kl} J_{ikl} \sigma_k \sigma_l - p \varepsilon \sigma_i = 0.$$ |
| | 마찬가지로 헤세 행렬의 원소를 구면 조건을 포함해 적으면 아래와 같다: |
| | $$\mathcal{H}_{ki} \equiv \frac{\partial^2 H}{\partial \sigma_k \partial \sigma_i} = - \frac{p(p-1)}{p!} \sum_l J_{ikl} \sigma_l - p\varepsilon \delta_{ik}.$$ |
| | 정리하면, 복잡도를 구하기 위해 먼저 다음의 식을 계산하고: |
| | $$\mathcal{N}(\varepsilon) \approx \int D\sigma \prod_i \delta\left(-\frac{p}{p!} \sum_{kl} J_{ikl} \sigma_k \sigma_l - p\varepsilon \sigma_i \right) \det \left[ - \frac{p(p-1)}{p!} \sum_l J_{ikl} \sigma_l - p\varepsilon \delta_{ik} \right]$$ |
| | 이어 다음의 식에 대입한다: |
| | $$\Sigma(\varepsilon) = \lim_{N\to\infty} \frac{1}{N} \ln \mathcal{N}(\varepsilon).$$ |
| | |
| | $\mathcal{N}(\varepsilon)$에 바로 무작위 평균을 취해보자: |
| | \begin{eqnarray*} |
| | \overline{\exp\left[ -\mathcal{S} \right]} &\propto& \exp\left( - Ip\varepsilon \sum_i \mu_i \sigma_i +p\varepsilon\sum_i \bar{\psi}_i \psi_i \right) \prod_{ikl} \int dJ_{ikl} \exp\left[ -\frac12 J_{ikl}^2 \frac{2N^{p-1}}{p!} - I\frac{1}{(p-1)!} J_{ikl} \mu_i \sigma_k \sigma_l + \frac{1}{(p-2)!} J_{ikl} \bar{\psi}_i \psi_k \sigma_l \right]. |
| | \end{eqnarray*} |
| | 적분을 시행했을 때 제곱을 통해 등장하는 교차항($\mu$와 [[수학:그라스만_대수|그라스만 변수]]의 곱)은 결과에 기여하지 않는다고 가정하자. 그러면 두 부분을 따로 평균한 다음 그 결과들을 곱하면 된다. |
| | |
| | ==보손 적분== |
| | $\mu$에 의존하는 부분 중 $J_{ikl}$에 대해 평균은 아래처럼 계산되고 ($\pi$는 순열을 의미), 위에서 보았던 리거(1992)의 계산을 활용한다: |
| \begin{eqnarray*} | \begin{eqnarray*} |
| &&\prod_{i>k>l} \exp\left\{ \frac{p!}{4N^{p-1}} \left[i \left( \mu_i \sigma_k \sigma_l + \sigma_i \mu_k \sigma_l + \sigma_i \sigma_k \mu_l \right) + \left( \bar{\psi}_i \psi_k \sigma_l + \bar{\psi}_i \psi_l \sigma_k + \bar{\psi}_k \psi_i \sigma_l + \bar{\psi}_k \psi_l \sigma_i + \bar{\psi}_l \psi_i \sigma_k + \bar{\psi}_l \psi_k \sigma_i \right) \right]^2 \right\}\\ | \prod_{i_1, \ldots, i_p} \overline{\exp\left[ -I \frac{1}{(p-1)!} J_{i_1 \ldots i_p} \mu_{i_1} \sigma_{i_2} \cdots \sigma_{i_p} \right]} &\approx& |
| &\approx&\prod_{ikl} \exp\left\{ \frac{1}{4N^{p-1}} \left[i \left( \mu_i \sigma_k \sigma_l + \sigma_i \mu_k \sigma_l + \sigma_i \sigma_k \mu_l \right) + \left( \bar{\psi}_i \psi_k \sigma_l + \bar{\psi}_i \psi_l \sigma_k + \bar{\psi}_k \psi_i \sigma_l + \bar{\psi}_k \psi_l \sigma_i + \bar{\psi}_l \psi_i \sigma_k + \bar{\psi}_l \psi_k \sigma_i \right) \right]^2 \right\}. | \prod_{i_1< \ldots <i_p} \overline{\exp\left[ -I \frac{1}{(p-1)!} J_{i_1 \ldots i_p} \sum_{\pi} \mu_{\pi(i_1)} \sigma_{\pi(i_2)} \cdots \sigma_{\pi(i_p)} \right]}\\ |
| | &=& \prod_{i_1< \ldots <i_p} \exp\left\{ -\frac{p!}{4N^{p-1}} \frac{1}{\left[ (p-1)! \right]^2} \left[ \sum_{\pi} \mu_{\pi(i_1)} \sigma_{\pi(i_2)} \cdots \sigma_{\pi(i_p)} \right]^2 \right\}\\ |
| | &=& \exp\left\{ -\frac{p!}{4N^{p-1}} \frac{1}{\left[ (p-1)! \right]^2} \left[ (p-1)! N^{p-1} \sum_i \mu_i^2 + (p-1)! (p-1) N^{p-2} \left( \sum_i \mu_i \sigma_i \right)^2 \right] \right\}\\ |
| | &=& \exp\left[ -\frac{p}{4} \sum_i \mu_i^2 - \frac{p(p-1)}{4N} \left( \sum_i \mu_i \sigma_i \right)^2 \right]. |
| \end{eqnarray*} | \end{eqnarray*} |
| 그리고 제곱을 통해 등장하는 $\mu$와 [[수학:그라스만_대수|그라스만 변수]]와의 교차항은 결과에 기여하지 않는다고 가정하자. 이 가정은 나중에 얻게 되는 답과 부합한다. $\mu$에 의존하는 부분을 먼저 적어보면 | 따라서 $\overline{\mathcal{N}} = \overline{\mathcal{N}_\text{boson}} \times \overline{\mathcal{N}_\text{fermion}}$이라고 했을 때 |
| \begin{eqnarray*} | \begin{eqnarray*} |
| A &=&\int D\sigma \frac{D\mu}{(2\pi)^N} \exp\left[ -\frac{1}{4N^{p-1}} \sum_{ikl} \left( \mu_i \sigma_k \sigma_l + \sigma_i \mu_k \sigma_l + \sigma_i \sigma_k \mu_l \right)^2 - ip\varepsilon \sum_i \mu_i \sigma_i \right]\\ | \overline{\mathcal{N}_\text{boson}} &=&\int D\sigma \frac{D\mu}{(2\pi)^N} \exp\left[ -\frac{p}{4} \sum_i \mu_i^2 - \frac{p(p-1)}{4N} \left(\sum_i \mu_i \sigma_i \right)^2 - Ip\varepsilon \sum_i \mu_i \sigma_i \right]\\ |
