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| 물리:구면_p-스핀_유리_모형 [2026/05/07 14:29] – [무작위 평균] admin | 물리:구면_p-스핀_유리_모형 [2026/05/10 22:09] (current) – [무작위 평균] admin |
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| ===리거(1992), 그리고 크리산티와 좀머스(1995)의 계산(작성 중)=== | ===리거(1992), 그리고 크리산티와 좀머스(1995)의 계산(작성 중)=== |
| 여기에서는 $q$를 $m_i$들과 독립적인 변수로 취급하고 나중에 [[수학:디락_델타_함수|디락 델타 함수]]로써 $q = N^{-1}\sum_i m_i^2$의 제약을 둔다. | 여기에서는 $q$를 $m_i$들과 독립적인 변수로 취급하고 나중에 [[수학:디락_델타_함수|디락 델타 함수]]로써 $q = N^{-1}\sum_i m_i^2$의 제약을 둔다. |
| $\zeta \equiv 1/(1-q) + \beta^2 p (p-1)(1-q) q^{p-2}/2$로 정의할 때 [[물리:tap_방정식|TAP 방정식]]을 다음처럼 적게 되고 | $\rho \equiv \beta^2 p(p-1) q^{p-2}$이고 |
| | $\zeta \equiv 1/(1-q) + (1-q) \rho/2$로 정의할 때 [[물리:tap_방정식|TAP 방정식]]을 다음처럼 적게 되며, |
| $$\mathcal{T}_i = \zeta m_i - \frac{\beta}{(p-1)!} \sum_{k_2, \ldots, k_p} J_{i k_2 \ldots k_p} m_{k_2} \cdots m_{k_p} = 0$$ | $$\mathcal{T}_i = \zeta m_i - \frac{\beta}{(p-1)!} \sum_{k_2, \ldots, k_p} J_{i k_2 \ldots k_p} m_{k_2} \cdots m_{k_p} = 0$$ |
| 헤세 행렬의 원소는 이렇게 주어진다: | 헤세 행렬의 원소는 이렇게 주어진다: |
| \begin{eqnarray*} | \begin{eqnarray*} |
| \mathcal{N} &\approx& N\int_0^1 dq \int \prod_i dm_i \delta\left(Nq - \sum_i m_i^2 \right) \prod_i \delta\left(\mathcal{T}_i\right) \det \mathcal{H}\\ | \mathcal{N} &\approx& N\int_0^1 dq \int \prod_i dm_i \delta\left(Nq - \sum_i m_i^2 \right) \prod_i \delta\left(\mathcal{T}_i\right) \det \mathcal{H}\\ |
| &=& N\int \frac{dq ~d\hat{q}}{2\pi} \int \prod_i \left(\frac{dm_i d\hat{m}_i}{2\pi}\right) \exp\left[I\hat{q} \left(Nq - \sum_i m_i^2 \right) \right] \exp \left[ I\zeta \sum_i \hat{m}_i m_i - \frac{I\beta}{(p-1)!} \sum_{i,k_2, \ldots, k_p} J_{i k_2 \ldots k_p} \hat{m}_i m_{k_2} \cdots m_{k_p}\right] \det \mathcal{H}.\\ | &=& N\int \frac{dq ~d\hat{q}}{2\pi} \int \left( \prod_i \frac{dm_i d\hat{m}_i}{2\pi}\right) \exp\left[I\hat{q} \left(Nq - \sum_i m_i^2 \right) \right] \exp \left[ I\zeta \sum_i \hat{m}_i m_i - \frac{I\beta}{(p-1)!} \sum_{i,k_2, \ldots, k_p} J_{i k_2 \ldots k_p} \hat{m}_i m_{k_2} \cdots m_{k_p}\right] \det \mathcal{H}.\\ |
