| Both sides previous revision Previous revision Next revision | Previous revision |
| 물리:구면_p-스핀_유리_모형 [2026/05/01 08:22] – [베키-루에-스토라-튜틴(Becchi-Rouet-Stora-Tyutin, BRST) 대칭성] admin | 물리:구면_p-스핀_유리_모형 [2026/05/06 17:54] (current) – [무작위 평균] admin |
|---|
| $$\mathcal{N}'(f) = \int Dm ~\delta\left(\nabla_{m} f_\text{TAP} \right) \det \mathcal{A}(m) ~\delta\left(Nf_\text{TAP}-Nf\right).$$ | $$\mathcal{N}'(f) = \int Dm ~\delta\left(\nabla_{m} f_\text{TAP} \right) \det \mathcal{A}(m) ~\delta\left(Nf_\text{TAP}-Nf\right).$$ |
| $f$의 값이 충분히 낮다면 에너지 경관(energy landscape)은 수많은 극소점들을 가질 것이고 따라서 헤세 행렬의 [[수학:행렬식|행렬식(determinant)]] 값은 대개 양수일 것이며 $\mathcal{N}' \approx \mathcal{N}$일 것이다. 반면 $\varepsilon$를 높게 설정한다면 안장점들이 주로 존재하는 경관을 보게 될 것이며, [[수학:행렬식|행렬식]] 값의 부호가 자주 음수가 될 수 있으므로 위와 같은 계산에 뭔가 불안정성이 나타날 것이라 기대할 수 있다. | $f$의 값이 충분히 낮다면 에너지 경관(energy landscape)은 수많은 극소점들을 가질 것이고 따라서 헤세 행렬의 [[수학:행렬식|행렬식(determinant)]] 값은 대개 양수일 것이며 $\mathcal{N}' \approx \mathcal{N}$일 것이다. 반면 $\varepsilon$를 높게 설정한다면 안장점들이 주로 존재하는 경관을 보게 될 것이며, [[수학:행렬식|행렬식]] 값의 부호가 자주 음수가 될 수 있으므로 위와 같은 계산에 뭔가 불안정성이 나타날 것이라 기대할 수 있다. |
| |
| /* | |
| ====구면 조건==== | |
| 구면 조건 $g(\sigma) \equiv \sum_i \sigma_i^2 - N = 0$과 함께 $H$의 극소점들을 찾기 위해 [[수학:라그랑주 곱수]] $\Lambda$를 도입하자 (편의를 위해 $p=3$으로 가정하여 식을 적는다). | |
| $$H = - \sum_{i<k<l} J_{ikl} \sigma_i \sigma_k \sigma_l = -\frac{1}{p!} \sum_{ikl} J_{ikl} \sigma_i \sigma_k \sigma_l$$ | |
| 이므로 다음의 식을 얻는다: | |
| $$\frac{\partial H}{\partial \sigma_i} = -\frac{p}{p!} \sum_{kl} J_{ikl} \sigma_k \sigma_l = \frac{\partial g}{\partial \sigma_i} = 2\Lambda \sigma_i.$$ | |
| 양변에 $\sigma_i$를 곱하고 $i$에 대해 합하면, | |
| $$-\frac{p}{p!} \sum_i \sum_{kl} J_{ikl} \sigma_i \sigma_k \sigma_l = p H = \sum_i 2\Lambda \sigma_i^2 = 2\Lambda N.$$ | |
| 따라서 [[수학:라그랑주 곱수]]는 $\Lambda = pH/(2N)$이고 이를 다시 원래의 식에 대입하면, 풀어야 하는 방정식은 다음과 같다: | |
| $$-\frac{p}{p!} \sum_{kl} J_{ikl} \sigma_k \sigma_l - p \frac{1}{N} H(\sigma) \sigma_i = 0.$$ | |
| 에너지 밀도를 $H(\sigma)/N = \varepsilon$으로 고정한다면 | |
| $$-\frac{p}{p!} \sum_{kl} J_{ikl} \sigma_k \sigma_l - p \varepsilon \sigma_i = 0.$$ | |
| 마찬가지로 헤세 행렬의 원소를 구면 조건을 포함해 적으면 아래와 같다: | |
| $$\mathcal{H}_{ki} \equiv \frac{\partial^2 H}{\partial \sigma_k \partial \sigma_i} = - \frac{p(p-1)}{p!} \sum_l J_{ikl} \sigma_l - p\varepsilon \delta_{ik}.$$ | |
| 정리하면, 복잡도를 구하기 위해 먼저 다음의 식을 계산하고: | |
| $$\mathcal{N}(\varepsilon) \approx \int D\sigma \prod_i \delta\left(-\frac{p}{p!} \sum_{kl} J_{ikl} \sigma_k \sigma_l - p\varepsilon \sigma_i \right) \det \left( - \frac{p(p-1)}{p!} \sum_l J_{ikl} \sigma_l - p\varepsilon \delta_{ik} \right)$$ | |
| 이어 다음의 식에 대입한다: | |
| $$\Sigma(\varepsilon) = \lim_{N\to\infty} \frac{1}{N} \ln \mathcal{N}(\varepsilon).$$ | |
| */ | |
| |
| [[수학:디락_델타_함수|디락 델타 함수]]의 적분 표현을 도입하고 | [[수학:디락_델타_함수|디락 델타 함수]]의 적분 표현을 도입하고 |
| 따라서 | 따라서 |
| $$\langle \psi^b \bar{\psi}^a \rangle = - \langle \bar{\psi}^a \psi^b \rangle = i\langle m^b \lambda^a \rangle.$$ | $$\langle \psi^b \bar{\psi}^a \rangle = - \langle \bar{\psi}^a \psi^b \rangle = i\langle m^b \lambda^a \rangle.$$ |
| 이번에는 $O \equiv \lambda^b \bar{\psi}^a$로 놓으면, $0 = \langle \delta O \rangle = \langle (-\omega^b \epsilon \psi^b) \bar{\psi}^a \rangle + \langle \lambda^b (-\epsilon \lambda^a) \rangle$로부터 | 이번에는 $O \equiv \lambda^b \bar{\psi}^a$로 놓으면, $0 = \langle \delta O \rangle = \langle (-\omega^b \epsilon \psi^b) \bar{\psi}^a \rangle + \langle \lambda^b (-i\epsilon \lambda^a) \rangle$로부터 |
| $$\langle \omega^b \bar{\psi}^a \psi^b \rangle = \langle \lambda^a \lambda^b \rangle.$$ | $$\langle \omega^b \bar{\psi}^a \psi^b \rangle = i\langle \lambda^a \lambda^b \rangle.$$ |