| &=&\int D\sigma \frac{D\mu}{(2\pi)^N} \exp\left[ -\frac{1}{4N^{p-1}} \sum_{ikl} \left( \mu_i^2 \sigma_k^2 \sigma_l^2 + \sigma_i^2 \mu_k^2 \sigma_l^2 + \sigma_i^2 \sigma_k^2 \mu_l^2 + 2\mu_i \mu_k \sigma_i \sigma_k \sigma_l^2 + 2\mu_i \mu_l \sigma_i \sigma_k^2 \sigma_l + 2\mu_k \mu_l \sigma_i^2 \sigma_k \sigma_l \right) - ip\varepsilon \sum_i \mu_i \sigma_i \right]\\ | &=&\left[\frac{N}{\pi p(p-1)} \right]^{1/2} \int D\sigma \frac{D\mu}{(2\pi)^N} \int_{-\infty}^{\infty} dz \exp\left[ -\frac{Nz^2}{p(p-1)} \right] \prod_{i=1}^N \exp\left[ -\frac{p}{4} \mu_i^2 + I(z-p\varepsilon) \mu_i \sigma_i \right]\\ |
| &=&\int D\sigma \frac{D\mu}{(2\pi)^N} \exp\left[ -\frac{1}{4N^{p-1}} \left( p N^{p-1} \sum_i \mu_i^2 + p(p-1) N^{p-2} \sum_{ik} \mu_i \mu_k \sigma_i \sigma_k \right) - ip\varepsilon \sum_i \mu_i \sigma_i \right]\\ | |
| &=&\int D\sigma \frac{D\mu}{(2\pi)^N} \exp\left[ -\frac{p}{4} \sum_i \mu_i^2 - \frac{p(p-1)}{4N} \sum_{ik} \mu_i \mu_k \sigma_i \sigma_k - ip\varepsilon \sum_i \mu_i \sigma_i \right]\\ | |
| &=&\int D\sigma \frac{D\mu}{(2\pi)^N} \exp\left[ -\frac{p}{4} \sum_i \mu_i^2 - \frac{p(p-1)}{4N} \left(\sum_i \mu_i \sigma_i \right)^2 - ip\varepsilon \sum_i \mu_i \sigma_i \right]\\ | |
| &=&\left[\frac{N}{\pi p(p-1)} \right]^{1/2} \int D\sigma \frac{D\mu}{(2\pi)^N} \int_{-\infty}^{\infty} dz \exp\left[ -\frac{Nz^2}{p(p-1)} \right] \prod_{i=1}^N \exp\left[ -\frac{p}{4} \mu_i^2 + i(z-p\varepsilon) \mu_i \sigma_i \right]\\ | |
| &=&\left[\frac{N}{\pi p(p-1)} \right]^{1/2} (p\pi)^{-N/2} \int D\sigma \int_{-\infty}^{\infty} dz \exp\left[ -\frac{Nz^2}{p(p-1)} \right] \prod_{i=1}^N \exp\left[ -\frac{1}{p} (z-p\varepsilon)^2 \sigma_i^2 \right]\\ | &=&\left[\frac{N}{\pi p(p-1)} \right]^{1/2} (p\pi)^{-N/2} \int D\sigma \int_{-\infty}^{\infty} dz \exp\left[ -\frac{Nz^2}{p(p-1)} \right] \prod_{i=1}^N \exp\left[ -\frac{1}{p} (z-p\varepsilon)^2 \sigma_i^2 \right]\\ |
| &=&\left[\frac{N}{\pi p(p-1)} \right]^{1/2} (p\pi)^{-N/2} \int D\sigma \int_{-\infty}^{\infty} dz \exp\left[ -\frac{Nz^2}{p(p-1)} \right] \exp\left[ -\frac{N}{p} (z-p\varepsilon)^2 \right]\\ | &=&\left[\frac{N}{\pi p(p-1)} \right]^{1/2} (p\pi)^{-N/2} \int D\sigma \int_{-\infty}^{\infty} dz \exp\left[ -\frac{Nz^2}{p(p-1)} \right] \exp\left[ -\frac{N}{p} (z-p\varepsilon)^2 \right]\\ |
| $$\Gamma\left(\frac{N}{2}\right) = \sqrt{\pi}\frac{(N-2)!!}{2^{(N-1)/2}} \sim N^{N/2} 2^{-(N-1)/2}.$$ | $$\Gamma\left(\frac{N}{2}\right) = \sqrt{\pi}\frac{(N-2)!!}{2^{(N-1)/2}} \sim N^{N/2} 2^{-(N-1)/2}.$$ |
| 모두 종합하면 다음의 결과를 얻는다: | 모두 종합하면 다음의 결과를 얻는다: |
| $$\lim_{N\to\infty} \frac{1}{N} \ln A = \frac12 - \frac12 \ln \frac{p}{2} - \varepsilon^2.$$ | $$\lim_{N\to\infty} \frac{1}{N} \ln \overline{\mathcal{N}_\text{boson}} = \frac12 - \frac12 \ln \frac{p}{2} - \varepsilon^2.$$ |
| */ | |
| |
| /* | ==페르미온 적분== |
| 이제 [[수학:그라스만_대수|그라스만 변수]]를 포함하는 부분을 계산한다: | [[수학:그라스만_대수|그라스만 변수]]를 포함하는 부분을 계산해보자. $\sigma$가 포함되어 있기는 하지만, 곧 보게 될 것처럼 실제로 그 변수들에 대해 적분을 할 일은 없다. |
| | $J_{ikl}$에 대한 평균을 취하면 다음의 식을 얻게 된다: |
| \begin{eqnarray*} | \begin{eqnarray*} |
| B &=& \int D\sigma D\bar{\psi} D\psi \prod_{ikl} \exp\left\{ \frac{(p-1)^2}{4N^{p-1}} \left( \bar{\psi}_i \psi_k \sigma_l + \bar{\psi}_i \sigma_k \psi_l + \sigma_i \bar{\psi}_k \psi_l \right)^2 \right\}\\ | \prod_{i_1, \ldots, i_p} \overline{\exp\left[ \frac{1}{(p-2)!} J_{i_1 \ldots i_p} \bar{\psi}_{i_1} \psi_{i_2} \sigma_{i_3} \cdots \sigma_{i_p} \right]} &\approx& |
| &=& \int D\sigma D\bar{\psi} D\psi \prod_{ikl} \exp\left\{ \frac{(p-1)^2}{4N^{p-1}} \left( \bar{\psi}_i \psi_k \bar{\psi}_k \psi_l \sigma_l \sigma_i + \bar{\psi}_k \psi_l \bar{\psi}_i \psi_k \sigma_i \sigma_l \right) \right\}\\ | \prod_{i_1< \ldots< i_p} \overline{\exp\left[ \frac{1}{(p-2)!} J_{i_1 \ldots i_p} \sum_{\pi} \bar{\psi}_{\pi(i_1)} \psi_{\pi(i_2)} \sigma_{\pi(i_3)} \cdots \sigma_{\pi(i_p)} \right]}\\ |
| &=& \int D\sigma D\bar{\psi} D\psi \prod_{ikl} \exp\left\{ \frac{(p-1)^2}{4N^{p-1}} \left( -\bar{\psi}_k \psi_k \bar{\psi}_i \psi_l \sigma_i \sigma_l - \bar{\psi}_k \psi_k \bar{\psi}_i \psi_l \sigma_i \sigma_l \right) \right\}\\ | &=& \prod_{i_1< \ldots< i_p} \exp\left\{ \frac{p!}{4N^{p-1}} \frac{1}{\left[(p-2)!\right]^2} \left[ \sum_{\pi} \bar{\psi}_{\pi(i_1)} \psi_{\pi(i_2)} \sigma_{\pi(i_3)} \cdots \sigma_{\pi(i_p)} \right]^2 \right\}. |
