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| 물리:구면_p-스핀_유리_모형 [2026/05/01 22:13] – [무작위 평균] admin | 물리:구면_p-스핀_유리_모형 [2026/05/07 17:14] (current) – [무작위 평균] admin |
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| $f$의 값이 충분히 낮다면 에너지 경관(energy landscape)은 수많은 극소점들을 가질 것이고 따라서 헤세 행렬의 [[수학:행렬식|행렬식(determinant)]] 값은 대개 양수일 것이며 $\mathcal{N}' \approx \mathcal{N}$일 것이다. 반면 $\varepsilon$를 높게 설정한다면 안장점들이 주로 존재하는 경관을 보게 될 것이며, [[수학:행렬식|행렬식]] 값의 부호가 자주 음수가 될 수 있으므로 위와 같은 계산에 뭔가 불안정성이 나타날 것이라 기대할 수 있다. | $f$의 값이 충분히 낮다면 에너지 경관(energy landscape)은 수많은 극소점들을 가질 것이고 따라서 헤세 행렬의 [[수학:행렬식|행렬식(determinant)]] 값은 대개 양수일 것이며 $\mathcal{N}' \approx \mathcal{N}$일 것이다. 반면 $\varepsilon$를 높게 설정한다면 안장점들이 주로 존재하는 경관을 보게 될 것이며, [[수학:행렬식|행렬식]] 값의 부호가 자주 음수가 될 수 있으므로 위와 같은 계산에 뭔가 불안정성이 나타날 것이라 기대할 수 있다. |
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| /* | [[수학:디락_델타_함수|디락 델타 함수]]의 적분 표현을 도입하고 ($I \equiv \sqrt{-1}$) |
| ====구면 조건==== | $$\prod_i \delta(X_i) = \int \frac{D\lambda}{(2\pi)^N} \exp\left( -I \sum_{i=1}^N \lambda_i X_i \right)$$ |
| 구면 조건 $g(\sigma) \equiv \sum_i \sigma_i^2 - N = 0$과 함께 $H$의 극소점들을 찾기 위해 [[수학:라그랑주 곱수]] $\Lambda$를 도입하자 (편의를 위해 $p=3$으로 가정하여 식을 적는다). | $$\delta\left( Nf_\text{TAP} - Nf \right) = \int \frac{d\omega}{2\pi} \exp\left[ -I \omega N(f_\text{TAP} - f) \right]$$ |
| $$H = - \sum_{i<k<l} J_{ikl} \sigma_i \sigma_k \sigma_l = -\frac{1}{p!} \sum_{ikl} J_{ikl} \sigma_i \sigma_k \sigma_l$$ | |
| 이므로 다음의 식을 얻는다: | |
| $$\frac{\partial H}{\partial \sigma_i} = -\frac{p}{p!} \sum_{kl} J_{ikl} \sigma_k \sigma_l = \frac{\partial g}{\partial \sigma_i} = 2\Lambda \sigma_i.$$ | |
| 양변에 $\sigma_i$를 곱하고 $i$에 대해 합하면, | |
| $$-\frac{p}{p!} \sum_i \sum_{kl} J_{ikl} \sigma_i \sigma_k \sigma_l = p H = \sum_i 2\Lambda \sigma_i^2 = 2\Lambda N.$$ | |
| 따라서 [[수학:라그랑주 곱수]]는 $\Lambda = pH/(2N)$이고 이를 다시 원래의 식에 대입하면, 풀어야 하는 방정식은 다음과 같다: | |
| $$-\frac{p}{p!} \sum_{kl} J_{ikl} \sigma_k \sigma_l - p \frac{1}{N} H(\sigma) \sigma_i = 0.$$ | |
| 에너지 밀도를 $H(\sigma)/N = \varepsilon$으로 고정한다면 | |
| $$-\frac{p}{p!} \sum_{kl} J_{ikl} \sigma_k \sigma_l - p \varepsilon \sigma_i = 0.$$ | |
| 마찬가지로 헤세 행렬의 원소를 구면 조건을 포함해 적으면 아래와 같다: | |
| $$\mathcal{H}_{ki} \equiv \frac{\partial^2 H}{\partial \sigma_k \partial \sigma_i} = - \frac{p(p-1)}{p!} \sum_l J_{ikl} \sigma_l - p\varepsilon \delta_{ik}.$$ | |
| 정리하면, 복잡도를 구하기 위해 먼저 다음의 식을 계산하고: | |
| $$\mathcal{N}(\varepsilon) \approx \int D\sigma \prod_i \delta\left(-\frac{p}{p!} \sum_{kl} J_{ikl} \sigma_k \sigma_l - p\varepsilon \sigma_i \right) \det \left( - \frac{p(p-1)}{p!} \sum_l J_{ikl} \sigma_l - p\varepsilon \delta_{ik} \right)$$ | |
| 이어 다음의 식에 대입한다: | |
| $$\Sigma(\varepsilon) = \lim_{N\to\infty} \frac{1}{N} \ln \mathcal{N}(\varepsilon).$$ | |
| */ | |
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| [[수학:디락_델타_함수|디락 델타 함수]]의 적분 표현을 도입하고 | |
| $$\prod_i \delta(X_i) = \int \frac{D\lambda}{(2\pi)^N} \exp\left( -i \sum_{i=1}^N \lambda_i X_i \right)$$ | |
| $$\delta\left( Nf_\text{TAP} - Nf \right) = \int \frac{d\omega}{2\pi} \exp\left[ -i \omega N(f_\text{TAP} - f) \right]$$ | |
| [[수학:행렬식|행렬식]]의 계산은 $\{\bar{\psi}_i, \psi_i\} = 0$을 만족하는 [[수학:그라스만_대수|그라스만 변수]]의 [[수학:허바드-스트라토노비치_변환|적분 표현]]으로 나타낸다: | [[수학:행렬식|행렬식]]의 계산은 $\{\bar{\psi}_i, \psi_i\} = 0$을 만족하는 [[수학:그라스만_대수|그라스만 변수]]의 [[수학:허바드-스트라토노비치_변환|적분 표현]]으로 나타낸다: |
| $$\det A = \int D\bar{\psi} D\psi \exp\left( -\sum_{ik}^N \bar{\psi}_i A_{ik} \psi_k \right).$$ | $$\det A = \int D\bar{\psi} D\psi \exp\left( -\sum_{ik}^N \bar{\psi}_i A_{ik} \psi_k \right).$$ |
| \end{eqnarray*} | \end{eqnarray*} |
| 로서 작용 $\mathcal{S}_J$는 다음처럼 정의된다: | 로서 작용 $\mathcal{S}_J$는 다음처럼 정의된다: |
| $$\mathcal{S}_J (m,\lambda,\bar{\psi},\psi, \omega) \equiv \sum_{k=1}^N i \lambda_k \mathcal{T}_k + \sum_{j,k=1}^N \bar{\psi}_j \mathcal{A}_{jk} \psi_k + i\omega N\left( f_\text{TAP} - f \right).$$ | $$\mathcal{S}_J (m,\lambda,\bar{\psi},\psi, \omega) \equiv \sum_{k=1}^N I \lambda_k \mathcal{T}_k + \sum_{j,k=1}^N \bar{\psi}_j \mathcal{A}_{jk} \psi_k + I\omega N\left( f_\text{TAP} - f \right).$$ |
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| 우리는 $\mathcal{N}$ 자체가 아니라 $\ln \mathcal{N}$의 무작위 평균을 취해야 하므로 복제 방법을 사용하도록 한다. 복제본의 수는 $n$개이고, 복제본을 가리키기 위한 인덱스는 $a=1,\ldots,n$이다. 복제본까지 포함하여 전체 작용을 적으면 | 우리는 $\mathcal{N}$ 자체가 아니라 $\ln \mathcal{N}$의 무작위 평균을 취해야 하므로 복제 방법을 사용하도록 한다. 복제본의 수는 $n$개이고, 복제본을 가리키기 위한 인덱스는 $a=1,\ldots,n$이다. 복제본까지 포함하여 전체 작용을 적으면 |