| \end{eqnarray*} | \end{eqnarray*} |
| $\mathcal{N}$에 대해 곧바로 무작위 평균을 취하도록 하자. 지수 함수뿐만 아니라 $\det \mathcal{H}$에도 $J_{ijk_3\ldots k_p}$가 포함되어 있지만, 평균을 취하는 과정에서 생겨나는 교차항을 무시할 수 있다고 하면 아래처럼 따로 평균을 취한 후 곱할 수 있다: | $\mathcal{N}$에 대해 곧바로 무작위 평균을 취하도록 하자. 지수 함수뿐만 아니라 $\det \mathcal{H}$에도 $J_{ijk_3\ldots k_p}$가 포함되어 있지만, 평균을 취하는 과정에서 생겨나는 교차항을 무시하면 아래처럼 따로 평균을 취한 후 곱할 수 있다: |
| \begin{eqnarray*} | \begin{eqnarray*} |
| \langle \mathcal{N} \rangle &\approx& N\int \frac{dq ~d\hat{q}}{2\pi} \int \prod_i \left(\frac{dm_i d\hat{m}_i}{2\pi}\right) \exp\left[I\zeta \sum_i \hat{m}_i m_i + I\hat{q} \left(Nq - \sum_i m_i^2 \right) \right] \Biggl< \exp \left[- \frac{I\beta}{(p-1)!} \sum_{i,k_2, \ldots, k_p} J_{i k_2 \ldots k_p} \hat{m}_i m_{k_2} \cdots m_{k_p}\right] \Biggr> | \langle \mathcal{N} \rangle &\approx& N\int \frac{dq ~d\hat{q}}{2\pi} \int \left(\prod_i \frac{dm_i d\hat{m}_i}{2\pi}\right) \exp\left[I\zeta \sum_i \hat{m}_i m_i + I\hat{q} \left(Nq - \sum_i m_i^2 \right) \right] \Biggl< \exp \left[- \frac{I\beta}{(p-1)!} \sum_{i,k_2, \ldots, k_p} J_{i k_2 \ldots k_p} \hat{m}_i m_{k_2} \cdots m_{k_p}\right] \Biggr> |
| \langle \det \mathcal{H} \rangle.\\ | \langle \det \mathcal{H} \rangle.\\ |
| \end{eqnarray*} | \end{eqnarray*} |
| | ++++지수 함수의 평균 계산| |
| 이 중에서 앞의 평균은 다음처럼 계산되고 | 이 중에서 앞의 평균은 다음처럼 계산되고 |
| \begin{eqnarray*} | \begin{eqnarray*} |
| \prod_{k_1, \ldots, k_p} \Biggl< \exp \left[- \frac{I p \beta}{p!} J_{k_1 k_2 \ldots k_p} \hat{m}_{k_1} m_{k_2} \cdots m_{k_p}\right] \Biggr> | \prod_{k_1, \ldots, k_p} \Biggl< \exp \left[- \frac{I \beta}{(p-1)!} J_{k_1 k_2 \ldots k_p} \hat{m}_{k_1} m_{k_2} \cdots m_{k_p}\right] \Biggr> |
| &\approx& \prod_{k_1 < \ldots< k_p} \Bigl< \exp \left(- I p \beta J_{k_1 k_2 \ldots k_p} \hat{m}_{k_1} m_{k_2} \cdots m_{k_p}\right) \Bigr>\\ | &\approx& \prod_{k_1 < \ldots< k_p} \Biggl< \exp \left[- \frac{I \beta}{(p-1)!} J_{k_1 k_2 \ldots k_p} \sum_{\pi} \hat{m}_{\pi(k_1)} m_{\pi(k_2)} \cdots m_{\pi(k_p)}\right] \Biggr>\\ |