| 앞으로 복제본에 상관없이 $\omega^b = \omega$라고 놓도록 하자. | 앞으로 복제본에 상관없이 $\omega^b = \omega$라고 놓도록 하자. |
| |
| |
| /* | |
| \begin{eqnarray*} | |
| \delta S &=& ip\varepsilon \sum_i \mu_i \eta \psi_i + i\frac{p}{p!} \sum_{ikl} J_{ikl} \left( \mu_i \sigma_k \eta \psi_l + \mu_i \eta \psi_k \sigma_l + \mu_i \eta \psi_k \eta \psi_l \right) - p\varepsilon \sum_i i\eta \mu_i \psi_i + \frac{p(p-1)}{p!} \sum_{ikl} J_{ikl} \left( -\eta \mu_i \psi_k \sigma_l + \bar{\psi}_i \psi_k \eta \psi_l - \eta \mu_i \psi_k \eta \psi_l \right) | |
| \end{eqnarray*} | |
| */ | |
| |
| /* | |
| ====무작위 평균==== | ====무작위 평균==== |
| ===0-RSB=== | ===리거(1992), 그리고 크리산티와 좀머스(1995)의 계산(작성 중)=== |
| 원래는 $\ln \mathcal{N}$의 평균을 봐야 하겠지만, 일단 $\mathcal{N}(\varepsilon)$에 바로 무작위 평균을 취해보자: | 여기에서는 $q$를 $m_i$들과 독립적인 변수로 취급하고 나중에 [[수학:디락_델타_함수|디락 델타 함수]]로써 $q = N^{-1}\sum_i m_i^2$의 제약을 둔다. |
| | $\zeta \equiv 1/(1-q) + \beta^2 p (p-1)(1-q) q^{p-2}/2$로 정의할 때 [[물리:tap_방정식|TAP 방정식]]을 다음처럼 적게 되고 |
| | $$\mathcal{T}_i = \zeta m_i - \frac{\beta}{(p-1)!} \sum_{k_2, \ldots, k_p} J_{i k_2 \ldots k_p} m_{k_2} \cdots m_{k_p} = 0$$ |
| | 헤세 행렬의 원소는 이렇게 주어진다: |
| | $$\mathcal{H}_{ij} = \frac{\partial \mathcal{T}_i}{\partial m_j} = \zeta \delta_{ij} - \frac{\beta}{(p-2)!} \sum_{k_3, \ldots, k_p} J_{ijk_3 \ldots k_p} m_{k_3} \cdots m_{k_p}.$$ |
| | 위에서 논의한 것처럼 행렬식 $\det \mathcal{H}$의 부호가 언제나 양수일 거라고 가정하면 해의 개수는 ($I^2=-1$) |
| \begin{eqnarray*} | \begin{eqnarray*} |
| \overline{\exp\left[ -\mathcal{S} \right]} &\propto& \exp\left( - ip\varepsilon \sum_i \mu_i \sigma_i -p\varepsilon\sum_i \bar{\psi}_i \psi_i \right) \prod_{i>k>l} \int dJ_{ikl} \exp\left[ -\frac12 J_{ikl}^2 \frac{2N^{p-1}}{p!} - ip J_{ikl} \mu_i \sigma_k \sigma_l - p(p-1) J_{ikl} \bar{\psi}_i \psi_k \sigma_l \right]. | \mathcal{N} &\approx& N\int_0^1 dq \int \prod_i dm_i \delta\left(Nq - \sum_i m_i^2 \right) \prod_i \delta\left(\mathcal{T}_i\right) \det \mathcal{H}\\ |
| | &=& N\int \frac{dq ~d\hat{q}}{2\pi} \int \prod_i \left(\frac{dm_i d\hat{m}_i}{2\pi}\right) \exp\left[I\hat{q} \left(Nq - \sum_i m_i^2 \right) \right] \exp \left[ I\zeta \sum_i \hat{m}_i m_i - \frac{I\beta}{(p-1)!} \sum_{i,k_2, \ldots, k_p} J_{i k_2 \ldots k_p} \hat{m}_i m_{k_2} \cdots m_{k_p}\right] \det \mathcal{H}\\ |
| \end{eqnarray*} | \end{eqnarray*} |
| $J_{ikl}$에 대한 평균은 아래처럼 계산되고 | $\mathcal{N}$에 대해 곧바로 무작위 평균을 취하도록 하자. 지수 함수뿐만 아니라 $\det \mathcal{H}$에도 $J_{ijk_3\ldots k_p}$가 포함되어 있지만, 평균을 취하는 과정에서 생겨나는 교차항을 무시할 수 있다고 하면 아래처럼 따로 평균을 취한 후 곱할 수 있다: |
| \begin{eqnarray*} | \begin{eqnarray*} |
| && \int dJ_{ikl} \exp\left[ -\frac12 J_{ikl}^2 \frac{2N^{p-1}}{p!} - ip J_{ikl} \mu_i \sigma_k \sigma_l - p(p-1) J_{ikl} \bar{\psi}_i \psi_k \sigma_l \right]\\ | \langle \mathcal{N} \rangle &\approx& |
| &=& \int dJ_{ikl} \exp\left[ -\frac12 J_{ikl}^2 \frac{2N^{p-1}}{p!} - i J_{ikl} \left( \mu_i \sigma_k \sigma_l + \sigma_i \mu_k \sigma_l + \sigma_i \sigma_k \mu_l \right) - J_{ikl} \left( \bar{\psi}_i \psi_k \sigma_l + \bar{\psi}_i \psi_l \sigma_k + \bar{\psi}_k \psi_i \sigma_l + \bar{\psi}_k \psi_l \sigma_i + \bar{\psi}_l \psi_i \sigma_k + \bar{\psi}_l \psi_k \sigma_i \right) \right]\\ | &=& N\int \frac{dq ~d\hat{q}}{2\pi} \int \prod_i \left(\frac{dm_i d\hat{m}_i}{2\pi}\right) \exp\left[I\zeta \sum_i \hat{m}_i m_i + I\hat{q} \left(Nq - \sum_i m_i^2 \right) \right] \Biggl< \exp \left[- \frac{I\beta}{(p-1)!} \sum_{i,k_2, \ldots, k_p} J_{i k_2 \ldots k_p} \hat{m}_i m_{k_2} \cdots m_{k_p}\right] \Biggr> |