| $$\tilde{\mathcal{S}}_J = \sum_{a=1}^n \left\{ \sum_{k=1}^N i \lambda^a_k \mathcal{T}_k \left(m^a\right) + \sum_{j,k=1}^N \bar{\psi}^a_j \mathcal{A}_{jk}\left(m^a\right) \psi^a_k + i\omega^a N\left[ f_\text{TAP} \left(m^a\right) - f \right] \right\}.$$ | $$\tilde{\mathcal{S}}_J = \sum_{a=1}^n \left\{ \sum_{k=1}^N I \lambda^a_k \mathcal{T}_k \left(m^a\right) + \sum_{j,k=1}^N \bar{\psi}^a_j \mathcal{A}_{jk}\left(m^a\right) \psi^a_k + I\omega^a N\left[ f_\text{TAP} \left(m^a\right) - f \right] \right\}.$$ |
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| \begin{eqnarray*} | \begin{eqnarray*} |
| m_i &\to& m_i + \epsilon \psi_i\\ | m_i &\to& m_i + \epsilon \psi_i\\ |
| \bar{\psi}_i &\to& \bar{\psi}_i - i\epsilon \lambda_i\\ | \bar{\psi}_i &\to& \bar{\psi}_i - I\epsilon \lambda_i\\ |
| \lambda_i &\to& \lambda_i - \omega \epsilon \psi_i\\ | \lambda_i &\to& \lambda_i - \omega \epsilon \psi_i\\ |
| \psi_i &\to& \psi_i\\ | \psi_i &\to& \psi_i\\ |
| 이 변환에 따른 $\mathcal{S}$의 변화량을 적어보자: | 이 변환에 따른 $\mathcal{S}$의 변화량을 적어보자: |
| \begin{eqnarray*} | \begin{eqnarray*} |
| \delta S &=& \sum_k \left(i \delta \lambda_k \mathcal{T}_k + i\lambda_k \delta \mathcal{T}_k\right) + \sum_{jk} \left( \delta\bar{\psi}_j \mathcal{A}_{jk} \psi_k + \bar{\psi}_j \delta \mathcal{A}_{jk} \psi_k \right) + i\omega N\delta f_\text{TAP}\\ | \delta S &=& \sum_k \left(I \delta \lambda_k \mathcal{T}_k + I\lambda_k \delta \mathcal{T}_k\right) + \sum_{jk} \left( \delta\bar{\psi}_j \mathcal{A}_{jk} \psi_k + \bar{\psi}_j \delta \mathcal{A}_{jk} \psi_k \right) + I\omega N\delta f_\text{TAP}\\ |
| &=& \sum_k \left(-i\omega \epsilon \psi_k \mathcal{T}_k + i\lambda_k \delta \mathcal{T}_k\right) + \sum_{jk} \left( -i\epsilon \lambda_j \mathcal{A}_{jk} \psi_k + \bar{\psi}_j \delta \mathcal{A}_{jk} \psi_k \right) + i\omega N\delta f_\text{TAP}\\ | &=& \sum_k \left(-I\omega \epsilon \psi_k \mathcal{T}_k + I\lambda_k \delta \mathcal{T}_k\right) + \sum_{jk} \left( -i\epsilon \lambda_j \mathcal{A}_{jk} \psi_k + \bar{\psi}_j \delta \mathcal{A}_{jk} \psi_k \right) + I\omega N\delta f_\text{TAP}\\ |
| &=& \sum_k \left(-i\omega \epsilon \psi_k \mathcal{T}_k + i\lambda_k \sum_l \mathcal{A}_{kl} \epsilon \psi_l \right) + \sum_{jk} \left( -i\epsilon \lambda_j \mathcal{A}_{jk} \psi_k + \bar{\psi}_j \delta \mathcal{A}_{jk} \psi_k \right) + i\omega \sum_k \mathcal{T}_k \epsilon \psi_k. | &=& \sum_k \left(-I\omega \epsilon \psi_k \mathcal{T}_k + I\lambda_k \sum_l \mathcal{A}_{kl} \epsilon \psi_l \right) + \sum_{jk} \left( -i\epsilon \lambda_j \mathcal{A}_{jk} \psi_k + \bar{\psi}_j \delta \mathcal{A}_{jk} \psi_k \right) + I\omega \sum_k \mathcal{T}_k \epsilon \psi_k. |
| \end{eqnarray*} | \end{eqnarray*} |
| 이때 $\delta \mathcal{A}_{jk} = \sum_l \left(\partial \mathcal{A}_{jk}/\partial m_l\right) \epsilon \psi_l$ | 이때 $\delta \mathcal{A}_{jk} = \sum_l \left(\partial \mathcal{A}_{jk}/\partial m_l\right) \epsilon \psi_l$ |
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| 이제 연산자 $O \equiv m^b \bar{\psi}^a = \sum_k m^b_k \bar{\psi}^a_k$를 생각하고 위 변환을 취해보면, 작용이 불변하므로 대칭성이 자발적으로 깨지지 않는 한 연산자의 기댓값 역시 변하지 않을 것이다: | 이제 연산자 $O \equiv m^b \bar{\psi}^a = \sum_k m^b_k \bar{\psi}^a_k$를 생각하고 위 변환을 취해보면, 작용이 불변하므로 대칭성이 자발적으로 깨지지 않는 한 연산자의 기댓값 역시 변하지 않을 것이다: |
| $0 = \langle \delta O \rangle = \langle \epsilon \psi^b \bar{\psi}^a \rangle + \langle m^b (-i\epsilon \lambda^a) \rangle$. | $0 = \langle \delta O \rangle = \langle \epsilon \psi^b \bar{\psi}^a \rangle + \langle m^b (-I\epsilon \lambda^a) \rangle$. |
| 따라서 | 따라서 |
| $$\langle \psi^b \bar{\psi}^a \rangle = - \langle \bar{\psi}^a \psi^b \rangle = i\langle m^b \lambda^a \rangle.$$ | $$\langle \psi^b \bar{\psi}^a \rangle = - \langle \bar{\psi}^a \psi^b \rangle = I\langle m^b \lambda^a \rangle.$$ |
| 이번에는 $O \equiv \lambda^b \bar{\psi}^a$로 놓으면, $0 = \langle \delta O \rangle = \langle (-\omega^b \epsilon \psi^b) \bar{\psi}^a \rangle + \langle \lambda^b (-\epsilon \lambda^a) \rangle$로부터 | 이번에는 $O \equiv \lambda^b \bar{\psi}^a$로 놓으면, $0 = \langle \delta O \rangle = \langle (-\omega^b \epsilon \psi^b) \bar{\psi}^a \rangle + \langle \lambda^b (-I\epsilon \lambda^a) \rangle$로부터 |