| &=& \int D\sigma D\bar{\psi} D\psi \prod_{ikl} \exp\left\{ -\frac{(p-1)^2}{2N^{p-1}} \bar{\psi}_k \psi_k \bar{\psi}_i \psi_l \sigma_i \sigma_l \right\}\\ | |
| &=& \int D\sigma D\bar{\psi} D\psi \exp\left\{ -\frac{(p-1)^2}{2N^{p-1}} \left[\sum_k \bar{\psi}_k \psi_k\right] \left[ \sum_i \bar{\psi}_i \sigma_i \right] \left[ \sum_l \psi_l \sigma_l \right] \right\}\\ | |
| \end{eqnarray*} | \end{eqnarray*} |
| */ | 이 제곱 부분을 풀 때에도 $\pi_1(i_1) = \pi_2(i_1)$과 $\pi_1(i_2) = \pi_2(i_2)$인 부분만이 기여한다고 하자. 파리시(2006)에 따르면 [[수학:그라스만_대수|그라스만 변수]]가 하나만 들어가는 $\sum_i \psi_i \sigma_i$ 같은 항들의 기여는 모두 0으로 놓을 수 있다. 따라서 리거(1992)의 계산을 응용하되 [[수학:그라스만_대수|그라스만 변수]] 사이의 순서에 주의하여 적어보자. $p=4$이고 $N=5$인 예에서라면 이렇게 된다: |
| | \begin{eqnarray*} |
| | \sum_{i_1< \ldots< i_p} \left[ \sum_{\pi} \bar{\psi}_{\pi(i_1)} \psi_{\pi(i_2)} \sigma_{\pi(i_3)} \cdots \sigma_{\pi(i_p)} \right]^2 &\approx& |
| | \left(\bar{\psi}_1 \psi_2 \sigma_3 \sigma_4 + \bar{\psi}_1 \psi_2 \sigma_4 \sigma_3 + \bar{\psi}_2 \psi_1 \sigma_3 \sigma_4 + \bar{\psi}_2 \psi_1 \sigma_4 \sigma_3 + \ldots \right) \left(\bar{\psi}_1 \psi_2 \sigma_3 \sigma_4 + \bar{\psi}_1 \psi_2 \sigma_4 \sigma_3 + \bar{\psi}_2 \psi_1 \sigma_3 \sigma_4 + \bar{\psi}_2 \psi_1 \sigma_4 \sigma_3 + \ldots \right) + \ldots\\ |
| | &=& -\bar{\psi}_1 \psi_1 \bar{\psi}_2 \psi_2 2 \left[ (p-2)! \right]^2 \left( \sigma_3^2 \sigma_4^2 + \sigma_3^2 \sigma_5^2 + \sigma_4^2 \sigma_5^2\right) + \ldots. |
| | \end{eqnarray*} |
| | $N$이 매우 크면 다음처럼 적을 수 있고 |
| | $$\sum_{i_1< \ldots< i_p} \left[ \sum_{\pi} \bar{\psi}_{\pi(i_1)} \psi_{\pi(i_2)} \sigma_{\pi(i_3)} \cdots \sigma_{\pi(i_p)} \right]^2 \approx - 2\sum_{i<j} \bar{\psi}_i \psi_i \bar{\psi}_j \psi_j \left[ (p-2)! \right]^2 \frac{N^{p-2}}{(p-2)!} \approx - \left( \sum_i \bar{\psi}_i \psi_i \right)^2 (p-2)! N^{p-2},$$ |
| | 결국 아래의 결과를 얻는다: |
| | \begin{eqnarray*} |
| | \overline{\mathcal{N}_\text{fermion}} &=& \int D\bar{\psi} D\psi \exp\left[ p\varepsilon\sum_i \bar{\psi}_i \psi_i -\frac{1}{4N} p(p-1) \left( \sum_i \bar{\psi}_i \psi_i \right)^2 \right]\\ |
| | &=& \int D\bar{\psi} D\psi \int d\omega \exp\left[ -\frac{N\omega^2}{p(p-1)} + (I\omega + p\varepsilon) \sum_i \bar{\psi}_i \psi_i \right]\\ |
| | &=& \int d\omega \exp\left[ -\frac{N\omega^2}{p(p-1)} \right] (I\omega + p\varepsilon)^N\\ |
| | &=& \int d\omega \exp\left[NG(\omega)\right]. |
| | \end{eqnarray*} |
| | [[수학:허바드-스트라토노비치_변환|허바드-스트라토노비치 변환]]을 사용하기 위해 적분 변수 $\omega$를 도입했고, [[수학:그라스만_대수|그라스만 변수]]들에 대한 적분을 시행하였다. 대각 행렬의 행렬식을 구한다고 생각해도 된다. $\omega$에 대한 적분을 [[수학:안장점_근사|안장점 근사]]의 방법으로 푼다면 $\omega = Iz$로 적은 다음, 아래의 함수를 정의하고 |
| | $$G(z) \equiv \frac{z^2}{p(p-1)} + \ln (-z+p\varepsilon)$$ |
| | $\partial_z G(\hat{z}) = 0$을 풀어 해를 구한다: |
| | $$\hat{z} = \frac{p}{2} \left( \varepsilon + \sqrt{\varepsilon^2 - \frac{2(p-1)}{p}} \right).$$ |
| |
| ====무작위 평균==== | ==종합== |
| | 이 계산을 통해 얻어진 복잡도는 아래와 같다: |
| | $$\Sigma(\varepsilon) = \frac12 -\frac12 \ln \frac{p}{2} - \varepsilon^2 + \frac{\hat{z}^2}{p(p-1)} + \ln (-\hat{z} + p\varepsilon).$$ |
| | ++++ |
| | |
| | ===카바냐 등(1999)의 계산=== |
| 먼저 $q \equiv N^{-1} \sum_i m_i^2$이고 온사거 반응 항을 $g(q) \equiv -(\beta/4) \left[ (p-1)q^p - pq^{p-1} +1\right]$라고 했을 때 다음과 같은 표현식들을 적어보자: | 먼저 $q \equiv N^{-1} \sum_i m_i^2$이고 온사거 반응 항을 $g(q) \equiv -(\beta/4) \left[ (p-1)q^p - pq^{p-1} +1\right]$라고 했을 때 다음과 같은 표현식들을 적어보자: |
| \begin{eqnarray*} | \begin{eqnarray*} |
| \end{eqnarray*} | \end{eqnarray*} |
| \begin{eqnarray*} | \begin{eqnarray*} |
| \mathcal{A}_{kl} (m^a) &=& N\frac{\partial^2 f_\text{TAP}}{\partial m_k^a \partial m_l^a} = \frac{\partial}{\partial m_k^a} \mathcal{T}_l (m^a) = -\sum_{i_3<\ldots<i_p} J_{kli_3\ldots i_p} m_{i_3}^a \cdots m_{i_p}^a + \frac{4 m_k^a m_l^a}{N} \frac{\partial}{\partial q^a} \left[ \frac{1}{2\beta(1-q^a)} + g'(q^a) \right] + 2\delta_{kl} \left[ \frac{1}{2\beta(1-q^a)} + g'(q^a) \right]\\ | \mathcal{A}_{kl} (m^a) &=& N\frac{\partial^2 f_\text{TAP}}{\partial m_k^a \partial m_l^a} = \frac{\partial}{\partial m_k^a} \mathcal{T}_l (m^a) = -\sum_{i_3<\ldots<i_p} J_{kli_3\ldots i_p} m_{i_3}^a \cdots m_{i_p}^a + 2\delta_{kl} \left[ \frac{1}{2\beta(1-q^a)} + g'(q^a) \right] + \frac{4 m_k^a m_l^a}{N} \frac{\partial}{\partial q^a} \left[ \frac{1}{2\beta(1-q^a)} + g'(q^a) \right]\\ |