| &=& \prod_{k_1 < \ldots< k_p} \Bigl< \exp \left[- I \beta J_{k_1 k_2 \ldots k_p} \left( \hat{m}_{k_1} m_{k_2} \cdots m_{k_p} + m_{k_1} \hat{m}_{k_2} \cdots m_{k_p} + \ldots + m_{k_1} m_{k_2} \cdots \hat{m}_{k_p} \right) \right] \Bigr>\\ | |
| &=& \prod_{k_1< \ldots<k_p} \exp \left[ -\frac{\beta^2 p!}{4N^{p-1}} \left( \hat{m}_{k_1} m_{k_2} \cdots m_{k_p} + m_{k_1} \hat{m}_{k_2} \cdots m_{k_p} + \ldots + m_{k_1} m_{k_2} \cdots \hat{m}_{k_p} \right)^2 \right]\\ | |
| &=& \prod_{k_1< \ldots<k_p} \exp \left\{ -\frac{\beta^2 p!}{4N^{p-1}} \left[ \frac{1}{(p-1)!} \sum_{\pi} \hat{m}_{\pi(k_1)} m_{\pi(k_2)} \cdots m_{\pi(k_p)} \right]^2 \right\}\\ | &=& \prod_{k_1< \ldots<k_p} \exp \left\{ -\frac{\beta^2 p!}{4N^{p-1}} \left[ \frac{1}{(p-1)!} \sum_{\pi} \hat{m}_{\pi(k_1)} m_{\pi(k_2)} \cdots m_{\pi(k_p)} \right]^2 \right\}\\ |
| \end{eqnarray*} | \end{eqnarray*} |
| 여기서 $\sum_\pi$는 모든 순열(permutation)에 대한 합을 의미한다. 각 항마다 $(p-1)$개의 $m$들을 크기 순서대로만 늘어놓고 있기 때문에 모든 경우의 수를 만들어내는 $\pi$로는 $(p-1)!$만큼 중복이 일어나게 된다. 그것을 상쇄하기 위해 마지막 줄에서 $(p-1)!$로 나누어주었다. 예를 들어 $p=3$이어서 지수에 $\left(\hat{m}_1 m_2 m_3 + \hat{m}_2 m_1 m_3 + \hat{m}_3 m_1 m_2 \right)^2$과 같은 항이 있었다면 | 여기서 $\sum_\pi$는 모든 순열(permutation)에 대한 합을 의미한다. 예를 들어 $N=3$이고 $p=2$일 때, 인덱스가 겹치는 항들을 무시하면 다음과 같은 것이다: |
| $$\left(\hat{m}_1 m_2 m_3 + \hat{m}_2 m_1 m_3 + \hat{m}_3 m_1 m_2 \right)^2 = \left[ \frac12 \left(\hat{m}_1 m_2 m_3 + \hat{m}_1 m_3 m_2 + \hat{m}_2 m_1 m_3 + \hat{m}_2 m_3 m_1 + \hat{m}_3 m_1 m_2 + \hat{m}_3 m_2 m_1 \right) \right]^2 = \left[ \frac12 \sum_\pi \hat{m}_{\pi(1)} m_{\pi(2)} m_{\pi(3)} \right]^2.$$ | $$\sum_{i,j=1}^N a_{ij} = a_{11} + a_{12} + a_{13} + a_{21} + a_{22} + a_{23} + a_{31} + a_{32} + a_{33} \approx a_{12} + a_{21} + a_{13} + a_{31} + a_{23} + a_{32} = \sum_{i<j} \sum_\pi a_{\pi(i)\pi(j)}.$$ |