| & \propto& \exp\left\{ \frac{p!}{4N^{p-1}} \left[i \left( \mu_i \sigma_k \sigma_l + \sigma_i \mu_k \sigma_l + \sigma_i \sigma_k \mu_l \right) + \left( \bar{\psi}_i \psi_k \sigma_l + \bar{\psi}_i \psi_l \sigma_k + \bar{\psi}_k \psi_i \sigma_l + \bar{\psi}_k \psi_l \sigma_i + \bar{\psi}_l \psi_i \sigma_k + \bar{\psi}_l \psi_k \sigma_i \right) \right]^2 \right\}\\ | \langle \det \mathcal{H} \rangle.\\ |
| \end{eqnarray*} | \end{eqnarray*} |
| $p!$을 아래처럼 흡수한다: | 이 중에서 앞의 평균은 다음처럼 계산되고 |
| \begin{eqnarray*} | \begin{eqnarray*} |
| &&\prod_{i>k>l} \exp\left\{ \frac{p!}{4N^{p-1}} \left[i \left( \mu_i \sigma_k \sigma_l + \sigma_i \mu_k \sigma_l + \sigma_i \sigma_k \mu_l \right) + \left( \bar{\psi}_i \psi_k \sigma_l + \bar{\psi}_i \psi_l \sigma_k + \bar{\psi}_k \psi_i \sigma_l + \bar{\psi}_k \psi_l \sigma_i + \bar{\psi}_l \psi_i \sigma_k + \bar{\psi}_l \psi_k \sigma_i \right) \right]^2 \right\}\\ | \prod_{k_1, \ldots, k_p} \Biggl< \exp \left[- \frac{I p \beta}{p!} J_{k_1 k_2 \ldots k_p} \hat{m}_{k_1} m_{k_2} \cdots m_{k_p}\right] \Biggr> |
| &\approx&\prod_{ikl} \exp\left\{ \frac{1}{4N^{p-1}} \left[i \left( \mu_i \sigma_k \sigma_l + \sigma_i \mu_k \sigma_l + \sigma_i \sigma_k \mu_l \right) + \left( \bar{\psi}_i \psi_k \sigma_l + \bar{\psi}_i \psi_l \sigma_k + \bar{\psi}_k \psi_i \sigma_l + \bar{\psi}_k \psi_l \sigma_i + \bar{\psi}_l \psi_i \sigma_k + \bar{\psi}_l \psi_k \sigma_i \right) \right]^2 \right\}. | &=& \prod_{k_1< \ldots<k_p} \exp \left\{ -\frac{\beta^2 p!}{4N^{p-1}} \left[ \frac{1}{(p-1)!} \sum_{\pi} \hat{m}_{\pi(k_1)} m_{\pi(k_2)} \cdots m_{\pi(k_p)} \right]^2 \right\}\\ |
| \end{eqnarray*} | \end{eqnarray*} |
| 그리고 제곱을 통해 등장하는 $\mu$와 [[수학:그라스만_대수|그라스만 변수]]와의 교차항은 결과에 기여하지 않는다고 가정하자. 이 가정은 나중에 얻게 되는 답과 부합한다. $\mu$에 의존하는 부분을 먼저 적어보면 | |
| \begin{eqnarray*} | |
| A &=&\int D\sigma \frac{D\mu}{(2\pi)^N} \exp\left[ -\frac{1}{4N^{p-1}} \sum_{ikl} \left( \mu_i \sigma_k \sigma_l + \sigma_i \mu_k \sigma_l + \sigma_i \sigma_k \mu_l \right)^2 - ip\varepsilon \sum_i \mu_i \sigma_i \right]\\ | |
| &=&\int D\sigma \frac{D\mu}{(2\pi)^N} \exp\left[ -\frac{1}{4N^{p-1}} \sum_{ikl} \left( \mu_i^2 \sigma_k^2 \sigma_l^2 + \sigma_i^2 \mu_k^2 \sigma_l^2 + \sigma_i^2 \sigma_k^2 \mu_l^2 + 2\mu_i \mu_k \sigma_i \sigma_k \sigma_l^2 + 2\mu_i \mu_l \sigma_i \sigma_k^2 \sigma_l + 2\mu_k \mu_l \sigma_i^2 \sigma_k \sigma_l \right) - ip\varepsilon \sum_i \mu_i \sigma_i \right]\\ | |
| &=&\int D\sigma \frac{D\mu}{(2\pi)^N} \exp\left[ -\frac{1}{4N^{p-1}} \left( p N^{p-1} \sum_i \mu_i^2 + p(p-1) N^{p-2} \sum_{ik} \mu_i \mu_k \sigma_i \sigma_k \right) - ip\varepsilon \sum_i \mu_i \sigma_i \right]\\ | |
| &=&\int D\sigma \frac{D\mu}{(2\pi)^N} \exp\left[ -\frac{p}{4} \sum_i \mu_i^2 - \frac{p(p-1)}{4N} \sum_{ik} \mu_i \mu_k \sigma_i \sigma_k - ip\varepsilon \sum_i \mu_i \sigma_i \right]\\ | |
| &=&\int D\sigma \frac{D\mu}{(2\pi)^N} \exp\left[ -\frac{p}{4} \sum_i \mu_i^2 - \frac{p(p-1)}{4N} \left(\sum_i \mu_i \sigma_i \right)^2 - ip\varepsilon \sum_i \mu_i \sigma_i \right]\\ | |
| &=&\left[\frac{N}{\pi p(p-1)} \right]^{1/2} \int D\sigma \frac{D\mu}{(2\pi)^N} \int_{-\infty}^{\infty} dz \exp\left[ -\frac{Nz^2}{p(p-1)} \right] \prod_{i=1}^N \exp\left[ -\frac{p}{4} \mu_i^2 + i(z-p\varepsilon) \mu_i \sigma_i \right]\\ | |
| &=&\left[\frac{N}{\pi p(p-1)} \right]^{1/2} (p\pi)^{-N/2} \int D\sigma \int_{-\infty}^{\infty} dz \exp\left[ -\frac{Nz^2}{p(p-1)} \right] \prod_{i=1}^N \exp\left[ -\frac{1}{p} (z-p\varepsilon)^2 \sigma_i^2 \right]\\ | |
| &=&\left[\frac{N}{\pi p(p-1)} \right]^{1/2} (p\pi)^{-N/2} \int D\sigma \int_{-\infty}^{\infty} dz \exp\left[ -\frac{Nz^2}{p(p-1)} \right] \exp\left[ -\frac{N}{p} (z-p\varepsilon)^2 \right]\\ | |