| &=& -\frac{1}{(p-2)!} \sum_{i_3,\ldots,i_p} J_{kli_3\ldots i_p} m_{i_3}^a \cdots m_{i_p}^a + \frac{4 m_k^a m_l^a}{N} \left[ \frac{1}{2\beta(1-q^a)^2} + g''(q^a) \right] + 2\delta_{kl} \left[ \frac{1}{2\beta(1-q^a)} + g'(q^a) \right]\\ | &=& -\frac{1}{(p-2)!} \sum_{i_3,\ldots,i_p} J_{kli_3\ldots i_p} m_{i_3}^a \cdots m_{i_p}^a + 2\delta_{kl} \left[ \frac{1}{2\beta(1-q^a)} + g'(q^a) \right] + \frac{4 m_k^a m_l^a}{N} \left[ \frac{1}{2\beta(1-q^a)^2} + g''(q^a) \right]\\ |
| \sum_{kl} \bar{\psi}_k^a \mathcal{A}_{kl} \psi_l^a &=& -\frac{p(p-1)}{p!} \sum_{k,l,i_3,\ldots,i_p} J_{kli_3\ldots i_p} \bar{\psi}_k^a \psi_l^a m_{i_3}^a \cdots m_{i_p}^a + \sum_{kl} \frac{4 m_k^a m_l^a \bar{\psi}_k^a \psi_l^a}{N} \left[ \frac{1}{2\beta(1-q^a)^2} + g''(q^a) \right] + 2 \sum_k \bar{\psi}_k^a \psi_k^a \left[ \frac{1}{2\beta(1-q^a)} + g'(q^a) \right]. | \end{eqnarray*} |
| | 여기에서 $1/N$을 포함하는 마지막 항은 $N\to\infty$에서 무시하는 것이 일반적이나, 아스펠마이어 등(2004)과 파리시(2006)에 의하면 여기에는 대가가 따르니 주의한다. |
| | \begin{eqnarray*} |
| | \sum_{kl} \bar{\psi}_k^a \mathcal{A}_{kl} \psi_l^a &\approx& -\frac{p(p-1)}{p!} \sum_{k,l,i_3,\ldots,i_p} J_{kli_3\ldots i_p} \bar{\psi}_k^a \psi_l^a m_{i_3}^a \cdots m_{i_p}^a + 2 \sum_k \bar{\psi}_k^a \psi_k^a \left[ \frac{1}{2\beta(1-q^a)} + g'(q^a) \right]. |
| \end{eqnarray*} | \end{eqnarray*} |
| |
| 결합상수의 무작위성에 대해 평균을 취하여 복잡도를 계산해보자: | 결합상수의 무작위성에 대해 평균을 취하여 복잡도를 계산해보자: |
| $$\Sigma(f) = \lim_{n\to0} \frac{1}{nN} \ln \int Dm D\lambda D\bar{\psi} D\psi ~d\omega ~\overline{\exp\left[-\tilde{\mathcal{S}}_J (m, \lambda, \bar{\psi}, \psi, \omega) \right]}.$$ | $$\Sigma(f) = \lim_{n\to0} \frac{1}{nN} \ln \int Dm D\lambda D\bar{\psi} D\psi ~d\omega ~\overline{\exp\left[-\tilde{\mathcal{S}}_J (m, \lambda, \bar{\psi}, \psi, \omega) \right]}.$$ |
| | 먼저 작용을 결합상수를 포함하지 않는 부분 $\tilde{\mathcal{S}}_J^{(0)}$과 포함하는 부분 $\tilde{\mathcal{S}}_J^{(1)}$로 나누고 |
| \begin{eqnarray*} | \begin{eqnarray*} |
| \tilde{\mathcal{S}}_J &=& \sum_{a=1}^n \left\{ \sum_{k=1}^N i \lambda^a_k \mathcal{T}_k \left(m^a\right) + \sum_{k,l=1}^N \bar{\psi}^a_k \mathcal{A}_{kl}\left(m^a\right) \psi^a_l + i\omega N \left[ f_\text{TAP} \left(m^a\right) - f \right] \right\}. | \tilde{\mathcal{S}}_J &=& \sum_{a=1}^n \left\{ \sum_{k=1}^N I \lambda^a_k \mathcal{T}_k \left(m^a\right) + \sum_{k,l=1}^N \bar{\psi}^a_k \mathcal{A}_{kl}\left(m^a\right) \psi^a_l + I\omega N \left[ f_\text{TAP} \left(m^a\right) - f \right] \right\} = \tilde{\mathcal{S}}_J^{(0)} + \tilde{\mathcal{S}}_J^{(1)} |
| \end{eqnarray*} | \end{eqnarray*} |
| | 결합상수를 포함하지 않는 부분을 적어보자: |
| \begin{eqnarray*} | \begin{eqnarray*} |
| \overline{\exp\left[ -\tilde{\mathcal{S}}_J \right]} &=& \overline{ \exp \left[-\sum_{a=1}^n \left\{ \sum_{k=1}^N i \lambda^a_k \mathcal{T}_k \left(m^a\right) + \sum_{k,l=1}^N \bar{\psi}^a_k \mathcal{A}_{kl}\left(m^a\right) \psi^a_l + i\omega N \left[ f_\text{TAP} \left(m^a\right) - f \right] \right\} \right]}\\ | A \equiv \exp\left[ -\tilde{\mathcal{S}}_J^{(0)} \right] &=& \exp \left\{ -2I\sum_{a=1}^n \sum_{k=1}^N \lambda_k^a m_k^a \left[ \frac{1}{2\beta(1-q^a)} + g'(q^a) \right] - 2 \sum_{a=1}^n \sum_{k=1}^N \bar{\psi}_k^a \psi_k^a \left[ \frac{1}{2\beta(1-q^a)} + g'(q^a) \right] - I \omega N \sum_{a=1}^n \left[ -\frac{1}{2\beta} \ln(1-q^a) + g(q^a) -f\right] \right\}. |
| &=& \exp \left\{ -i\sum_{a=1}^n \sum_{k=1}^N 2 \lambda_k^a m_k^a \left[ \frac{1}{2\beta(1-q^a)} + g'(q^a) \right] - \sum_{a=1}^n \sum_{k,l=1}^N \frac{4 m_k^a m_l^a \bar{\psi}_k^a \psi_l^a}{N} \left[ \frac{1}{2\beta(1-q^a)^2} + g''(q^a) \right] - 2 \sum_{a=1}^n \sum_{k=1}^N \bar{\psi}_k^a \psi_k^a \left[ \frac{1}{2\beta(1-q^a)} + g'(q^a) \right] - i \omega N \sum_{a=1}^n \left[ -\frac{1}{2\beta} \ln(1-q^a) + g(q^a) -f\right] \right\} \\ | |