| 이 제곱항을 전개해보자. 이 계산에서는 $p$개의 인덱스 $k_1, \ldots, k_p$를 크기 순서대로 뽑고 그것들을 $\pi_1$으로 뒤섞은 항들의 합과 $\pi_2$로 뒤섞은 항들의 합을 곱하는데, 이를 $k_1, \ldots, k_p$을 선택하는 모든 경우에 대해 다시 합하는 것이다. 전체 항들 중에서 $\pi_1(k_1) = \pi_2(k_2)$인 경우들을 모아서 $\Sigma_1$, 그리고 $\pi_1(k_1) \neq \pi_2(k_2)$인 나머지 경우들을 모아서 $\Sigma_2$로 적자: | 지수 함수 안의 제곱항을 전개해보자. 이 계산에서는 $p$개의 인덱스 $k_1, \ldots, k_p$를 크기 순서대로 뽑고 그것들을 $\pi_1$으로 뒤섞은 항들의 합과 $\pi_2$로 뒤섞은 항들의 합을 곱하는데, 이를 $k_1, \ldots, k_p$을 선택하는 모든 경우에 대해 다시 합하는 것이다. 전체 항들 중에서 $\pi_1(k_1) = \pi_2(k_2)$인 경우들을 모아서 $\Sigma_1$, 그리고 $\pi_1(k_1) \neq \pi_2(k_2)$인 나머지 경우들을 모아서 $\Sigma_2$로 적자: |
| \begin{eqnarray*} | \begin{eqnarray*} |
| \prod_{k_1< \ldots<k_p} \left( \sum_{\pi} \hat{m}_{\pi(k_1)} m_{\pi(k_2)} \cdots m_{\pi(k_p)} \right)^2 &=& | \sum_{k_1< \ldots<k_p} \left( \sum_{\pi} \hat{m}_{\pi(k_1)} m_{\pi(k_2)} \cdots m_{\pi(k_p)} \right)^2 &=& |
| \prod_{k_1< \ldots<k_p} \left( \sum_{\pi_1} \hat{m}_{\pi_1(k_1)} m_{\pi_1(k_2)} \cdots m_{\pi_1(k_p)} \right) \left( \sum_{\pi_2} \hat{m}_{\pi_2(k_1)} m_{\pi_2(k_2)} \cdots m_{\pi_2(k_p)} \right) = \Sigma_1 + \Sigma_2. | \sum_{k_1< \ldots<k_p} \left( \sum_{\pi_1} \hat{m}_{\pi_1(k_1)} m_{\pi_1(k_2)} \cdots m_{\pi_1(k_p)} \right) \left( \sum_{\pi_2} \hat{m}_{\pi_2(k_1)} m_{\pi_2(k_2)} \cdots m_{\pi_2(k_p)} \right) = \Sigma_1 + \Sigma_2. |
| \end{eqnarray*} | \end{eqnarray*} |
| 대각항들을 포함하는 $\Sigma_1$을 계산한다. 먼저 $q = N^{-1} \sum_{i=1}^N m_i^2$이므로 하나의 $m_i^2$마다 대략 $q$만큼을 기여한다고 하자. $\hat{m}$의 인덱스가 고정되면 $\pi_1$과 $\pi_2$ 각각이 $(p-1)!$개의 경우의 수를 만들어내는데 곱셈에서 순서는 중요하지 않고 모두 같은 결과를 주므로 $\Sigma_1 \propto (p-1)!^2 q^{p-1} \hat{m}_{\pi_1(k_1)}^2$이다. 계산을 다 끝내고 나면 각 $\hat{m}_i^2$은 $i$마다 공평하게 같은 횟수만큼 등장할 것이다. 그 횟수를 세어보면, 결국 $N$개의 인덱스들 중에서 $k_2<\ldots<k_p$가 되게끔 $(p-1)$개를 추출하여 $\hat{m}_{\pi_1(k_1)}$에 곱하는 데서 오는 것이므로 대략 $N^{p-1}/(p-1)!$번이다 ($N\gg p$). 예를 들어 | 대각항들을 포함하는 $\Sigma_1$을 계산한다. 먼저 $q = N^{-1} \sum_{i=1}^N m_i^2$이므로 하나의 $m_i^2$마다 대략 $q$만큼을 기여한다고 하자. $\hat{m}$의 인덱스가 고정되면 $\pi_1$과 $\pi_2$ 각각이 $(p-1)!$개의 경우의 수를 만들어내는데 곱셈에서 순서는 중요하지 않고 모두 같은 결과를 주므로 $\Sigma_1 \propto (p-1)!^2 q^{p-1} \hat{m}_{\pi_1(k_1)}^2$이다. 계산을 다 끝내고 나면 각 $\hat{m}_i^2$은 $i$마다 공평하게 같은 횟수만큼 등장할 것이다. 그 횟수를 세어보면, 결국 $N$개의 인덱스들 중에서 $k_2<\ldots<k_p$가 되게끔 $(p-1)$개를 추출하여 $\hat{m}_i=\hat{m}_{\pi_1(k_1)}$에 곱하는 데서 오는 것이므로 대략 $N^{p-1}/(p-1)!$번이다 ($N\gg p$). 예를 들어 |