| &=&\left[\frac{N}{\pi p(p-1)} \right]^{1/2} (p\pi)^{-N/2} S_{N-1} \sqrt{N}^{N-1} \int_{-\infty}^{\infty} dz \exp\left[ -\frac{Nz^2}{p(p-1)} -\frac{N}{p} (z-p\varepsilon)^2 \right]\\ | |
| &=&\left[\frac{N}{\pi p(p-1)} \right]^{1/2} (p\pi)^{-N/2} S_{N-1} \sqrt{N}^{N-1} \exp(-N\varepsilon^2) \left[\frac{\pi(p-1)}{N}\right]^{1/2}\\ | |
| &=&p^{-1/2} (p\pi)^{-N/2} S_{N-1} \sqrt{N}^{N-1} \exp(-N\varepsilon^2). | |
| \end{eqnarray*} | |
| 이때 적분변수 $z$를 도입한 것은 [[수학:허바드-스트라토노비치_변환|허바드-스트라토노비치 변환]]을 사용하기 위해서였고, $\int D\sigma = S_{N-1} \sqrt{N}^{N-1}$은 $N$차원에 있는 반지름 $\sqrt{N}$인 구의 표면적으로서 $S_{N-1} \equiv 2\pi^{N/2} / \Gamma(N/2)$이다. $N$이 클 때에 아래와 같이 거동하므로 | |
| $$\Gamma\left(\frac{N}{2}\right) = \sqrt{\pi}\frac{(N-2)!!}{2^{(N-1)/2}} \sim N^{N/2} 2^{-(N-1)/2}.$$ | |
| 모두 종합하면 다음의 결과를 얻는다: | |
| $$\lim_{N\to\infty} \frac{1}{N} \ln A = \frac12 - \frac12 \ln \frac{p}{2} - \varepsilon^2.$$ | |
| */ | |
| |
| /* | ===카바냐 등(1999)의 계산(작성 중)=== |
| 이제 [[수학:그라스만_대수|그라스만 변수]]를 포함하는 부분을 계산한다: | ++++보기| |
| \begin{eqnarray*} | |
| B &=& \int D\sigma D\bar{\psi} D\psi \prod_{ikl} \exp\left\{ \frac{(p-1)^2}{4N^{p-1}} \left( \bar{\psi}_i \psi_k \sigma_l + \bar{\psi}_i \sigma_k \psi_l + \sigma_i \bar{\psi}_k \psi_l \right)^2 \right\}\\ | |
| &=& \int D\sigma D\bar{\psi} D\psi \prod_{ikl} \exp\left\{ \frac{(p-1)^2}{4N^{p-1}} \left( \bar{\psi}_i \psi_k \bar{\psi}_k \psi_l \sigma_l \sigma_i + \bar{\psi}_k \psi_l \bar{\psi}_i \psi_k \sigma_i \sigma_l \right) \right\}\\ | |
| &=& \int D\sigma D\bar{\psi} D\psi \prod_{ikl} \exp\left\{ \frac{(p-1)^2}{4N^{p-1}} \left( -\bar{\psi}_k \psi_k \bar{\psi}_i \psi_l \sigma_i \sigma_l - \bar{\psi}_k \psi_k \bar{\psi}_i \psi_l \sigma_i \sigma_l \right) \right\}\\ | |
| &=& \int D\sigma D\bar{\psi} D\psi \prod_{ikl} \exp\left\{ -\frac{(p-1)^2}{2N^{p-1}} \bar{\psi}_k \psi_k \bar{\psi}_i \psi_l \sigma_i \sigma_l \right\}\\ | |
| &=& \int D\sigma D\bar{\psi} D\psi \exp\left\{ -\frac{(p-1)^2}{2N^{p-1}} \left[\sum_k \bar{\psi}_k \psi_k\right] \left[ \sum_i \bar{\psi}_i \sigma_i \right] \left[ \sum_l \psi_l \sigma_l \right] \right\}\\ | |
| \end{eqnarray*} | |
| */ | |
| | |
| ====무작위 평균==== | |
| 먼저 $q \equiv N^{-1} \sum_i m_i^2$이고 온사거 반응 항을 $g(q) \equiv -(\beta/4) \left[ (p-1)q^p - pq^{p-1} +1\right]$라고 했을 때 다음과 같은 표현식들을 적어보자: | 먼저 $q \equiv N^{-1} \sum_i m_i^2$이고 온사거 반응 항을 $g(q) \equiv -(\beta/4) \left[ (p-1)q^p - pq^{p-1} +1\right]$라고 했을 때 다음과 같은 표현식들을 적어보자: |
| \begin{eqnarray*} | \begin{eqnarray*} |
| \tilde{\mathcal{S}}_J &=& \sum_{a=1}^n \left\{ \sum_{k=1}^N i \lambda^a_k \mathcal{T}_k \left(m^a\right) + \sum_{k,l=1}^N \bar{\psi}^a_k \mathcal{A}_{kl}\left(m^a\right) \psi^a_l + i\omega N \left[ f_\text{TAP} \left(m^a\right) - f \right] \right\} = \tilde{\mathcal{S}}_J^{(0)} + \tilde{\mathcal{S}}_J^{(1)} | \tilde{\mathcal{S}}_J &=& \sum_{a=1}^n \left\{ \sum_{k=1}^N i \lambda^a_k \mathcal{T}_k \left(m^a\right) + \sum_{k,l=1}^N \bar{\psi}^a_k \mathcal{A}_{kl}\left(m^a\right) \psi^a_l + i\omega N \left[ f_\text{TAP} \left(m^a\right) - f \right] \right\} = \tilde{\mathcal{S}}_J^{(0)} + \tilde{\mathcal{S}}_J^{(1)} |
| \end{eqnarray*} | \end{eqnarray*} |
| | 결합상수를 포함하지 않는 부분을 적어보자: |
| \begin{eqnarray*} | \begin{eqnarray*} |