| $$\langle \omega^b \bar{\psi}^a \psi^b \rangle = \langle \lambda^a \lambda^b \rangle.$$ | $$\langle \omega^b \bar{\psi}^a \psi^b \rangle = I\langle \lambda^a \lambda^b \rangle.$$ |
| 앞으로 복제본에 상관없이 $\omega^b = \omega$라고 놓도록 하자. | 앞으로 복제본에 상관없이 $\omega^b = \omega$라고 놓도록 하자. |
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| /* | |
| \begin{eqnarray*} | |
| \delta S &=& ip\varepsilon \sum_i \mu_i \eta \psi_i + i\frac{p}{p!} \sum_{ikl} J_{ikl} \left( \mu_i \sigma_k \eta \psi_l + \mu_i \eta \psi_k \sigma_l + \mu_i \eta \psi_k \eta \psi_l \right) - p\varepsilon \sum_i i\eta \mu_i \psi_i + \frac{p(p-1)}{p!} \sum_{ikl} J_{ikl} \left( -\eta \mu_i \psi_k \sigma_l + \bar{\psi}_i \psi_k \eta \psi_l - \eta \mu_i \psi_k \eta \psi_l \right) | |
| \end{eqnarray*} | |
| */ | |
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| /* | |
| ====무작위 평균==== | ====무작위 평균==== |
| ===0-RSB=== | ===리거(1992), 그리고 크리산티와 좀머스(1995)의 계산(작성 중)=== |
| 원래는 $\ln \mathcal{N}$의 평균을 봐야 하겠지만, 일단 $\mathcal{N}(\varepsilon)$에 바로 무작위 평균을 취해보자: | 여기에서는 $q$를 $m_i$들과 독립적인 변수로 취급하고 나중에 [[수학:디락_델타_함수|디락 델타 함수]]로써 $q = N^{-1}\sum_i m_i^2$의 제약을 둔다. |
| | $\zeta \equiv 1/(1-q) + \beta^2 p (p-1)(1-q) q^{p-2}/2$로 정의할 때 [[물리:tap_방정식|TAP 방정식]]을 다음처럼 적게 되고 |
| | $$\mathcal{T}_i = \zeta m_i - \frac{\beta}{(p-1)!} \sum_{k_2, \ldots, k_p} J_{i k_2 \ldots k_p} m_{k_2} \cdots m_{k_p} = 0$$ |
| | 헤세 행렬의 원소는 이렇게 주어진다: |
| | $$\mathcal{H}_{ij} = \frac{\partial \mathcal{T}_i}{\partial m_j} = \zeta \delta_{ij} - \frac{\beta}{(p-2)!} \sum_{k_3, \ldots, k_p} J_{ijk_3 \ldots k_p} m_{k_3} \cdots m_{k_p}.$$ |
| | 위에서 논의한 것처럼 행렬식 $\det \mathcal{H}$의 부호가 언제나 양수일 거라고 가정하면 해의 개수는 ($I\equiv \sqrt{-1}$) |
| \begin{eqnarray*} | \begin{eqnarray*} |
| \overline{\exp\left[ -\mathcal{S} \right]} &\propto& \exp\left( - ip\varepsilon \sum_i \mu_i \sigma_i -p\varepsilon\sum_i \bar{\psi}_i \psi_i \right) \prod_{i>k>l} \int dJ_{ikl} \exp\left[ -\frac12 J_{ikl}^2 \frac{2N^{p-1}}{p!} - ip J_{ikl} \mu_i \sigma_k \sigma_l - p(p-1) J_{ikl} \bar{\psi}_i \psi_k \sigma_l \right]. | \mathcal{N} &\approx& N\int_0^1 dq \int \prod_i dm_i \delta\left(Nq - \sum_i m_i^2 \right) \prod_i \delta\left(\mathcal{T}_i\right) \det \mathcal{H}\\ |
| | &=& N\int \frac{dq ~d\hat{q}}{2\pi} \int \left( \prod_i \frac{dm_i d\hat{m}_i}{2\pi}\right) \exp\left[I\hat{q} \left(Nq - \sum_i m_i^2 \right) \right] \exp \left[ I\zeta \sum_i \hat{m}_i m_i - \frac{I\beta}{(p-1)!} \sum_{i,k_2, \ldots, k_p} J_{i k_2 \ldots k_p} \hat{m}_i m_{k_2} \cdots m_{k_p}\right] \det \mathcal{H}.\\ |
| \end{eqnarray*} | \end{eqnarray*} |
| $J_{ikl}$에 대한 평균은 아래처럼 계산되고 | $\mathcal{N}$에 대해 곧바로 무작위 평균을 취하도록 하자. 지수 함수뿐만 아니라 $\det \mathcal{H}$에도 $J_{ijk_3\ldots k_p}$가 포함되어 있지만, 평균을 취하는 과정에서 생겨나는 교차항을 무시할 수 있다고 하면 아래처럼 따로 평균을 취한 후 곱할 수 있다: |
| \begin{eqnarray*} | \begin{eqnarray*} |
| && \int dJ_{ikl} \exp\left[ -\frac12 J_{ikl}^2 \frac{2N^{p-1}}{p!} - ip J_{ikl} \mu_i \sigma_k \sigma_l - p(p-1) J_{ikl} \bar{\psi}_i \psi_k \sigma_l \right]\\ | \langle \mathcal{N} \rangle &\approx& N\int \frac{dq ~d\hat{q}}{2\pi} \int \left(\prod_i \frac{dm_i d\hat{m}_i}{2\pi}\right) \exp\left[I\zeta \sum_i \hat{m}_i m_i + I\hat{q} \left(Nq - \sum_i m_i^2 \right) \right] \Biggl< \exp \left[- \frac{I\beta}{(p-1)!} \sum_{i,k_2, \ldots, k_p} J_{i k_2 \ldots k_p} \hat{m}_i m_{k_2} \cdots m_{k_p}\right] \Biggr> |
| &=& \int dJ_{ikl} \exp\left[ -\frac12 J_{ikl}^2 \frac{2N^{p-1}}{p!} - i J_{ikl} \left( \mu_i \sigma_k \sigma_l + \sigma_i \mu_k \sigma_l + \sigma_i \sigma_k \mu_l \right) - J_{ikl} \left( \bar{\psi}_i \psi_k \sigma_l + \bar{\psi}_i \psi_l \sigma_k + \bar{\psi}_k \psi_i \sigma_l + \bar{\psi}_k \psi_l \sigma_i + \bar{\psi}_l \psi_i \sigma_k + \bar{\psi}_l \psi_k \sigma_i \right) \right]\\ | \langle \det \mathcal{H} \rangle.\\ |
| & \propto& \exp\left\{ \frac{p!}{4N^{p-1}} \left[i \left( \mu_i \sigma_k \sigma_l + \sigma_i \mu_k \sigma_l + \sigma_i \sigma_k \mu_l \right) + \left( \bar{\psi}_i \psi_k \sigma_l + \bar{\psi}_i \psi_l \sigma_k + \bar{\psi}_k \psi_i \sigma_l + \bar{\psi}_k \psi_l \sigma_i + \bar{\psi}_l \psi_i \sigma_k + \bar{\psi}_l \psi_k \sigma_i \right) \right]^2 \right\}\\ | |
| \end{eqnarray*} | \end{eqnarray*} |
| $p!$을 아래처럼 흡수한다: | ++++지수 함수의 평균 계산| |
| | 이 중에서 앞의 평균은 다음처럼 계산되고 |
| \begin{eqnarray*} | \begin{eqnarray*} |