| $\left(\hat{m}_1 m_2 m_3 + \hat{m}_1 m_3 m_2 + \hat{m}_2 m_1 m_3 + \hat{m}_2 m_3 m_1 + \hat{m}_3 m_1 m_2 + \hat{m}_3 m_2 m_1 \right)^2$에서 $\hat{m}_1^2 m_2^2 m_3^2$이 $(p-1)!^2=4$개가 나오고 이 계산을 $\left(\hat{m}_1 m_2 m_4 + \hat{m}_1 m_4 m_2 + \hat{m}_2 m_1 m_4 + \hat{m}_2 m_4 m_1 + \hat{m}_4 m_1 m_2 + \hat{m}_4 m_2 m_1 \right)^2$, $\left(\hat{m}_1 m_3 m_4 + \hat{m}_1 m_3 m_4 + \hat{m}_3 m_1 m_4 + \hat{m}_3 m_4 m_1 + \hat{m}_4 m_1 m_3 + \hat{m}_4 m_3 m_1 \right)^2$ 등에 대해 반복하며 $4 \hat{m}_1^2 m_2^2 m_4^2 \approx (p-1)!^2 q^{p-1} \hat{m}_1^2$, $4\hat{m}_1^2 m_2^2 m_4^2 \approx (p-1)!^2 q^{p-1} \hat{m}_1^2$ 등을 계속 모아나가는 셈이다. | $\left(\hat{m}_1 m_2 m_3 + \hat{m}_1 m_3 m_2 + \hat{m}_2 m_1 m_3 + \hat{m}_2 m_3 m_1 + \hat{m}_3 m_1 m_2 + \hat{m}_3 m_2 m_1 \right)^2$에서 $\hat{m}_1^2 m_2^2 m_3^2$이 $(p-1)!^2=4$개가 나오고 이 계산을 $\left(\hat{m}_1 m_2 m_4 + \hat{m}_1 m_4 m_2 + \hat{m}_2 m_1 m_4 + \hat{m}_2 m_4 m_1 + \hat{m}_4 m_1 m_2 + \hat{m}_4 m_2 m_1 \right)^2$, $\left(\hat{m}_1 m_3 m_4 + \hat{m}_1 m_3 m_4 + \hat{m}_3 m_1 m_4 + \hat{m}_3 m_4 m_1 + \hat{m}_4 m_1 m_3 + \hat{m}_4 m_3 m_1 \right)^2$ 등에 대해 반복하며 $4 \hat{m}_1^2 m_2^2 m_4^2 \approx (p-1)!^2 q^{p-1} \hat{m}_1^2$, 그리고 $4\hat{m}_1^2 m_3^2 m_4^2 \approx (p-1)!^2 q^{p-1} \hat{m}_1^2$ 등을 계속 모아나가는 셈이다. |
| 따라서 | 따라서 |
| $$\Sigma_1 = (p-1)! N^{p-1} q^{p-1} \sum_{i=1}^N \hat{m}_i^2.$$ | $$\Sigma_1 = (p-1)! N^{p-1} q^{p-1} \sum_{i=1}^N \hat{m}_i^2.$$ |
| 이제 이 결과들을 앞의 식에 대입하면 | 이제 이 결과들을 앞의 식에 대입하면 |
| \begin{eqnarray*} | \begin{eqnarray*} |
| \langle \mathcal{N} \rangle &\approx& N\int \frac{dq ~d\hat{q}}{2\pi} \int \prod_i \left(\frac{dm_i d\hat{m}_i}{2\pi}\right) \exp\left[I\zeta \sum_i \hat{m}_i m_i + I\hat{q} \left(Nq - \sum_i m_i^2 \right) \right] \exp \left[ -\frac{\beta^2 p!}{4N^{p-1}} \frac{1}{(p-1)!^2} \left( \Sigma_1 + \Sigma_2 \right) \right] | \langle \mathcal{N} \rangle &\approx& N\int \frac{dq ~d\hat{q}}{2\pi} \int \left(\prod_{i=1}^N \frac{dm_i d\hat{m}_i}{2\pi}\right) \exp\left[I\zeta \sum_{i=1}^N \hat{m}_i m_i + I\hat{q} \left(Nq - \sum_{i=1}^N m_i^2 \right) \right] \exp \left[ -\frac{\beta^2 p!}{4N^{p-1}} \frac{1}{(p-1)!^2} \left( \Sigma_1 + \Sigma_2 \right) \right] |