| &&\times \overline{\exp \left[ \sum_{k,i_2,\ldots,i_p} J_{ki_2\ldots i_p} \left( \frac{ip}{p!}\sum_{a=1}^n \lambda_k^a m_{i_2}^a \cdots m_{i_p}^a \right) + \sum_{k,l,i_3,\ldots,i_p} J_{kli_3\ldots i_p} \left( \frac{p(p-1)}{p!} \sum_{a=1}^n \bar{\psi}_k^a \psi_l^a m_{i_3}^a \cdots m_{i_p}^a \right) + \sum_{i_1,\ldots,i_p} J_{i_1 \ldots i_p} \left( \frac{i\omega}{p!} \sum_{a=1}^n m_{i_1}^a \cdots m_{i_p}^a \right) \right]}\\ | |
| \end{eqnarray*} | \end{eqnarray*} |
| 결합상수를 포함한 부분만을 뽑아서 적어보면: | 이 중 앞의 두 항은 BRST 대칭성에 의해 상쇄될 것으로 생각할 수 있다. |
| | 다음으로 결합상수를 포함한 부분을 적고 평균을 취하자: |
| \begin{eqnarray*} | \begin{eqnarray*} |
| &&\overline{\exp \left[ \sum_{i_1,\ldots,i_p} J_{i_1\ldots i_p} \left( \frac{ip}{p!}\sum_{a=1}^n \lambda_{i_1}^a m_{i_2}^a \cdots m_{i_p}^a \right) + \sum_{i_1,\ldots,i_p} J_{i_1\ldots i_p} \left( \frac{p(p-1)}{p!} \sum_{a=1}^n \bar{\psi}_{i_1}^a \psi_{i_2}^a m_{i_3}^a \cdots m_{i_p}^a \right) + \sum_{i_1,\ldots,i_p} J_{i_1 \ldots i_p} \left( \frac{i\omega}{p!} \sum_{a=1}^n m_{i_1}^a \cdots m_{i_p}^a \right) \right]}\\ | B &\equiv& \overline{\exp \left[ \sum_{i_1,\ldots,i_p} J_{i_1\ldots i_p} \left( \frac{Ip}{p!}\sum_{a=1}^n \lambda_{i_1}^a m_{i_2}^a \cdots m_{i_p}^a \right) + \sum_{i_1,\ldots,i_p} J_{i_1\ldots i_p} \left( \frac{p(p-1)}{p!} \sum_{a=1}^n \bar{\psi}_{i_1}^a \psi_{i_2}^a m_{i_3}^a \cdots m_{i_p}^a \right) + \sum_{i_1,\ldots,i_p} J_{i_1 \ldots i_p} \left( \frac{I\omega}{p!} \sum_{a=1}^n m_{i_1}^a \cdots m_{i_p}^a \right) \right]}\\ |
| &=& \overline{\prod_{i_1,\ldots,i_p} \exp \left[ J_{i_1\ldots i_p} \left( \frac{ip}{p!}\sum_{a=1}^n \lambda_{i_1}^a m_{i_2}^a \cdots m_{i_p}^a + \frac{p(p-1)}{p!} \sum_{a=1}^n \bar{\psi}_{i_1}^a \psi_{i_2}^a m_{i_3}^a \cdots m_{i_p}^a + \frac{i\omega}{p!} \sum_{a=1}^n m_{i_1}^a \cdots m_{i_p}^a \right) \right]}\\ | &=& \prod_{i_1,\ldots,i_p} \overline{\exp \left[ J_{i_1\ldots i_p} \left( \frac{I}{(p-1)!}\sum_{a=1}^n \lambda_{i_1}^a m_{i_2}^a \cdots m_{i_p}^a + \frac{1}{(p-2)!} \sum_{a=1}^n \bar{\psi}_{i_1}^a \psi_{i_2}^a m_{i_3}^a \cdots m_{i_p}^a + \frac{I\omega}{p!} \sum_{a=1}^n m_{i_1}^a \cdots m_{i_p}^a \right) \right]}\\ |
| &=& \prod_{i_1,\ldots,i_p} \int dJ_{i_1\ldots i_p} \exp\left( -J_{i_1\ldots i_p}^2 \frac{N^p}{p!} \right) \exp \left[ J_{i_1\ldots i_p} \left( \frac{ip}{p!}\sum_{a=1}^n \lambda_{i_1}^a m_{i_2}^a \cdots m_{i_p}^a + \frac{p(p-1)}{p!} \sum_{a=1}^n \bar{\psi}_{i_1}^a \psi_{i_2}^a m_{i_3}^a \cdots m_{i_p}^a + \frac{i\omega}{p!} \sum_{a=1}^n m_{i_1}^a \cdots m_{i_p}^a \right) \right]\\ | &\approx& \prod_{i_1<\ldots<i_p} \overline{\exp \left[ J_{i_1\ldots i_p} \sum_{a=1}^n \sum_\pi \left( \frac{I}{(p-1)!} \lambda_{\pi(i_1)}^a m_{\pi(i_2)}^a \cdots m_{\pi(i_p)}^a + \frac{1}{(p-2)!} \bar{\psi}_{\pi(i_1)}^a \psi_{\pi(i_2)}^a m_{\pi(i_3)}^a \cdots m_{\pi(i_p)}^a + \frac{I\omega}{p!} m_{\pi(i_1)}^a \cdots m_{\pi(i_p)}^a \right) \right]}\\ |
| &\propto& \prod_{i_1,\ldots,i_p} \exp \left[ \frac{p!}{4N^p} \left( \frac{ip}{p!}\sum_{a=1}^n \lambda_{i_1}^a m_{i_2}^a \cdots m_{i_p}^a + \frac{p(p-1)}{p!} \sum_{a=1}^n \bar{\psi}_{i_1}^a \psi_{i_2}^a m_{i_3}^a \cdots m_{i_p}^a + \frac{i\omega}{p!} \sum_{a=1}^n m_{i_1}^a \cdots m_{i_p}^a \right)^2 \right]\\ | &=& \prod_{i_1<\ldots<i_p} \exp \left\{ \frac{p!}{4N^{p-1}} \left[ \sum_{a=1}^n \sum_\pi \left( \frac{I}{(p-1)!} \lambda_{\pi(i_1)}^a m_{\pi(i_2)}^a \cdots m_{\pi(i_p)}^a + \frac{1}{(p-2)!} \bar{\psi}_{\pi(i_1)}^a \psi_{\pi(i_2)}^a m_{\pi(i_3)}^a \cdots m_{\pi(i_p)}^a + \frac{I\omega}{p!} m_{\pi(i_1)}^a \cdots m_{\pi(i_p)}^a \right) \right]^2 \right\}. |
| &=& \prod_{i_1,\ldots,i_p} \exp \left[ \frac{1}{4N^p p!} \left( ip\sum_{a=1}^n \lambda_{i_1}^a m_{i_2}^a \cdots m_{i_p}^a + p(p-1) \sum_{a=1}^n \bar{\psi}_{i_1}^a \psi_{i_2}^a m_{i_3}^a \cdots m_{i_p}^a + i\omega \sum_{a=1}^n m_{i_1}^a \cdots m_{i_p}^a \right)^2 \right]\\ | |
| &\approx& \prod_{i_1<\ldots<i_p} \exp \left[ \frac{1}{4N^p} \left( ip\sum_{a=1}^n \lambda_{i_1}^a m_{i_2}^a \cdots m_{i_p}^a + p(p-1) \sum_{a=1}^n \bar{\psi}_{i_1}^a \psi_{i_2}^a m_{i_3}^a \cdots m_{i_p}^a + i\omega \sum_{a=1}^n m_{i_1}^a \cdots m_{i_p}^a \right)^2 \right]\\ | |
| \end{eqnarray*} | \end{eqnarray*} |