| \exp\left[ -\tilde{\mathcal{S}}_J^{(0)} \right] &=& \exp \left\{ -i\sum_{a=1}^n \sum_{k=1}^N 2 \lambda_k^a m_k^a \left[ \frac{1}{2\beta(1-q^a)} + g'(q^a) \right] - 2 \sum_{a=1}^n \sum_{k=1}^N \bar{\psi}_k^a \psi_k^a \left[ \frac{1}{2\beta(1-q^a)} + g'(q^a) \right] - i \omega N \sum_{a=1}^n \left[ -\frac{1}{2\beta} \ln(1-q^a) + g(q^a) -f\right] \right\} | \exp\left[ -\tilde{\mathcal{S}}_J^{(0)} \right] &=& \exp \left\{ -2i\sum_{a=1}^n \sum_{k=1}^N \lambda_k^a m_k^a \left[ \frac{1}{2\beta(1-q^a)} + g'(q^a) \right] - 2 \sum_{a=1}^n \sum_{k=1}^N \bar{\psi}_k^a \psi_k^a \left[ \frac{1}{2\beta(1-q^a)} + g'(q^a) \right] - i \omega N \sum_{a=1}^n \left[ -\frac{1}{2\beta} \ln(1-q^a) + g(q^a) -f\right] \right\}. |
| \end{eqnarray*} | \end{eqnarray*} |
| | 이 중 앞의 두 항은 BRST 대칭성에 의해 상쇄될 것으로 생각할 수 있다. |
| | /* |
| \begin{eqnarray*} | \begin{eqnarray*} |
| \overline{\exp\left[ -\tilde{\mathcal{S}}_J \right]} &=& \overline{ \exp \left[-\sum_{a=1}^n \left\{ \sum_{k=1}^N i \lambda^a_k \mathcal{T}_k \left(m^a\right) + \sum_{k,l=1}^N \bar{\psi}^a_k \mathcal{A}_{kl}\left(m^a\right) \psi^a_l + i\omega N \left[ f_\text{TAP} \left(m^a\right) - f \right] \right\} \right]}\\ | \overline{\exp\left[ -\tilde{\mathcal{S}}_J \right]} &=& \overline{ \exp \left[-\sum_{a=1}^n \left\{ \sum_{k=1}^N i \lambda^a_k \mathcal{T}_k \left(m^a\right) + \sum_{k,l=1}^N \bar{\psi}^a_k \mathcal{A}_{kl}\left(m^a\right) \psi^a_l + i\omega N \left[ f_\text{TAP} \left(m^a\right) - f \right] \right\} \right]}\\ |
| &&\times \overline{\exp \left[ \sum_{k,i_2,\ldots,i_p} J_{ki_2\ldots i_p} \left( \frac{ip}{p!}\sum_{a=1}^n \lambda_k^a m_{i_2}^a \cdots m_{i_p}^a \right) + \sum_{k,l,i_3,\ldots,i_p} J_{kli_3\ldots i_p} \left( \frac{p(p-1)}{p!} \sum_{a=1}^n \bar{\psi}_k^a \psi_l^a m_{i_3}^a \cdots m_{i_p}^a \right) + \sum_{i_1,\ldots,i_p} J_{i_1 \ldots i_p} \left( \frac{i\omega}{p!} \sum_{a=1}^n m_{i_1}^a \cdots m_{i_p}^a \right) \right]}\\ | &&\times \overline{\exp \left[ \sum_{k,i_2,\ldots,i_p} J_{ki_2\ldots i_p} \left( \frac{ip}{p!}\sum_{a=1}^n \lambda_k^a m_{i_2}^a \cdots m_{i_p}^a \right) + \sum_{k,l,i_3,\ldots,i_p} J_{kli_3\ldots i_p} \left( \frac{p(p-1)}{p!} \sum_{a=1}^n \bar{\psi}_k^a \psi_l^a m_{i_3}^a \cdots m_{i_p}^a \right) + \sum_{i_1,\ldots,i_p} J_{i_1 \ldots i_p} \left( \frac{i\omega}{p!} \sum_{a=1}^n m_{i_1}^a \cdots m_{i_p}^a \right) \right]}\\ |
| \end{eqnarray*} | \end{eqnarray*} |
| 결합상수를 포함한 부분만을 뽑아서 적어보면: | */ |
| | 다음으로 결합상수를 포함한 부분을 적고 평균을 취하자: |
| \begin{eqnarray*} | \begin{eqnarray*} |
| &&\overline{\exp \left[ \sum_{i_1,\ldots,i_p} J_{i_1\ldots i_p} \left( \frac{ip}{p!}\sum_{a=1}^n \lambda_{i_1}^a m_{i_2}^a \cdots m_{i_p}^a \right) + \sum_{i_1,\ldots,i_p} J_{i_1\ldots i_p} \left( \frac{p(p-1)}{p!} \sum_{a=1}^n \bar{\psi}_{i_1}^a \psi_{i_2}^a m_{i_3}^a \cdots m_{i_p}^a \right) + \sum_{i_1,\ldots,i_p} J_{i_1 \ldots i_p} \left( \frac{i\omega}{p!} \sum_{a=1}^n m_{i_1}^a \cdots m_{i_p}^a \right) \right]}\\ | &&\overline{\exp \left[ \sum_{i_1,\ldots,i_p} J_{i_1\ldots i_p} \left( \frac{ip}{p!}\sum_{a=1}^n \lambda_{i_1}^a m_{i_2}^a \cdots m_{i_p}^a \right) + \sum_{i_1,\ldots,i_p} J_{i_1\ldots i_p} \left( \frac{p(p-1)}{p!} \sum_{a=1}^n \bar{\psi}_{i_1}^a \psi_{i_2}^a m_{i_3}^a \cdots m_{i_p}^a \right) + \sum_{i_1,\ldots,i_p} J_{i_1 \ldots i_p} \left( \frac{i\omega}{p!} \sum_{a=1}^n m_{i_1}^a \cdots m_{i_p}^a \right) \right]}\\ |
| &\approx& \prod_{i_1<\ldots<i_p} \exp \left[ \frac{1}{4N^p} \left( ip\sum_{a=1}^n \lambda_{i_1}^a m_{i_2}^a \cdots m_{i_p}^a + p(p-1) \sum_{a=1}^n \bar{\psi}_{i_1}^a \psi_{i_2}^a m_{i_3}^a \cdots m_{i_p}^a + i\omega \sum_{a=1}^n m_{i_1}^a \cdots m_{i_p}^a \right)^2 \right]\\ | &\approx& \prod_{i_1<\ldots<i_p} \exp \left[ \frac{1}{4N^p} \left( ip\sum_{a=1}^n \lambda_{i_1}^a m_{i_2}^a \cdots m_{i_p}^a + p(p-1) \sum_{a=1}^n \bar{\psi}_{i_1}^a \psi_{i_2}^a m_{i_3}^a \cdots m_{i_p}^a + i\omega \sum_{a=1}^n m_{i_1}^a \cdots m_{i_p}^a \right)^2 \right]\\ |