| \langle \det \mathcal{H} \rangle\\ | \langle \det \mathcal{H} \rangle\\ |
| &=& N\int \frac{dq ~d\hat{q}}{2\pi} \int \prod_i \left(\frac{dm_i d\hat{m}_i}{2\pi}\right) \exp\left[I\zeta \sum_i \hat{m}_i m_i + I\hat{q} \left(Nq - \sum_i m_i^2 \right) -\frac{\beta^2 p q^{p-1}}{4} \sum_{i=1}^N \hat{m}_i^2 -\frac{\beta^2 p(p-1) q^{p-2}}{4N} \left(\sum_{i=1}^N \hat{m}_i m_i \right)^2 \right] | &=& N\int \frac{dq ~d\hat{q}}{2\pi} \int \left(\prod_{i=1}^N \frac{dm_i d\hat{m}_i}{2\pi}\right) \exp\left[I\zeta \sum_{i=1}^N \hat{m}_i m_i + I\hat{q} \left(Nq - \sum_{i=1}^N m_i^2 \right) -\frac{\beta^2 p q^{p-1}}{4} \sum_{i=1}^N \hat{m}_i^2 -\frac{\rho}{4N} \left(\sum_{i=1}^N \hat{m}_i m_i \right)^2 \right] |
| \langle \det \mathcal{H} \rangle\\ | \langle \det \mathcal{H} \rangle\\ |
| | &\propto& \int dy \int \frac{dq ~d\hat{q}}{2\pi} \int \left(\prod_{i=1}^N \frac{dm_i d\hat{m}_i}{2\pi}\right) \exp\left[I\zeta \sum_{i=1}^N \hat{m}_i m_i + I\hat{q} \left(Nq - \sum_{i=1}^N m_i^2 \right) -\frac{\beta^2 p q^{p-1}}{4} \sum_{i=1}^N \hat{m}_i^2 + Iy\sum_i m_i \hat{m}_i -\frac{Ny^2}{\rho} \right] |
| | \langle \det \mathcal{H} \rangle\\ |
| | &\propto& \int \frac{dq ~d\hat{q}}{2\pi} \int \left(\prod_{i=1}^N \frac{dm_i d\hat{m}_i}{2\pi}\right) \exp\left[I\zeta \sum_{i=1}^N \hat{m}_i m_i + I\hat{q} \left(Nq - \sum_{i=1}^N m_i^2 \right) -\frac{\beta^2 p q^{p-1}}{4} \sum_{i=1}^N \hat{m}_i^2 + Iy_\ast\sum_i m_i \hat{m}_i -\frac{Ny_\ast^2}{\rho} \right] |
| | \langle \det \mathcal{H} \rangle. |
| | \end{eqnarray*} |
| | 중간에 [[수학:허바드-스트라토노비치_변환|허바드-스트라토노비치 변환]]을 사용하여 변수 $y$를 도입했고, $y_\ast$는 [[수학:안장점_근사|안장점 근사]]의 의미에서 가장 많은 기여를 하는 지점이다. |
| | |
| | ++++ |
| | ++++행렬식의 평균 계산| |
| | 다른 한편으로, 행렬식 부분은 [[수학:윅의_정리|다차원 가우스 함수의 적분]]을 활용해서 다음의 표현식을 사용한다: |