| | 여기에서도 제곱 부분을 풀 때에 교환가능한 일반 변수와 [[수학:그라스만_대수|그라스만 변수]]가 하나씩 얽혀 있는 상관 함수는 값에 기여하지 않는다고 하자. 리거(1992)를 참조하여 계산하는데, 복제본을 가리키는 인덱스 $a$와 $b$가 있음에 주의한다. 표기를 간단하게 하기 위해 $\left( \sum_i m_i^a m_i^b, \sum_i \lambda_i^a \lambda_i^b, \sum_i m_i^a \lambda_i^b, \sum_i \bar{\psi}_i^a \psi_i^b \right) = N\left( S_{ab}, L_{ab}, R_{ab}, -T_{ab} \right)$로 바꾸어 적자. 더 자세한 변환 과정은 그 아래에 설명한다. |
| | \begin{eqnarray*} |
| | \sum_{i_1<\ldots<i_p} \left[ \sum_{a,\pi} \lambda_{\pi(i_1)}^a m_{\pi(i_2)}^a \cdots m_{\pi(i_p)}^a \right]^2 &=& |
| | \sum_{i_1<\ldots<i_p} \left[ \sum_{a,\pi_1} \lambda_{\pi_1(i_1)}^a m_{\pi_1(i_2)}^a \cdots m_{\pi_1(i_p)}^a \right] \left[ \sum_{b,\pi_2} \lambda_{\pi_2(i_1)}^b m_{\pi_2(i_2)}^b \cdots m_{\pi_2(i_p)}^b \right]\\ |
| | &=& \sum_{ab} \left[ \frac{\left[(p-1)!\right]^2}{(p-1)!} \left( \sum_i \lambda_i^a \lambda_i^b \right) \left( \sum_j m_j^a m_j^b \right)^{p-1} + \frac{\left[(p-1)!\right]^2}{(p-2)!} \left( \sum_i \lambda_i^a m_i^b \right) \left( \sum_j \lambda_j^a m_j^b \right) \left( \sum_k m_k^a m_k^b \right)^{p-2} \right]\\ |
| | &=& \sum_{ab} \left[ (p-1)! \left( \sum_i \lambda_i^a \lambda_i^b \right) \left( \sum_j m_j^a m_j^b \right)^{p-1} + (p-1) (p-1)! \left( \sum_i \lambda_i^a m_i^b \right) \left( \sum_j \lambda_j^b m_j^a \right) \left( \sum_k m_k^a m_k^b \right)^{p-2} \right]\\ |
| | &=& \sum_{ab} N^p \left[ (p-1)! L_{ab} S_{ab}^{p-1} + (p-1) (p-1)! R_{ba} R_{ab} S_{ab}^{p-2} \right]\\ |
| | \sum_{i_1<\ldots<i_p} \left[ \sum_{a,\pi} m_{\pi(i_1)}^a \cdots m_{\pi(i_p)}^a \right]^2 &=& |
| | \sum_{i_1<\ldots<i_p} \left[ \sum_{a,\pi_1} m_{\pi_1(i_1)}^a \cdots m_{\pi_1(i_p)}^a \right] \left[ \sum_{b,\pi_2} m_{\pi_2(i_1)}^a \cdots m_{\pi_2(i_p)}^a \right] = \sum_{ab} \frac{\left( p! \right)^2}{p!} \left( \sum_i m_i^a m_i^b \right)^p = \sum_{ab} p! \left( \sum_i m_i^a m_i^b \right)^p\\ |
| | &=& \sum_{ab} p! N^p S_{ab}^p\\ |
| | \sum_{i_1<\ldots<i_p} \left[ \sum_{a,\pi} \lambda_{\pi(i_1)}^a m_{\pi(i_2)}^a \cdots m_{\pi(i_p)}^a \right] \left[ \sum_{b,\pi_2} m_{\pi_2(i_1)}^b \cdots m_{\pi_2(i_p)}^b \right] &=& |
| | \sum_{ab} \frac{p! (p-1)!}{(p-1)!} \left( \sum_i \lambda_i^a m_i^b \right) \left( \sum_j m_j^a m_j^b \right)^{p-1} = \sum_{ab} p! \left( \sum_i \lambda_i^a m_i^b \right) \left( \sum_j m_j^a m_j^b \right)^{p-1}\\ |
| | &=& \sum_{ab} p! N^p R_{ba} S_{ab}^{p-1}\\ |
| | \sum_{i_1<\ldots<i_p} \left[ \sum_{a,\pi} \bar{\psi}_{\pi(i_1)}^a \psi_{\pi(i_2)}^a m_{\pi(i_3)}^a \cdots m_{\pi(i_p)}^a \right]^2 &=& |
| | \sum_{i_1<\ldots<i_p} \left[ \sum_{a,\pi_1} \bar{\psi}_{\pi_1(i_1)}^a \psi_{\pi_1(i_2)}^a m_{\pi_1(i_3)}^a \cdots m_{\pi_1(i_p)}^a \right] |
| | \left[ \sum_{b,\pi_2} \bar{\psi}_{\pi_2(i_1)}^b \psi_{\pi_2(i_2)}^b m_{\pi_2(i_3)}^b \cdots m_{\pi_2(i_p)}^b \right]\\ |
| | &\approx& -\sum_{ab} (p-2)! \left[ \left( \sum_i \bar{\psi}_i^a \bar{\psi}_i^b \right) \left( \sum_j \psi_j^a \psi_j^b \right) \left( \sum_k m_k^a m_k^b \right)^{p-2} |
| | + \left( \sum_i \bar{\psi}_i^a \psi_i^b \right) \left( \sum_j \bar{\psi}_j^b \psi_j^a \right) \left( \sum_k m_k^a m_k^b \right)^{p-2}\right]\\ |
| | &\approx& -\sum_{ab} N^p (p-2)! T_{ab} T_{ba} S_{ab}^{p-2}. |
| | \end{eqnarray*} |
| | $\bar{\psi}_i^a \bar{\psi}_i^b$와 같은 항들은 $n\to0$에서 사라진다고 보았다. |
| | 이 표현식들을 대입하고 BRST 대칭성에 의해 $T_{ab} = IR_{ba}$와 $-\omega T_{ab} = IL_{ab}$임을 이용하여 항들을 상쇄시키면, 결합상수를 포함하는 부분의 평균을 다음처럼 얻게 된다: |
| | \begin{eqnarray*} |
| | B &\approx& \exp\left[ -\frac{N}{4} \sum_{ab} \left( pL_{ab} S_{ab}^{p-1} + \omega^2 S_{ab}^p + 2p\omega R_{ba} S_{ab}^{p-1} \right) \right] = \exp \left[ -\frac{N}{4} \sum_{ab} \left( \omega^2 S_{ab}^p - Ip\omega T_{ab} S_{ab}^{p-1} \right) \right]. |
| | \end{eqnarray*} |
| | 결합상수를 포함하지 않는 부분에 대해 앞에서 구했던 결과는 |
| | \begin{eqnarray*} |
| | A &=& \exp \left\{ - I \omega N \sum_{a=1}^n \left[ -\frac{1}{2\beta} \ln(1-S_{aa}) + g(S_{aa}) -f\right] \right\}. |
| | \end{eqnarray*} |
| | 기존의 적분 변수가 $m_i^a$, $\lambda_i^a$, $\bar{\psi}_i^a$, 그리고 $\psi_i^a$와 $\omega$로 $(4Nn+1)$개였다면 이제 $S_{ab}$, $L_{ab}$, $R_{ab}$, 그리고 $T_{ab}$ 및 $\omega$에 대한 $(4n^2+1)$차원의 적분으로 고쳐 쓰려고 하는데 그러기 위해서는 미리 적분을 수행하여 자유도를 맞춰주어야 한다. 예를 들어 직각 좌표계를 극 좌표계로 고치는 문제를 생각해보자. 피적분함수가 $r$만의 함수로 기술된다고 해도 원래의 2차원 적분을 $r$에 대한 1차원 적분으로 줄여서 적기 위해서는 $\int dx~dy ~\delta(\sqrt{x^2+y^2}-r) = 2\pi r$의 적분을 수행해주어야 한다. |