| &&\prod_{i>k>l} \exp\left\{ \frac{p!}{4N^{p-1}} \left[i \left( \mu_i \sigma_k \sigma_l + \sigma_i \mu_k \sigma_l + \sigma_i \sigma_k \mu_l \right) + \left( \bar{\psi}_i \psi_k \sigma_l + \bar{\psi}_i \psi_l \sigma_k + \bar{\psi}_k \psi_i \sigma_l + \bar{\psi}_k \psi_l \sigma_i + \bar{\psi}_l \psi_i \sigma_k + \bar{\psi}_l \psi_k \sigma_i \right) \right]^2 \right\}\\ | \prod_{k_1, \ldots, k_p} \Biggl< \exp \left[- \frac{I p \beta}{p!} J_{k_1 k_2 \ldots k_p} \hat{m}_{k_1} m_{k_2} \cdots m_{k_p}\right] \Biggr> |
| &\approx&\prod_{ikl} \exp\left\{ \frac{1}{4N^{p-1}} \left[i \left( \mu_i \sigma_k \sigma_l + \sigma_i \mu_k \sigma_l + \sigma_i \sigma_k \mu_l \right) + \left( \bar{\psi}_i \psi_k \sigma_l + \bar{\psi}_i \psi_l \sigma_k + \bar{\psi}_k \psi_i \sigma_l + \bar{\psi}_k \psi_l \sigma_i + \bar{\psi}_l \psi_i \sigma_k + \bar{\psi}_l \psi_k \sigma_i \right) \right]^2 \right\}. | &\approx& \prod_{k_1 < \ldots< k_p} \Bigl< \exp \left(- I p \beta J_{k_1 k_2 \ldots k_p} \hat{m}_{k_1} m_{k_2} \cdots m_{k_p}\right) \Bigr>\\ |
| | &=& \prod_{k_1 < \ldots< k_p} \Bigl< \exp \left[- I \beta J_{k_1 k_2 \ldots k_p} \left( \hat{m}_{k_1} m_{k_2} \cdots m_{k_p} + m_{k_1} \hat{m}_{k_2} \cdots m_{k_p} + \ldots + m_{k_1} m_{k_2} \cdots \hat{m}_{k_p} \right) \right] \Bigr>\\ |
| | &=& \prod_{k_1< \ldots<k_p} \exp \left[ -\frac{\beta^2 p!}{4N^{p-1}} \left( \hat{m}_{k_1} m_{k_2} \cdots m_{k_p} + m_{k_1} \hat{m}_{k_2} \cdots m_{k_p} + \ldots + m_{k_1} m_{k_2} \cdots \hat{m}_{k_p} \right)^2 \right]\\ |
| | &=& \prod_{k_1< \ldots<k_p} \exp \left\{ -\frac{\beta^2 p!}{4N^{p-1}} \left[ \frac{1}{(p-1)!} \sum_{\pi} \hat{m}_{\pi(k_1)} m_{\pi(k_2)} \cdots m_{\pi(k_p)} \right]^2 \right\}\\ |
| \end{eqnarray*} | \end{eqnarray*} |
| 그리고 제곱을 통해 등장하는 $\mu$와 [[수학:그라스만_대수|그라스만 변수]]와의 교차항은 결과에 기여하지 않는다고 가정하자. 이 가정은 나중에 얻게 되는 답과 부합한다. $\mu$에 의존하는 부분을 먼저 적어보면 | 여기서 $\sum_\pi$는 모든 순열(permutation)에 대한 합을 의미한다. 각 항마다 $(p-1)$개의 $m$들을 크기 순서대로만 늘어놓고 있기 때문에 모든 경우의 수를 만들어내는 $\pi$로는 $(p-1)!$만큼 중복이 일어나게 된다. 그것을 상쇄하기 위해 마지막 줄에서 $(p-1)!$로 나누어주었다. 예를 들어 $p=3$이어서 지수에 $\left(\hat{m}_1 m_2 m_3 + \hat{m}_2 m_1 m_3 + \hat{m}_3 m_1 m_2 \right)^2$과 같은 항이 있었다면 |
| | $$\left(\hat{m}_1 m_2 m_3 + \hat{m}_2 m_1 m_3 + \hat{m}_3 m_1 m_2 \right)^2 = \left[ \frac12 \left(\hat{m}_1 m_2 m_3 + \hat{m}_1 m_3 m_2 + \hat{m}_2 m_1 m_3 + \hat{m}_2 m_3 m_1 + \hat{m}_3 m_1 m_2 + \hat{m}_3 m_2 m_1 \right) \right]^2 = \left[ \frac12 \sum_\pi \hat{m}_{\pi(1)} m_{\pi(2)} m_{\pi(3)} \right]^2.$$ |
| | 이 제곱항을 전개해보자. 이 계산에서는 $p$개의 인덱스 $k_1, \ldots, k_p$를 크기 순서대로 뽑고 그것들을 $\pi_1$으로 뒤섞은 항들의 합과 $\pi_2$로 뒤섞은 항들의 합을 곱하는데, 이를 $k_1, \ldots, k_p$을 선택하는 모든 경우에 대해 다시 합하는 것이다. 전체 항들 중에서 $\pi_1(k_1) = \pi_2(k_2)$인 경우들을 모아서 $\Sigma_1$, 그리고 $\pi_1(k_1) \neq \pi_2(k_2)$인 나머지 경우들을 모아서 $\Sigma_2$로 적자: |
| \begin{eqnarray*} | \begin{eqnarray*} |
| A &=&\int D\sigma \frac{D\mu}{(2\pi)^N} \exp\left[ -\frac{1}{4N^{p-1}} \sum_{ikl} \left( \mu_i \sigma_k \sigma_l + \sigma_i \mu_k \sigma_l + \sigma_i \sigma_k \mu_l \right)^2 - ip\varepsilon \sum_i \mu_i \sigma_i \right]\\ | \prod_{k_1< \ldots<k_p} \left( \sum_{\pi} \hat{m}_{\pi(k_1)} m_{\pi(k_2)} \cdots m_{\pi(k_p)} \right)^2 &=& |
| &=&\int D\sigma \frac{D\mu}{(2\pi)^N} \exp\left[ -\frac{1}{4N^{p-1}} \sum_{ikl} \left( \mu_i^2 \sigma_k^2 \sigma_l^2 + \sigma_i^2 \mu_k^2 \sigma_l^2 + \sigma_i^2 \sigma_k^2 \mu_l^2 + 2\mu_i \mu_k \sigma_i \sigma_k \sigma_l^2 + 2\mu_i \mu_l \sigma_i \sigma_k^2 \sigma_l + 2\mu_k \mu_l \sigma_i^2 \sigma_k \sigma_l \right) - ip\varepsilon \sum_i \mu_i \sigma_i \right]\\ | \prod_{k_1< \ldots<k_p} \left( \sum_{\pi_1} \hat{m}_{\pi_1(k_1)} m_{\pi_1(k_2)} \cdots m_{\pi_1(k_p)} \right) \left( \sum_{\pi_2} \hat{m}_{\pi_2(k_1)} m_{\pi_2(k_2)} \cdots m_{\pi_2(k_p)} \right) = \Sigma_1 + \Sigma_2. |
| &=&\int D\sigma \frac{D\mu}{(2\pi)^N} \exp\left[ -\frac{1}{4N^{p-1}} \left( p N^{p-1} \sum_i \mu_i^2 + p(p-1) N^{p-2} \sum_{ik} \mu_i \mu_k \sigma_i \sigma_k \right) - ip\varepsilon \sum_i \mu_i \sigma_i \right]\\ | |
| &=&\int D\sigma \frac{D\mu}{(2\pi)^N} \exp\left[ -\frac{p}{4} \sum_i \mu_i^2 - \frac{p(p-1)}{4N} \sum_{ik} \mu_i \mu_k \sigma_i \sigma_k - ip\varepsilon \sum_i \mu_i \sigma_i \right]\\ | |
| &=&\int D\sigma \frac{D\mu}{(2\pi)^N} \exp\left[ -\frac{p}{4} \sum_i \mu_i^2 - \frac{p(p-1)}{4N} \left(\sum_i \mu_i \sigma_i \right)^2 - ip\varepsilon \sum_i \mu_i \sigma_i \right]\\ | |