| \end{eqnarray*} | \end{eqnarray*} |
| | ++++ |
| |
| | ===카스텔라니와 카바냐(2005)의 계산(작성 중)=== |
| | ++++보기| |
| | $f_\text{TAP}$의 최소화가 $H$의 최소화와 일치한다는 특성을 이용한다. |
| | 구면 조건 $g(\sigma) \equiv \sum_i \sigma_i^2 - N = 0$과 함께 $H$의 극소점들을 찾기 위해 [[수학:라그랑주 곱수]] $\Lambda$를 도입하자 (편의를 위해 $p=3$으로 가정하여 식을 적는다). |
| | $$H = - \sum_{i<k<l} J_{ikl} \sigma_i \sigma_k \sigma_l = -\frac{1}{p!} \sum_{ikl} J_{ikl} \sigma_i \sigma_k \sigma_l$$ |
| | 이므로 다음의 식을 얻는다: |
| | $$\frac{\partial H}{\partial \sigma_i} = -\frac{p}{p!} \sum_{kl} J_{ikl} \sigma_k \sigma_l = \frac{\partial g}{\partial \sigma_i} = 2\Lambda \sigma_i.$$ |
| | 양변에 $\sigma_i$를 곱하고 $i$에 대해 합하면, |
| | $$-\frac{p}{p!} \sum_i \sum_{kl} J_{ikl} \sigma_i \sigma_k \sigma_l = p H = \sum_i 2\Lambda \sigma_i^2 = 2\Lambda N.$$ |
| | 따라서 [[수학:라그랑주 곱수]]는 $\Lambda = pH/(2N)$이고 이를 다시 원래의 식에 대입하면, 풀어야 하는 방정식은 다음과 같다: |
| | $$-\frac{p}{p!} \sum_{kl} J_{ikl} \sigma_k \sigma_l - p \frac{1}{N} H(\sigma) \sigma_i = 0.$$ |
| | 에너지 밀도를 $H(\sigma)/N = \varepsilon$으로 고정한다면 |
| | $$-\frac{p}{p!} \sum_{kl} J_{ikl} \sigma_k \sigma_l - p \varepsilon \sigma_i = 0.$$ |
| | 마찬가지로 헤세 행렬의 원소를 구면 조건을 포함해 적으면 아래와 같다: |
| | $$\mathcal{H}_{ki} \equiv \frac{\partial^2 H}{\partial \sigma_k \partial \sigma_i} = - \frac{p(p-1)}{p!} \sum_l J_{ikl} \sigma_l - p\varepsilon \delta_{ik}.$$ |
| | 정리하면, 복잡도를 구하기 위해 먼저 다음의 식을 계산하고: |
| | $$\mathcal{N}(\varepsilon) \approx \int D\sigma \prod_i \delta\left(-\frac{p}{p!} \sum_{kl} J_{ikl} \sigma_k \sigma_l - p\varepsilon \sigma_i \right) \det \left( - \frac{p(p-1)}{p!} \sum_l J_{ikl} \sigma_l - p\varepsilon \delta_{ik} \right)$$ |
| | 이어 다음의 식에 대입한다: |
| | $$\Sigma(\varepsilon) = \lim_{N\to\infty} \frac{1}{N} \ln \mathcal{N}(\varepsilon).$$ |
| |
| | 일단 $\mathcal{N}(\varepsilon)$에 바로 무작위 평균을 취해보자: |
| | \begin{eqnarray*} |
| | \overline{\exp\left[ -\mathcal{S} \right]} &\propto& \exp\left( - ip\varepsilon \sum_i \mu_i \sigma_i -p\varepsilon\sum_i \bar{\psi}_i \psi_i \right) \prod_{i>k>l} \int dJ_{ikl} \exp\left[ -\frac12 J_{ikl}^2 \frac{2N^{p-1}}{p!} - ip J_{ikl} \mu_i \sigma_k \sigma_l - p(p-1) J_{ikl} \bar{\psi}_i \psi_k \sigma_l \right]. |
| | \end{eqnarray*} |
| | $J_{ikl}$에 대한 평균은 아래처럼 계산되고 (여러 변수들이 곱해진 항들을 인덱스에 대해 대칭화했다): |
| | \begin{eqnarray*} |
| | && \int dJ_{ikl} \exp\left[ -\frac12 J_{ikl}^2 \frac{2N^{p-1}}{p!} - ip J_{ikl} \mu_i \sigma_k \sigma_l - p(p-1) J_{ikl} \bar{\psi}_i \psi_k \sigma_l \right]\\ |
| | &=& \int dJ_{ikl} \exp\left[ -\frac12 J_{ikl}^2 \frac{2N^{p-1}}{p!} - i J_{ikl} \left( \mu_i \sigma_k \sigma_l + \sigma_i \mu_k \sigma_l + \sigma_i \sigma_k \mu_l \right) - J_{ikl} \left( \bar{\psi}_i \psi_k \sigma_l + \bar{\psi}_i \psi_l \sigma_k + \bar{\psi}_k \psi_i \sigma_l + \bar{\psi}_k \psi_l \sigma_i + \bar{\psi}_l \psi_i \sigma_k + \bar{\psi}_l \psi_k \sigma_i \right) \right]\\ |
| | & \propto& \exp\left\{ \frac{p!}{4N^{p-1}} \left[i \left( \mu_i \sigma_k \sigma_l + \sigma_i \mu_k \sigma_l + \sigma_i \sigma_k \mu_l \right) + \left( \bar{\psi}_i \psi_k \sigma_l + \bar{\psi}_i \psi_l \sigma_k + \bar{\psi}_k \psi_i \sigma_l + \bar{\psi}_k \psi_l \sigma_i + \bar{\psi}_l \psi_i \sigma_k + \bar{\psi}_l \psi_k \sigma_i \right) \right]^2 \right\}\\ |
| | \end{eqnarray*} |
| | $p!$을 아래처럼 흡수한다: |
| | \begin{eqnarray*} |
| | &&\prod_{i>k>l} \exp\left\{ \frac{p!}{4N^{p-1}} \left[i \left( \mu_i \sigma_k \sigma_l + \sigma_i \mu_k \sigma_l + \sigma_i \sigma_k \mu_l \right) + \left( \bar{\psi}_i \psi_k \sigma_l + \bar{\psi}_i \psi_l \sigma_k + \bar{\psi}_k \psi_i \sigma_l + \bar{\psi}_k \psi_l \sigma_i + \bar{\psi}_l \psi_i \sigma_k + \bar{\psi}_l \psi_k \sigma_i \right) \right]^2 \right\}\\ |