| | $$\int dx~dy ~\exp\left(-x^2-y^2\right) = \int dr~ \exp\left(-r^2\right) \left[ \int dx~dy ~\delta(\sqrt{x^2+y^2}-r)\right] = \int dr ~\exp\left(-r^2\right) ~2\pi r.$$ |
| | 지금의 경우 필요한 것은 아래와 같은 종류의 [[수학:허바드-스트라토노비치_변환|허바드-스트라토노비치 변환]]이어서, $N^{-1} \sum_i m_i^a m_i^b$를 $S_{ab}$로 고치면서 $n\times n$ 행렬 $S$의 행렬식인 $\det S$가, $N^{-1} \sum_i \bar{\psi}_i^a \psi_i^b$를 $T_{ab}$로 고치면서 $\det T$가 등장하게 된다. 극소점 근방을 보고 있다고 하면 지수 함수 안에 2차항으로 쓰는 것을 정당화할 수 있을 것이다. 이 계산에서는 $N^{-1}\sum_{i=1}^N m_i^a m_i^b$를 $S_{ab}$로 고치는 과정에서 앞에 붙는 부호가 뒤집힌다. |
| | \begin{eqnarray*} |
| | \int Dm \exp\left[ \frac{N}{2} \sum_{ab} \left( \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N m_i^a m_i^b \right)^2 \right] &=& \int Dm \int DS \exp\left[ -\frac{N}{2} \sum_{ab} S_{ab}^2 + \sum_{ab} S_{ab} \left( \sum_{i=1}^N m_i^a m_i^b \right) \right] = \int DS \exp\left( -\frac{N}{2} \sum_{ab} S_{ab}^2 \right) \left[ \det \left( -2S \right) \right]^{-N/2}\\ |
| | \int D\bar{\psi} D\psi \exp\left[ \frac{N}{2} \sum_{ab} \left( \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \bar{\psi}_i^a \psi_i^b \right)^2 \right] &=& \int D\bar{\psi} D\psi \int DT \exp\left[ -\frac{N}{2} \sum_{ab} T_{ab}^2 + \sum_{ab} T_{ab} \left( \sum_{i=1}^N \bar{\psi}_i^a \psi_i^b \right) \right] = \int DT \exp\left( -\frac{N}{2} \sum_{ab} T_{ab}^2 \right) \left[ \det (-T) \right]^N. |
| | \end{eqnarray*} |
| | 사실은 보손 변수인 $m$과 $\lambda$를 한번에 적분해서 $S$, $R$, 그리고 $L$을 도입해야 하므로 블록 행렬 |
| | $$\mathcal{M} \equiv |
| | \begin{pmatrix} |
| | S & R\\ |
| | R^\intercal & L |
| | \end{pmatrix} |
| | $$ |
| | 의 행렬식인 $\det \mathcal{M} = \det S \det \left( L - R^\intercal S^{-1} R \right)$이 등장한다. |
| | |
| | 행렬의 형태가 $S_{ab} = (s_1-s_0) \delta_{ab} + s_0$와 $T_{ab} = (t_1-t_0) \delta_{ab} + t_0$라고 한다면 위의 표현식들을 명시적으로 다음처럼 적을 수 있다: |
| | \begin{eqnarray*} |
| | \det T &=& (t_1-t_0)^{n-1} \left[ (n-1)t_0 + t_1 \right]\\ |
| | \det \mathcal{M} &=& (t_0-t_1)^{n-1} \left[ (n-1)t_0 + t_1 \right] \left[ t_0 - t_1 + I \omega (s_0 - s_1) \right]^{n-1} \left\{ (n-1)t_0+t_1 +I\omega[(n-1)s_0 + s_1] \right\}\\ |
| | \lim_{n\to 0} \frac{1}{n} \ln \det T &=& \frac{t_0}{t_1-t_0} + \ln (t_1-t_0)\\ |
| | \lim_{n\to 0} \frac{1}{n} \ln \det \mathcal{M} &=& \frac{t_0}{t_1-t_0} + \frac{t_0 + I\omega s_0}{t_1-t_0 + I\omega(s_1-s_0)} + \ln(t_1-t_0) + \ln\left[ t_1-t_0 + I\omega(s_1-s_0) \right]\\ |
| | \frac{1}{nN} \ln A &=& I\omega \left[ \frac{1}{2\beta} \ln (1-s_1) - g(s_1) + f \right]\\ |
| | \frac{1}{nN} \ln B &=& -\frac{1}{4} \left\{ \omega^2 \left[ s_1^p + (n-1)s_0^p \right] -p I\omega \left[ t_1^p s_1^{p-1} + (n-1) t_0 s_0^{p-1} \right] \right\}\\ |
| | &\xrightarrow[n\to 0]{} & -\frac{1}{4} \omega^2 \left(s_1^p - s_0^p \right) + \frac{p}{4} I\omega \left( t_1^p s_1^{p-1} - t_0 s_0^{p-1} \right). |
| | \end{eqnarray*} |
| | 이들을 짜맞추되 $\Sigma$의 전체적인 부호는 아래처럼 쓰는 것이 옳은 결과를 준다: |
| | \begin{eqnarray*} |
| | \Sigma(f) &=& -\frac{1}{4} \omega^2 \left(s_1^p - s_0^p \right) + \frac{p}{4} I\omega \left( t_1 s_1^{p-1} - t_0 s_0^{p-1} \right) |
| | + I\omega \left[ \frac{1}{2\beta} \ln (1-s_1) - g(s_1) + f \right] |
| | - \frac12 \frac{t_0}{t_1-t_0} |
| | - \frac12 \ln (t_1-t_0) |
| | + \frac12 \frac{t_0 + I\omega s_0}{t_1-t_0 + I\omega(s_1-s_0)} |
| | + \frac12 \ln\left[ t_1-t_0 + I\omega(s_1-s_0) \right]. |
| | \end{eqnarray*} |
| | $z\equiv t_1-t_0 + I\omega(s_1-s_0)$로 정의하고 [[수학:안장점_근사|안장점 근사]]를 사용하고자 극소점을 찾아보면: |
| | \begin{eqnarray*} |
| | 0 &=& \left(\frac{2}{I\omega}\right) \frac{\partial \Sigma}{\partial s_1} = I\omega\frac{p}{2} s_1^{p-1} + \frac{p(p-1)}{2} t_1 s_1^{p-2} - \left[ \frac{1}{\beta(1-s_1)} + 2g'(s_1) \right] - \frac{t_0+I\omega s_0}{z^2} + \frac{1}{z}\\ |
| | 0 &=& \left(\frac{2}{I\omega}\right) \frac{\partial \Sigma}{\partial s_0} = - I\omega \frac{p}{2} s_0^{p-1} - \frac{p(p-1)}{2} t_0 s_0^{p-2} + \frac{t_0 + I\omega s_0}{z^2}\\ |