| &=&\left[\frac{N}{\pi p(p-1)} \right]^{1/2} \int D\sigma \frac{D\mu}{(2\pi)^N} \int_{-\infty}^{\infty} dz \exp\left[ -\frac{Nz^2}{p(p-1)} \right] \prod_{i=1}^N \exp\left[ -\frac{p}{4} \mu_i^2 + i(z-p\varepsilon) \mu_i \sigma_i \right]\\ | |
| &=&\left[\frac{N}{\pi p(p-1)} \right]^{1/2} (p\pi)^{-N/2} \int D\sigma \int_{-\infty}^{\infty} dz \exp\left[ -\frac{Nz^2}{p(p-1)} \right] \prod_{i=1}^N \exp\left[ -\frac{1}{p} (z-p\varepsilon)^2 \sigma_i^2 \right]\\ | |
| &=&\left[\frac{N}{\pi p(p-1)} \right]^{1/2} (p\pi)^{-N/2} \int D\sigma \int_{-\infty}^{\infty} dz \exp\left[ -\frac{Nz^2}{p(p-1)} \right] \exp\left[ -\frac{N}{p} (z-p\varepsilon)^2 \right]\\ | |
| &=&\left[\frac{N}{\pi p(p-1)} \right]^{1/2} (p\pi)^{-N/2} S_{N-1} \sqrt{N}^{N-1} \int_{-\infty}^{\infty} dz \exp\left[ -\frac{Nz^2}{p(p-1)} -\frac{N}{p} (z-p\varepsilon)^2 \right]\\ | |
| &=&\left[\frac{N}{\pi p(p-1)} \right]^{1/2} (p\pi)^{-N/2} S_{N-1} \sqrt{N}^{N-1} \exp(-N\varepsilon^2) \left[\frac{\pi(p-1)}{N}\right]^{1/2}\\ | |
| &=&p^{-1/2} (p\pi)^{-N/2} S_{N-1} \sqrt{N}^{N-1} \exp(-N\varepsilon^2). | |
| \end{eqnarray*} | \end{eqnarray*} |
| 이때 적분변수 $z$를 도입한 것은 [[수학:허바드-스트라토노비치_변환|허바드-스트라토노비치 변환]]을 사용하기 위해서였고, $\int D\sigma = S_{N-1} \sqrt{N}^{N-1}$은 $N$차원에 있는 반지름 $\sqrt{N}$인 구의 표면적으로서 $S_{N-1} \equiv 2\pi^{N/2} / \Gamma(N/2)$이다. $N$이 클 때에 아래와 같이 거동하므로 | 대각항들을 포함하는 $\Sigma_1$을 계산한다. 먼저 $q = N^{-1} \sum_{i=1}^N m_i^2$이므로 하나의 $m_i^2$마다 대략 $q$만큼을 기여한다고 하자. $\hat{m}$의 인덱스가 고정되면 $\pi_1$과 $\pi_2$ 각각이 $(p-1)!$개의 경우의 수를 만들어내는데 곱셈에서 순서는 중요하지 않고 모두 같은 결과를 주므로 $\Sigma_1 \propto (p-1)!^2 q^{p-1} \hat{m}_{\pi_1(k_1)}^2$이다. 계산을 다 끝내고 나면 각 $\hat{m}_i^2$은 $i$마다 공평하게 같은 횟수만큼 등장할 것이다. 그 횟수를 세어보면, 결국 $N$개의 인덱스들 중에서 $k_2<\ldots<k_p$가 되게끔 $(p-1)$개를 추출하여 $\hat{m}_i=\hat{m}_{\pi_1(k_1)}$에 곱하는 데서 오는 것이므로 대략 $N^{p-1}/(p-1)!$번이다 ($N\gg p$). 예를 들어 |
| $$\Gamma\left(\frac{N}{2}\right) = \sqrt{\pi}\frac{(N-2)!!}{2^{(N-1)/2}} \sim N^{N/2} 2^{-(N-1)/2}.$$ | $\left(\hat{m}_1 m_2 m_3 + \hat{m}_1 m_3 m_2 + \hat{m}_2 m_1 m_3 + \hat{m}_2 m_3 m_1 + \hat{m}_3 m_1 m_2 + \hat{m}_3 m_2 m_1 \right)^2$에서 $\hat{m}_1^2 m_2^2 m_3^2$이 $(p-1)!^2=4$개가 나오고 이 계산을 $\left(\hat{m}_1 m_2 m_4 + \hat{m}_1 m_4 m_2 + \hat{m}_2 m_1 m_4 + \hat{m}_2 m_4 m_1 + \hat{m}_4 m_1 m_2 + \hat{m}_4 m_2 m_1 \right)^2$, $\left(\hat{m}_1 m_3 m_4 + \hat{m}_1 m_3 m_4 + \hat{m}_3 m_1 m_4 + \hat{m}_3 m_4 m_1 + \hat{m}_4 m_1 m_3 + \hat{m}_4 m_3 m_1 \right)^2$ 등에 대해 반복하며 $4 \hat{m}_1^2 m_2^2 m_4^2 \approx (p-1)!^2 q^{p-1} \hat{m}_1^2$, $4\hat{m}_1^2 m_2^2 m_4^2 \approx (p-1)!^2 q^{p-1} \hat{m}_1^2$ 등을 계속 모아나가는 셈이다. |
| 모두 종합하면 다음의 결과를 얻는다: | 따라서 |
| $$\lim_{N\to\infty} \frac{1}{N} \ln A = \frac12 - \frac12 \ln \frac{p}{2} - \varepsilon^2.$$ | $$\Sigma_1 = (p-1)! N^{p-1} q^{p-1} \sum_{i=1}^N \hat{m}_i^2.$$ |
| */ | 교차항들을 포함하는 $\Sigma_2$의 계산에서는 $\pi_1(k_1) \neq \pi_2(k_2)$인 항들을 곱해보면 $\hat{m}_{\pi_1(k_1)} m_{\pi_1(k_2)} \hat{m}_{\pi_1(k_2)} m_{\pi_1(k_1)}$의 꼴을 포함하는 항들이 등장한다. 앞에서와 마찬가지로 조합에 의해 동일한 항들이 $(p-1)!^2$개 나오는데, 교차항의 특성상 곱의 앞뒤 순서에 따라 다시 2개씩이 나오므로 $\Sigma_2 \propto 2(p-1)!^2 q^{p-2} \hat{m}_{\pi_1(k_1)} m_{\pi_1(k_2)} \hat{m}_{\pi_1(k_2)} m_{\pi_1(k_1)}$임을 알 수 있다. 이제 특정한 $\hat{m}_i m_i \hat{m}_j m_j$가 $\Sigma_2$ 안에 등장하는 횟수를 세어야 한다(곱의 앞뒤 순서를 이미 고려해서 결과가 같은 항들을 모두 합했으므로 중복 셈을 피하기 위해 $i<j$라고 하자). 위와 마찬가지의 논법으로 그 수는 $N\gg p$일 때 대략 $N^{p-2}/(p-2)!$이다. 앞의 예로 돌아가면 |
| | $\left(\hat{m}_1 m_2 m_3 + \hat{m}_1 m_3 m_2 + \hat{m}_2 m_1 m_3 + \hat{m}_2 m_3 m_1 + \hat{m}_3 m_1 m_2 + \hat{m}_3 m_2 m_1 \right)^2$에서 $\hat{m}_1 m_1 \hat{m}_2 m_2 m_3^2$이 $2(p-1)!^2=8$개가 나오고 이 계산을 $\left(\hat{m}_1 m_2 m_4 + \hat{m}_1 m_4 m_2 + \hat{m}_2 m_1 m_4 + \hat{m}_2 m_4 m_1 + \hat{m}_4 m_1 m_2 + \hat{m}_4 m_2 m_1 \right)^2$ 등에 대해 반복하며 $8 \hat{m}_1 m_1 \hat{m}_2 m_2 m_4^2 \approx 2(p-1)!^2 q^{p-2}\hat{m}_1 m_1 \hat{m}_2 m_2$ 등을 계속 모아나가는 셈이다. |
| /* | 따라서 |
| 이제 [[수학:그라스만_대수|그라스만 변수]]를 포함하는 부분을 계산한다: | $$\Sigma_2 = 2(p-1)!^2 \frac{N^{p-2}}{(p-2)!} q^{p-2} \sum_{i=1}^N \sum_{j>i}^N \hat{m}_i m_i \hat{m}_j m_j \approx (p-1)! (p-1) q^{p-2} N^{p-2} \left(\sum_{i=1}^N \hat{m}_i m_i \right)^2.$$ |
| | 이제 이 결과들을 앞의 식에 대입하면 |
| \begin{eqnarray*} | \begin{eqnarray*} |
| B &=& \int D\sigma D\bar{\psi} D\psi \prod_{ikl} \exp\left\{ \frac{(p-1)^2}{4N^{p-1}} \left( \bar{\psi}_i \psi_k \sigma_l + \bar{\psi}_i \sigma_k \psi_l + \sigma_i \bar{\psi}_k \psi_l \right)^2 \right\}\\ | \langle \mathcal{N} \rangle &\approx& N\int \frac{dq ~d\hat{q}}{2\pi} \int \left(\prod_i \frac{dm_i d\hat{m}_i}{2\pi}\right) \exp\left[I\zeta \sum_i \hat{m}_i m_i + I\hat{q} \left(Nq - \sum_i m_i^2 \right) \right] \exp \left[ -\frac{\beta^2 p!}{4N^{p-1}} \frac{1}{(p-1)!^2} \left( \Sigma_1 + \Sigma_2 \right) \right] |