| | &\approx&\prod_{ikl} \exp\left\{ \frac{1}{4N^{p-1}} \left[i \left( \mu_i \sigma_k \sigma_l + \sigma_i \mu_k \sigma_l + \sigma_i \sigma_k \mu_l \right) + \left( \bar{\psi}_i \psi_k \sigma_l + \bar{\psi}_i \psi_l \sigma_k + \bar{\psi}_k \psi_i \sigma_l + \bar{\psi}_k \psi_l \sigma_i + \bar{\psi}_l \psi_i \sigma_k + \bar{\psi}_l \psi_k \sigma_i \right) \right]^2 \right\}. |
| | \end{eqnarray*} |
| | 그리고 제곱을 통해 등장하는 교차항($\mu$와 [[수학:그라스만_대수|그라스만 변수]]의 곱)은 결과에 기여하지 않는다고 가정하자. 이 가정은 나중에 얻게 되는 답과 부합한다. $\mu$에 의존하는 부분을 먼저 적어보면 |
| | \begin{eqnarray*} |
| | A &=&\int D\sigma \frac{D\mu}{(2\pi)^N} \exp\left[ -\frac{1}{4N^{p-1}} \sum_{ikl} \left( \mu_i \sigma_k \sigma_l + \sigma_i \mu_k \sigma_l + \sigma_i \sigma_k \mu_l \right)^2 - ip\varepsilon \sum_i \mu_i \sigma_i \right]\\ |
| | &=&\int D\sigma \frac{D\mu}{(2\pi)^N} \exp\left[ -\frac{1}{4N^{p-1}} \sum_{ikl} \left( \mu_i^2 \sigma_k^2 \sigma_l^2 + \sigma_i^2 \mu_k^2 \sigma_l^2 + \sigma_i^2 \sigma_k^2 \mu_l^2 + 2\mu_i \mu_k \sigma_i \sigma_k \sigma_l^2 + 2\mu_i \mu_l \sigma_i \sigma_k^2 \sigma_l + 2\mu_k \mu_l \sigma_i^2 \sigma_k \sigma_l \right) - ip\varepsilon \sum_i \mu_i \sigma_i \right]\\ |
| | &=&\int D\sigma \frac{D\mu}{(2\pi)^N} \exp\left[ -\frac{1}{4N^{p-1}} \left( p N^{p-1} \sum_i \mu_i^2 + p(p-1) N^{p-2} \sum_{ik} \mu_i \mu_k \sigma_i \sigma_k \right) - ip\varepsilon \sum_i \mu_i \sigma_i \right]\\ |
| | &=&\int D\sigma \frac{D\mu}{(2\pi)^N} \exp\left[ -\frac{p}{4} \sum_i \mu_i^2 - \frac{p(p-1)}{4N} \sum_{ik} \mu_i \mu_k \sigma_i \sigma_k - ip\varepsilon \sum_i \mu_i \sigma_i \right]\\ |
| | &=&\int D\sigma \frac{D\mu}{(2\pi)^N} \exp\left[ -\frac{p}{4} \sum_i \mu_i^2 - \frac{p(p-1)}{4N} \left(\sum_i \mu_i \sigma_i \right)^2 - ip\varepsilon \sum_i \mu_i \sigma_i \right]\\ |
| | &=&\left[\frac{N}{\pi p(p-1)} \right]^{1/2} \int D\sigma \frac{D\mu}{(2\pi)^N} \int_{-\infty}^{\infty} dz \exp\left[ -\frac{Nz^2}{p(p-1)} \right] \prod_{i=1}^N \exp\left[ -\frac{p}{4} \mu_i^2 + i(z-p\varepsilon) \mu_i \sigma_i \right]\\ |
| | &=&\left[\frac{N}{\pi p(p-1)} \right]^{1/2} (p\pi)^{-N/2} \int D\sigma \int_{-\infty}^{\infty} dz \exp\left[ -\frac{Nz^2}{p(p-1)} \right] \prod_{i=1}^N \exp\left[ -\frac{1}{p} (z-p\varepsilon)^2 \sigma_i^2 \right]\\ |
| | &=&\left[\frac{N}{\pi p(p-1)} \right]^{1/2} (p\pi)^{-N/2} \int D\sigma \int_{-\infty}^{\infty} dz \exp\left[ -\frac{Nz^2}{p(p-1)} \right] \exp\left[ -\frac{N}{p} (z-p\varepsilon)^2 \right]\\ |
| | &=&\left[\frac{N}{\pi p(p-1)} \right]^{1/2} (p\pi)^{-N/2} S_{N-1} \sqrt{N}^{N-1} \int_{-\infty}^{\infty} dz \exp\left[ -\frac{Nz^2}{p(p-1)} -\frac{N}{p} (z-p\varepsilon)^2 \right]\\ |
| | &=&\left[\frac{N}{\pi p(p-1)} \right]^{1/2} (p\pi)^{-N/2} S_{N-1} \sqrt{N}^{N-1} \exp(-N\varepsilon^2) \left[\frac{\pi(p-1)}{N}\right]^{1/2}\\ |
| | &=&p^{-1/2} (p\pi)^{-N/2} S_{N-1} \sqrt{N}^{N-1} \exp(-N\varepsilon^2). |
| | \end{eqnarray*} |
| | 이때 적분변수 $z$를 도입한 것은 [[수학:허바드-스트라토노비치_변환|허바드-스트라토노비치 변환]]을 사용하기 위해서였고, $\int D\sigma = S_{N-1} \sqrt{N}^{N-1}$은 $N$차원에 있는 반지름 $\sqrt{N}$인 구의 표면적으로서 $S_{N-1} \equiv 2\pi^{N/2} / \Gamma(N/2)$이다. $N$이 클 때에 아래와 같이 거동하므로 |
| | $$\Gamma\left(\frac{N}{2}\right) = \sqrt{\pi}\frac{(N-2)!!}{2^{(N-1)/2}} \sim N^{N/2} 2^{-(N-1)/2}.$$ |
| | 모두 종합하면 다음의 결과를 얻는다: |
| | $$\lim_{N\to\infty} \frac{1}{N} \ln A = \frac12 - \frac12 \ln \frac{p}{2} - \varepsilon^2.$$ |
| | |
| | /* |
| | 이제 [[수학:그라스만_대수|그라스만 변수]]를 포함하는 부분을 계산한다: |
| | \begin{eqnarray*} |