| | 0 &=& 2 \frac{\partial \Sigma}{\partial t_1} = I\omega \frac{p}{2} s_1^{p-1} + \frac{t_0}{(t_1-t_0)^2} - \frac{1}{t_1-t_0} - \frac{t_0+I\omega s_0}{z^2} + \frac{1}{z}\\ |
| | 0 &=& 2 \frac{\partial \Sigma}{\partial t_0} = - I\omega \frac{p}{2} s_0^{p-1} - \frac{t_0}{(t_1-t_0)^2} + \frac{t_0+I\omega s_0}{z^2}. |
| | \end{eqnarray*} |
| | 두 번째 식에서 네 번째 식을 빼어 $t_0=0$을 택하고, 첫 번째 식에서 세 번째 식을 빼어 $t_1 = \beta(1-s_1)$을 택한다. 이는 자유 에너지가 가지는 곡률의 역수로서 요동을 기술하는 $t_1$을 자기 감수율(magnetic susceptibility)과 연결시킨다 ([[수학:인자_그래프|온사거 보정항]] 참조). 이 결과들을 대입하면 $s_0=0$인데, 임의의 $N$차원 벡터 두 개는 $N\to\infty$에서 직교하기 마련이므로 이것도 직관에 부합한다. 이 결과들을 위 세 번째 방정식에 대입하면 결국 $I\omega = 2/\left[ p\beta (1-s_1) s_1^{p-1} \right] - \beta (1-s_1)/s_1$처럼 $I\omega$를 $s_1$에 대해 고쳐 적을 수 있게 된다. 이를 다시 $\Sigma(f)$에 대입하면, |
| | $$\Sigma(f) = \frac{1}{4}\beta^2 (1-p)(1-s_1)^2 s_1^{p-2} + \frac{1}{p^2\beta^2 (1-s_1)^2 s_1^{p-2}} - \frac{1}{p} + \frac12 - \frac12 \ln \left[ \frac{p}{2} \beta^2 (1-s_1)^2 s_1^{p-2} \right] + I\omega \left[ \frac{1}{2\beta} \ln (1-s_1) - g(s_1) + f \right].$$ |
| | $\omega$에 대해서도 미분이 0이 될 것을 요구하면 |
| | \begin{eqnarray*} |
| | 0 &=& \omega \frac{\partial \Sigma}{\partial \omega} = -\frac12 \omega^2 s_1^p + \frac{p}{4} I\omega t_1 s_1^{p-1} + I\omega \left[ \frac{1}{2\beta} \ln (1-s_1) - g(s_1) + f \right] + \frac{I\omega s_1}{2z}\\ |
| | I\omega \left[ \frac{1}{2\beta} \ln (1-s_1) - g(s_1) + f \right] &=& \frac12 \omega^2 s_1^p - \frac{p}{4} I\omega t_1 s_1^{p-1}- \frac{I\omega s_1}{2z}\\ |
| | &=& -1 + \frac{2}{p} - \frac{2}{p^2 \beta^2 (1-s_1)^2 s_1^{p-2}} - \frac12 \beta^2 (1-p)(1-s_1)^2 s_1^{p-2}. |
| | \end{eqnarray*} |
| | 따라서 복잡도는 아래처럼 구해지고 |
| | $$\Sigma(f) = - \frac{1}{4}\beta^2 (1-p)(1-s_1)^2 s_1^{p-2} - \frac{1}{p^2\beta^2 (1-s_1)^2 s_1^{p-2}} + \frac{1}{p} - \frac12 - \frac12 \ln \left[ \frac{p}{2} \beta^2 (1-s_1)^2 s_1^{p-2} \right],$$ |
| | 이는 크리산티와 좀머스(1995)의 계산과 일치한다. 더 자세히 들여다보면 $\omega$가 복제 대칭성 깨짐이 일어나는 점인 $x$에 대응되기 때문에, 비록 앞에서 대칭적인 $S_{ab}$와 $T_{ab}$를 가정했지만 이로부터 계산되는 복잡도는 모형의 정적인 상태를 1RSB의 차원에서 기술함을 논할 수 있다. |
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| * James P. Sethna, //Statistical Mechanics: Entropy, Order Parameters, and Complexity//, 2nd ed. (Oxford University Press, Oxford, 2021). | * James P. Sethna, //Statistical Mechanics: Entropy, Order Parameters, and Complexity//, 2nd ed. (Oxford University Press, Oxford, 2021). |
| * Andrea Cavagna, Juan P Garrahan and Irene Giardina, //Quenched complexity of the mean-field p-spin spherical model with external magnetic field//, [[https://doi.org/10.1088/0305-4470/32/5/004|J. Phys. A: Math. Gen. 32 711 (1999)]]. | * Andrea Cavagna, Juan P Garrahan and Irene Giardina, //Quenched complexity of the mean-field p-spin spherical model with external magnetic field//, [[https://doi.org/10.1088/0305-4470/32/5/004|J. Phys. A: Math. Gen. 32 711 (1999)]]. |
| | * T. Aspelmeier, A. J. Bray, and M. A. Moore, //Complexity of Ising Spin Glasses//, [[https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.92.087203|Phys. Rev. Lett. 92, 087203 (2004)]]. |
| | * G. Parisi, //Counting the number of metastable states in infinite-range models//, [[https://doi.org/10.48550/arXiv.cond-mat/0602349|arXiv:cond-mat/0602349]]. |
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| * Andrea Cavagna, Irene Giardina, and Giorgio Parisi, //Stationary points of the Thouless-Anderson-Palmer free energy//, [[https://doi.org/10.1103/PhysRevB.57.11251|Phys. Rev. B 57, 11251 (1998)]]. | * Andrea Cavagna, Irene Giardina, and Giorgio Parisi, //Stationary points of the Thouless-Anderson-Palmer free energy//, [[https://doi.org/10.1103/PhysRevB.57.11251|Phys. Rev. B 57, 11251 (1998)]]. |
| * H. Rieger, // The number of solutions of the Thouless-Anderson-Palmer equations for p-spin-interaction spin glasses//, [[https://doi.org/10.1103/PhysRevB.46.14655|Phys. Rev. B 46, 14655 (1992)]]. | * H. Rieger, // The number of solutions of the Thouless-Anderson-Palmer equations for p-spin-interaction spin glasses//, [[https://doi.org/10.1103/PhysRevB.46.14655|Phys. Rev. B 46, 14655 (1992)]]. |
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