| &=& \int D\sigma D\bar{\psi} D\psi \prod_{ikl} \exp\left\{ \frac{(p-1)^2}{4N^{p-1}} \left( \bar{\psi}_i \psi_k \bar{\psi}_k \psi_l \sigma_l \sigma_i + \bar{\psi}_k \psi_l \bar{\psi}_i \psi_k \sigma_i \sigma_l \right) \right\}\\ | \langle \det \mathcal{H} \rangle\\ |
| &=& \int D\sigma D\bar{\psi} D\psi \prod_{ikl} \exp\left\{ \frac{(p-1)^2}{4N^{p-1}} \left( -\bar{\psi}_k \psi_k \bar{\psi}_i \psi_l \sigma_i \sigma_l - \bar{\psi}_k \psi_k \bar{\psi}_i \psi_l \sigma_i \sigma_l \right) \right\}\\ | &=& N\int \frac{dq ~d\hat{q}}{2\pi} \int \left(\prod_i \frac{dm_i d\hat{m}_i}{2\pi}\right) \exp\left[I\zeta \sum_i \hat{m}_i m_i + I\hat{q} \left(Nq - \sum_i m_i^2 \right) -\frac{\beta^2 p q^{p-1}}{4} \sum_{i=1}^N \hat{m}_i^2 -\frac{\beta^2 p(p-1) q^{p-2}}{4N} \left(\sum_{i=1}^N \hat{m}_i m_i \right)^2 \right] |
| &=& \int D\sigma D\bar{\psi} D\psi \prod_{ikl} \exp\left\{ -\frac{(p-1)^2}{2N^{p-1}} \bar{\psi}_k \psi_k \bar{\psi}_i \psi_l \sigma_i \sigma_l \right\}\\ | \langle \det \mathcal{H} \rangle. |
| &=& \int D\sigma D\bar{\psi} D\psi \exp\left\{ -\frac{(p-1)^2}{2N^{p-1}} \left[\sum_k \bar{\psi}_k \psi_k\right] \left[ \sum_i \bar{\psi}_i \sigma_i \right] \left[ \sum_l \psi_l \sigma_l \right] \right\}\\ | \end{eqnarray*} |
| | ++++ |
| | 다른 한편으로, 행렬식 부분은 [[수학:윅의_정리|다차원 가우스 함수의 적분]]을 활용해서 다음의 표현식을 사용한다: |
| | $$\det \mathcal{H} = \lim_{n\to -2} \int \left(\prod_{i=1}^N \prod_{\alpha=1}^n \frac{d\xi_{i\alpha}}{\sqrt{2\pi}}\right) \exp\left(-\frac12 \sum_{i\alpha} \xi_{i\alpha} \mathcal{H}_{ij} \xi_{j\alpha} \right).$$ |
| | \begin{eqnarray*} |
| | \Biggl< \int \left(\prod_{i,\alpha} \frac{d\xi_{i\alpha}}{\sqrt{2\pi}}\right) \exp\left(-\frac12 \sum_{i\alpha} \xi_i^\alpha \mathcal{H}_{ij} \xi_j^\alpha \right) \Biggr> &=& |
| | \Biggl< \int \left(\prod_{i,\alpha} \frac{d\xi_{i\alpha}}{\sqrt{2\pi}}\right) \exp\left[-\frac12 \zeta \sum_{i\alpha} \xi_{i\alpha}^2 + \frac{\beta}{2(p-2)!} \sum_\alpha \sum_{i_1,\ldots,i_p} J_{i_1\ldots i_p} \xi_{i_1\alpha} \xi_{i_2\alpha} m_{i_3} \cdots m_{i_p} \right] \Biggr>\\ |
| | &=& \int \left(\prod_{i,\alpha} \frac{d\xi_{i\alpha}}{\sqrt{2\pi}}\right) \exp\left[-\frac12 \zeta \sum_{i\alpha} \xi_{i\alpha}^2 \right] \Biggl< \exp\left[ \frac{\beta}{2(p-2)!} \sum_\alpha \sum_{i_1,\ldots,i_p} J_{i_1\ldots i_p} \xi_{i_1\alpha} \xi_{i_2\alpha} m_{i_3} \cdots m_{i_p} \right] \Biggr>\\ |
| | &=& \int \left(\prod_{i,\alpha} \frac{d\xi_{i\alpha}}{\sqrt{2\pi}}\right) \exp\left[-\frac12 \zeta \sum_{i\alpha} \xi_{i\alpha}^2 \right] \prod_{i_1,\ldots,i_p} \Biggl< \exp\left[ \frac{\beta}{2(p-2)!} J_{i_1\ldots i_p} \sum_\alpha \xi_{i_1\alpha} \xi_{i_2\alpha} m_{i_3} \cdots m_{i_p} \right] \Biggr>\\ |
| | &=& \int \left(\prod_{i,\alpha} \frac{d\xi_{i\alpha}}{\sqrt{2\pi}}\right) \exp\left[-\frac12 \zeta \sum_{i\alpha} \xi_{i\alpha}^2 \right] \prod_{i_1,\ldots,i_p} \exp\left\{ \frac{\beta^2 p!}{16N^{p-1}} \left[\frac{1}{(p-2)!} \sum_\alpha \xi_{i_1\alpha} \xi_{i_2\alpha} m_{i_3} \cdots m_{i_p}\right]^2 \right\}\\ |
| \end{eqnarray*} | \end{eqnarray*} |
| */ | |
| |
| ====무작위 평균==== | |
| | ===카바냐 등(1999)의 계산(작성 중)=== |
| | ++++보기| |
| 먼저 $q \equiv N^{-1} \sum_i m_i^2$이고 온사거 반응 항을 $g(q) \equiv -(\beta/4) \left[ (p-1)q^p - pq^{p-1} +1\right]$라고 했을 때 다음과 같은 표현식들을 적어보자: | 먼저 $q \equiv N^{-1} \sum_i m_i^2$이고 온사거 반응 항을 $g(q) \equiv -(\beta/4) \left[ (p-1)q^p - pq^{p-1} +1\right]$라고 했을 때 다음과 같은 표현식들을 적어보자: |
| \begin{eqnarray*} | \begin{eqnarray*} |
| &\approx& \prod_{i_1<\ldots<i_p} \exp \left[ \frac{1}{4N^p} \left( ip\sum_{a=1}^n \lambda_{i_1}^a m_{i_2}^a \cdots m_{i_p}^a + p(p-1) \sum_{a=1}^n \bar{\psi}_{i_1}^a \psi_{i_2}^a m_{i_3}^a \cdots m_{i_p}^a + i\omega \sum_{a=1}^n m_{i_1}^a \cdots m_{i_p}^a \right)^2 \right]\\ | &\approx& \prod_{i_1<\ldots<i_p} \exp \left[ \frac{1}{4N^p} \left( ip\sum_{a=1}^n \lambda_{i_1}^a m_{i_2}^a \cdots m_{i_p}^a + p(p-1) \sum_{a=1}^n \bar{\psi}_{i_1}^a \psi_{i_2}^a m_{i_3}^a \cdots m_{i_p}^a + i\omega \sum_{a=1}^n m_{i_1}^a \cdots m_{i_p}^a \right)^2 \right]\\ |
| \end{eqnarray*} | \end{eqnarray*} |
| | ++++ |
| |