| | B &=& \int D\sigma D\bar{\psi} D\psi \prod_{ikl} \exp\left\{ \frac{(p-1)^2}{4N^{p-1}} \left( \bar{\psi}_i \psi_k \sigma_l + \bar{\psi}_i \sigma_k \psi_l + \sigma_i \bar{\psi}_k \psi_l \right)^2 \right\}\\ |
| | &=& \int D\sigma D\bar{\psi} D\psi \prod_{ikl} \exp\left\{ \frac{(p-1)^2}{4N^{p-1}} \left( \bar{\psi}_i \psi_k \bar{\psi}_k \psi_l \sigma_l \sigma_i + \bar{\psi}_k \psi_l \bar{\psi}_i \psi_k \sigma_i \sigma_l \right) \right\}\\ |
| | &=& \int D\sigma D\bar{\psi} D\psi \prod_{ikl} \exp\left\{ \frac{(p-1)^2}{4N^{p-1}} \left( -\bar{\psi}_k \psi_k \bar{\psi}_i \psi_l \sigma_i \sigma_l - \bar{\psi}_k \psi_k \bar{\psi}_i \psi_l \sigma_i \sigma_l \right) \right\}\\ |
| | &=& \int D\sigma D\bar{\psi} D\psi \prod_{ikl} \exp\left\{ -\frac{(p-1)^2}{2N^{p-1}} \bar{\psi}_k \psi_k \bar{\psi}_i \psi_l \sigma_i \sigma_l \right\}\\ |
| | &=& \int D\sigma D\bar{\psi} D\psi \exp\left\{ -\frac{(p-1)^2}{2N^{p-1}} \left[\sum_k \bar{\psi}_k \psi_k\right] \left[ \sum_i \bar{\psi}_i \sigma_i \right] \left[ \sum_l \psi_l \sigma_l \right] \right\}\\ |
| | \end{eqnarray*} |
| | */ |
| | /* |
| | \begin{eqnarray*} |
| | \delta S &=& ip\varepsilon \sum_i \mu_i \eta \psi_i + i\frac{p}{p!} \sum_{ikl} J_{ikl} \left( \mu_i \sigma_k \eta \psi_l + \mu_i \eta \psi_k \sigma_l + \mu_i \eta \psi_k \eta \psi_l \right) - p\varepsilon \sum_i i\eta \mu_i \psi_i + \frac{p(p-1)}{p!} \sum_{ikl} J_{ikl} \left( -\eta \mu_i \psi_k \sigma_l + \bar{\psi}_i \psi_k \eta \psi_l - \eta \mu_i \psi_k \eta \psi_l \right) |
| | \end{eqnarray*} |
| | */ |
| | ++++ |
| =====일반화된 자유 에너지===== | =====일반화된 자유 에너지===== |
| 평형 분배 함수 $Z$를 다음처럼 적어보자: | 평형 분배 함수 $Z$를 다음처럼 적어보자: |
| * James P. Sethna, //Statistical Mechanics: Entropy, Order Parameters, and Complexity//, 2nd ed. (Oxford University Press, Oxford, 2021). | * James P. Sethna, //Statistical Mechanics: Entropy, Order Parameters, and Complexity//, 2nd ed. (Oxford University Press, Oxford, 2021). |
| * Andrea Cavagna, Juan P Garrahan and Irene Giardina, //Quenched complexity of the mean-field p-spin spherical model with external magnetic field//, [[https://doi.org/10.1088/0305-4470/32/5/004|J. Phys. A: Math. Gen. 32 711 (1999)]]. | * Andrea Cavagna, Juan P Garrahan and Irene Giardina, //Quenched complexity of the mean-field p-spin spherical model with external magnetic field//, [[https://doi.org/10.1088/0305-4470/32/5/004|J. Phys. A: Math. Gen. 32 711 (1999)]]. |
| | * T. Aspelmeier, A. J. Bray, and M. A. Moore, //Complexity of Ising Spin Glasses//, [[https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.92.087203|Phys. Rev. Lett. 92, 087203 (2004)]]. |
| | * G. Parisi, //Counting the number of metastable states in infinite-range models//, [[https://doi.org/10.48550/arXiv.cond-mat/0602349|arXiv:cond-mat/0602349]]. |
| /* | /* |
| * Andrea Cavagna, Irene Giardina, and Giorgio Parisi, //Stationary points of the Thouless-Anderson-Palmer free energy//, [[https://doi.org/10.1103/PhysRevB.57.11251|Phys. Rev. B 57, 11251 (1998)]]. | * Andrea Cavagna, Irene Giardina, and Giorgio Parisi, //Stationary points of the Thouless-Anderson-Palmer free energy//, [[https://doi.org/10.1103/PhysRevB.57.11251|Phys. Rev. B 57, 11251 (1998)]]. |
| * H. Rieger, // The number of solutions of the Thouless-Anderson-Palmer equations for p-spin-interaction spin glasses//, [[https://doi.org/10.1103/PhysRevB.46.14655|Phys. Rev. B 46, 14655 (1992)]]. | * H. Rieger, // The number of solutions of the Thouless-Anderson-Palmer equations for p-spin-interaction spin glasses//, [[https://doi.org/10.1103/PhysRevB.46.14655|Phys. Rev. B 46, 14655 (1992)]]. |
| */ | */ |