| | ===카스텔라니와 카바냐(2005)의 계산(작성 중)=== |
| | ++++보기| |
| | $f_\text{TAP}$의 최소화가 $H$의 최소화와 일치한다는 특성을 이용한다. |
| | 구면 조건 $g(\sigma) \equiv \sum_i \sigma_i^2 - N = 0$과 함께 $H$의 극소점들을 찾기 위해 [[수학:라그랑주 곱수]] $\Lambda$를 도입하자 (편의를 위해 $p=3$으로 가정하여 식을 적는다). |
| | $$H = - \sum_{i<k<l} J_{ikl} \sigma_i \sigma_k \sigma_l = -\frac{1}{p!} \sum_{ikl} J_{ikl} \sigma_i \sigma_k \sigma_l$$ |
| | 이므로 다음의 식을 얻는다: |
| | $$\frac{\partial H}{\partial \sigma_i} = -\frac{p}{p!} \sum_{kl} J_{ikl} \sigma_k \sigma_l = \frac{\partial g}{\partial \sigma_i} = 2\Lambda \sigma_i.$$ |
| | 양변에 $\sigma_i$를 곱하고 $i$에 대해 합하면, |
| | $$-\frac{p}{p!} \sum_i \sum_{kl} J_{ikl} \sigma_i \sigma_k \sigma_l = p H = \sum_i 2\Lambda \sigma_i^2 = 2\Lambda N.$$ |
| | 따라서 [[수학:라그랑주 곱수]]는 $\Lambda = pH/(2N)$이고 이를 다시 원래의 식에 대입하면, 풀어야 하는 방정식은 다음과 같다: |
| | $$-\frac{p}{p!} \sum_{kl} J_{ikl} \sigma_k \sigma_l - p \frac{1}{N} H(\sigma) \sigma_i = 0.$$ |
| | 에너지 밀도를 $H(\sigma)/N = \varepsilon$으로 고정한다면 |
| | $$-\frac{p}{p!} \sum_{kl} J_{ikl} \sigma_k \sigma_l - p \varepsilon \sigma_i = 0.$$ |
| | 마찬가지로 헤세 행렬의 원소를 구면 조건을 포함해 적으면 아래와 같다: |
| | $$\mathcal{H}_{ki} \equiv \frac{\partial^2 H}{\partial \sigma_k \partial \sigma_i} = - \frac{p(p-1)}{p!} \sum_l J_{ikl} \sigma_l - p\varepsilon \delta_{ik}.$$ |
| | 정리하면, 복잡도를 구하기 위해 먼저 다음의 식을 계산하고: |
| | $$\mathcal{N}(\varepsilon) \approx \int D\sigma \prod_i \delta\left(-\frac{p}{p!} \sum_{kl} J_{ikl} \sigma_k \sigma_l - p\varepsilon \sigma_i \right) \det \left( - \frac{p(p-1)}{p!} \sum_l J_{ikl} \sigma_l - p\varepsilon \delta_{ik} \right)$$ |
| | 이어 다음의 식에 대입한다: |
| | $$\Sigma(\varepsilon) = \lim_{N\to\infty} \frac{1}{N} \ln \mathcal{N}(\varepsilon).$$ |
| |
| | 일단 $\mathcal{N}(\varepsilon)$에 바로 무작위 평균을 취해보자: |
| | \begin{eqnarray*} |
| | \overline{\exp\left[ -\mathcal{S} \right]} &\propto& \exp\left( - ip\varepsilon \sum_i \mu_i \sigma_i -p\varepsilon\sum_i \bar{\psi}_i \psi_i \right) \prod_{i>k>l} \int dJ_{ikl} \exp\left[ -\frac12 J_{ikl}^2 \frac{2N^{p-1}}{p!} - ip J_{ikl} \mu_i \sigma_k \sigma_l - p(p-1) J_{ikl} \bar{\psi}_i \psi_k \sigma_l \right]. |
| | \end{eqnarray*} |
| | $J_{ikl}$에 대한 평균은 아래처럼 계산되고 (여러 변수들이 곱해진 항들을 인덱스에 대해 대칭화했다): |
| | \begin{eqnarray*} |
| | && \int dJ_{ikl} \exp\left[ -\frac12 J_{ikl}^2 \frac{2N^{p-1}}{p!} - ip J_{ikl} \mu_i \sigma_k \sigma_l - p(p-1) J_{ikl} \bar{\psi}_i \psi_k \sigma_l \right]\\ |
| | &=& \int dJ_{ikl} \exp\left[ -\frac12 J_{ikl}^2 \frac{2N^{p-1}}{p!} - i J_{ikl} \left( \mu_i \sigma_k \sigma_l + \sigma_i \mu_k \sigma_l + \sigma_i \sigma_k \mu_l \right) - J_{ikl} \left( \bar{\psi}_i \psi_k \sigma_l + \bar{\psi}_i \psi_l \sigma_k + \bar{\psi}_k \psi_i \sigma_l + \bar{\psi}_k \psi_l \sigma_i + \bar{\psi}_l \psi_i \sigma_k + \bar{\psi}_l \psi_k \sigma_i \right) \right]\\ |
| | & \propto& \exp\left\{ \frac{p!}{4N^{p-1}} \left[i \left( \mu_i \sigma_k \sigma_l + \sigma_i \mu_k \sigma_l + \sigma_i \sigma_k \mu_l \right) + \left( \bar{\psi}_i \psi_k \sigma_l + \bar{\psi}_i \psi_l \sigma_k + \bar{\psi}_k \psi_i \sigma_l + \bar{\psi}_k \psi_l \sigma_i + \bar{\psi}_l \psi_i \sigma_k + \bar{\psi}_l \psi_k \sigma_i \right) \right]^2 \right\}\\ |
| | \end{eqnarray*} |
| | $p!$을 아래처럼 흡수한다: |
| | \begin{eqnarray*} |
| | &&\prod_{i>k>l} \exp\left\{ \frac{p!}{4N^{p-1}} \left[i \left( \mu_i \sigma_k \sigma_l + \sigma_i \mu_k \sigma_l + \sigma_i \sigma_k \mu_l \right) + \left( \bar{\psi}_i \psi_k \sigma_l + \bar{\psi}_i \psi_l \sigma_k + \bar{\psi}_k \psi_i \sigma_l + \bar{\psi}_k \psi_l \sigma_i + \bar{\psi}_l \psi_i \sigma_k + \bar{\psi}_l \psi_k \sigma_i \right) \right]^2 \right\}\\ |
| | &\approx&\prod_{ikl} \exp\left\{ \frac{1}{4N^{p-1}} \left[i \left( \mu_i \sigma_k \sigma_l + \sigma_i \mu_k \sigma_l + \sigma_i \sigma_k \mu_l \right) + \left( \bar{\psi}_i \psi_k \sigma_l + \bar{\psi}_i \psi_l \sigma_k + \bar{\psi}_k \psi_i \sigma_l + \bar{\psi}_k \psi_l \sigma_i + \bar{\psi}_l \psi_i \sigma_k + \bar{\psi}_l \psi_k \sigma_i \right) \right]^2 \right\}. |
| | \end{eqnarray*} |
| | 그리고 제곱을 통해 등장하는 교차항($\mu$와 [[수학:그라스만_대수|그라스만 변수]]의 곱)은 결과에 기여하지 않는다고 가정하자. 이 가정은 나중에 얻게 되는 답과 부합한다. $\mu$에 의존하는 부분을 먼저 적어보면 |
| | \begin{eqnarray*} |
| | A &=&\int D\sigma \frac{D\mu}{(2\pi)^N} \exp\left[ -\frac{1}{4N^{p-1}} \sum_{ikl} \left( \mu_i \sigma_k \sigma_l + \sigma_i \mu_k \sigma_l + \sigma_i \sigma_k \mu_l \right)^2 - ip\varepsilon \sum_i \mu_i \sigma_i \right]\\ |
| | &=&\int D\sigma \frac{D\mu}{(2\pi)^N} \exp\left[ -\frac{1}{4N^{p-1}} \sum_{ikl} \left( \mu_i^2 \sigma_k^2 \sigma_l^2 + \sigma_i^2 \mu_k^2 \sigma_l^2 + \sigma_i^2 \sigma_k^2 \mu_l^2 + 2\mu_i \mu_k \sigma_i \sigma_k \sigma_l^2 + 2\mu_i \mu_l \sigma_i \sigma_k^2 \sigma_l + 2\mu_k \mu_l \sigma_i^2 \sigma_k \sigma_l \right) - ip\varepsilon \sum_i \mu_i \sigma_i \right]\\ |
| | &=&\int D\sigma \frac{D\mu}{(2\pi)^N} \exp\left[ -\frac{1}{4N^{p-1}} \left( p N^{p-1} \sum_i \mu_i^2 + p(p-1) N^{p-2} \sum_{ik} \mu_i \mu_k \sigma_i \sigma_k \right) - ip\varepsilon \sum_i \mu_i \sigma_i \right]\\ |
| | &=&\int D\sigma \frac{D\mu}{(2\pi)^N} \exp\left[ -\frac{p}{4} \sum_i \mu_i^2 - \frac{p(p-1)}{4N} \sum_{ik} \mu_i \mu_k \sigma_i \sigma_k - ip\varepsilon \sum_i \mu_i \sigma_i \right]\\ |
| | &=&\int D\sigma \frac{D\mu}{(2\pi)^N} \exp\left[ -\frac{p}{4} \sum_i \mu_i^2 - \frac{p(p-1)}{4N} \left(\sum_i \mu_i \sigma_i \right)^2 - ip\varepsilon \sum_i \mu_i \sigma_i \right]\\ |
| | &=&\left[\frac{N}{\pi p(p-1)} \right]^{1/2} \int D\sigma \frac{D\mu}{(2\pi)^N} \int_{-\infty}^{\infty} dz \exp\left[ -\frac{Nz^2}{p(p-1)} \right] \prod_{i=1}^N \exp\left[ -\frac{p}{4} \mu_i^2 + i(z-p\varepsilon) \mu_i \sigma_i \right]\\ |
| | &=&\left[\frac{N}{\pi p(p-1)} \right]^{1/2} (p\pi)^{-N/2} \int D\sigma \int_{-\infty}^{\infty} dz \exp\left[ -\frac{Nz^2}{p(p-1)} \right] \prod_{i=1}^N \exp\left[ -\frac{1}{p} (z-p\varepsilon)^2 \sigma_i^2 \right]\\ |
| | &=&\left[\frac{N}{\pi p(p-1)} \right]^{1/2} (p\pi)^{-N/2} \int D\sigma \int_{-\infty}^{\infty} dz \exp\left[ -\frac{Nz^2}{p(p-1)} \right] \exp\left[ -\frac{N}{p} (z-p\varepsilon)^2 \right]\\ |
| | &=&\left[\frac{N}{\pi p(p-1)} \right]^{1/2} (p\pi)^{-N/2} S_{N-1} \sqrt{N}^{N-1} \int_{-\infty}^{\infty} dz \exp\left[ -\frac{Nz^2}{p(p-1)} -\frac{N}{p} (z-p\varepsilon)^2 \right]\\ |
| | &=&\left[\frac{N}{\pi p(p-1)} \right]^{1/2} (p\pi)^{-N/2} S_{N-1} \sqrt{N}^{N-1} \exp(-N\varepsilon^2) \left[\frac{\pi(p-1)}{N}\right]^{1/2}\\ |
| | &=&p^{-1/2} (p\pi)^{-N/2} S_{N-1} \sqrt{N}^{N-1} \exp(-N\varepsilon^2). |
| | \end{eqnarray*} |
| | 이때 적분변수 $z$를 도입한 것은 [[수학:허바드-스트라토노비치_변환|허바드-스트라토노비치 변환]]을 사용하기 위해서였고, $\int D\sigma = S_{N-1} \sqrt{N}^{N-1}$은 $N$차원에 있는 반지름 $\sqrt{N}$인 구의 표면적으로서 $S_{N-1} \equiv 2\pi^{N/2} / \Gamma(N/2)$이다. $N$이 클 때에 아래와 같이 거동하므로 |
| | $$\Gamma\left(\frac{N}{2}\right) = \sqrt{\pi}\frac{(N-2)!!}{2^{(N-1)/2}} \sim N^{N/2} 2^{-(N-1)/2}.$$ |
| | 모두 종합하면 다음의 결과를 얻는다: |
| | $$\lim_{N\to\infty} \frac{1}{N} \ln A = \frac12 - \frac12 \ln \frac{p}{2} - \varepsilon^2.$$ |
| | |
| | /* |
| | 이제 [[수학:그라스만_대수|그라스만 변수]]를 포함하는 부분을 계산한다: |
| | \begin{eqnarray*} |
| | B &=& \int D\sigma D\bar{\psi} D\psi \prod_{ikl} \exp\left\{ \frac{(p-1)^2}{4N^{p-1}} \left( \bar{\psi}_i \psi_k \sigma_l + \bar{\psi}_i \sigma_k \psi_l + \sigma_i \bar{\psi}_k \psi_l \right)^2 \right\}\\ |
| | &=& \int D\sigma D\bar{\psi} D\psi \prod_{ikl} \exp\left\{ \frac{(p-1)^2}{4N^{p-1}} \left( \bar{\psi}_i \psi_k \bar{\psi}_k \psi_l \sigma_l \sigma_i + \bar{\psi}_k \psi_l \bar{\psi}_i \psi_k \sigma_i \sigma_l \right) \right\}\\ |
| | &=& \int D\sigma D\bar{\psi} D\psi \prod_{ikl} \exp\left\{ \frac{(p-1)^2}{4N^{p-1}} \left( -\bar{\psi}_k \psi_k \bar{\psi}_i \psi_l \sigma_i \sigma_l - \bar{\psi}_k \psi_k \bar{\psi}_i \psi_l \sigma_i \sigma_l \right) \right\}\\ |
| | &=& \int D\sigma D\bar{\psi} D\psi \prod_{ikl} \exp\left\{ -\frac{(p-1)^2}{2N^{p-1}} \bar{\psi}_k \psi_k \bar{\psi}_i \psi_l \sigma_i \sigma_l \right\}\\ |
| | &=& \int D\sigma D\bar{\psi} D\psi \exp\left\{ -\frac{(p-1)^2}{2N^{p-1}} \left[\sum_k \bar{\psi}_k \psi_k\right] \left[ \sum_i \bar{\psi}_i \sigma_i \right] \left[ \sum_l \psi_l \sigma_l \right] \right\}\\ |
| | \end{eqnarray*} |
| | */ |
| | /* |
| | \begin{eqnarray*} |
| | \delta S &=& ip\varepsilon \sum_i \mu_i \eta \psi_i + i\frac{p}{p!} \sum_{ikl} J_{ikl} \left( \mu_i \sigma_k \eta \psi_l + \mu_i \eta \psi_k \sigma_l + \mu_i \eta \psi_k \eta \psi_l \right) - p\varepsilon \sum_i i\eta \mu_i \psi_i + \frac{p(p-1)}{p!} \sum_{ikl} J_{ikl} \left( -\eta \mu_i \psi_k \sigma_l + \bar{\psi}_i \psi_k \eta \psi_l - \eta \mu_i \psi_k \eta \psi_l \right) |
| | \end{eqnarray*} |
| | */ |
| | ++++ |
| =====일반화된 자유 에너지===== | =====일반화된 자유 에너지===== |
| 평형 분배 함수 $Z$를 다음처럼 적어보자: | 평형 분배 함수 $Z$를 다음처럼 적어보자: |