| | $$\det \mathcal{H} = \lim_{n\to -2} \int \left(\prod_{i=1}^N \prod_{\alpha=1}^n \frac{d\xi_{i\alpha}}{\sqrt{2\pi}}\right) \exp\left(-\frac12 \sum_{i\alpha} \xi_{i\alpha} \mathcal{H}_{ij} \xi_{j\alpha} \right).$$ |
| | \begin{eqnarray*} |
| | \Biggl< \int \left(\prod_{i,\alpha} \frac{d\xi_{i\alpha}}{\sqrt{2\pi}}\right) \exp\left(-\frac12 \sum_{i\alpha} \xi_i^\alpha \mathcal{H}_{ij} \xi_j^\alpha \right) \Biggr> &=& |
| | \Biggl< \int \left(\prod_{i,\alpha} \frac{d\xi_{i\alpha}}{\sqrt{2\pi}}\right) \exp\left[-\frac12 \zeta \sum_{i\alpha} \xi_{i\alpha}^2 + \frac{\beta}{2(p-2)!} \sum_\alpha \sum_{i_1,\ldots,i_p} J_{i_1\ldots i_p} \xi_{i_1\alpha} \xi_{i_2\alpha} m_{i_3} \cdots m_{i_p} \right] \Biggr>\\ |
| | &=& \int \left(\prod_{i,\alpha} \frac{d\xi_{i\alpha}}{\sqrt{2\pi}}\right) \exp\left(-\frac12 \zeta \sum_{i\alpha} \xi_{i\alpha}^2 \right) \Biggl< \exp\left[ \frac{\beta}{2(p-2)!} \sum_\alpha \sum_{i_1,\ldots,i_p} J_{i_1\ldots i_p} \xi_{i_1\alpha} \xi_{i_2\alpha} m_{i_3} \cdots m_{i_p} \right] \Biggr>\\ |
| | &=& \int \left(\prod_{i,\alpha} \frac{d\xi_{i\alpha}}{\sqrt{2\pi}}\right) \exp\left(-\frac12 \zeta \sum_{i\alpha} \xi_{i\alpha}^2 \right) \prod_{i_1,\ldots,i_p} \Biggl< \exp\left[ \frac{\beta}{2(p-2)!} J_{i_1\ldots i_p} \sum_\alpha \xi_{i_1\alpha} \xi_{i_2\alpha} m_{i_3} \cdots m_{i_p} \right] \Biggr>\\ |
| | &=& \int \left(\prod_{i,\alpha} \frac{d\xi_{i\alpha}}{\sqrt{2\pi}}\right) \exp\left(-\frac12 \zeta \sum_{i\alpha} \xi_{i\alpha}^2 \right) \prod_{i_1<\ldots<i_p} \Biggl< \exp\left[ \frac{\beta}{2(p-2)!} J_{i_1\ldots i_p} \sum_{\pi} \sum_{\alpha} \xi_{\pi(i_1)\alpha} \xi_{\pi(i_2)\alpha} m_{\pi(i_3)} \cdots m_{\pi(i_p)} \right] \Biggr>\\ |
| | &=& \int \left(\prod_{i,\alpha} \frac{d\xi_{i\alpha}}{\sqrt{2\pi}}\right) \exp\left(-\frac12 \zeta \sum_{i\alpha} \xi_{i\alpha}^2 \right) \prod_{i_1<\ldots<i_p} \exp\left\{ \frac{p!}{4N^{p-1}} \left[ \frac{\beta}{2(p-2)!} \sum_{\pi} \sum_{\alpha} \xi_{\pi(i_1)\alpha} \xi_{\pi(i_2)\alpha} m_{\pi(i_3)} \cdots m_{\pi(i_p)} \right]^2 \right\}. |
| | \end{eqnarray*} |
| | 여기에서도 지수 함수 안의 제곱 항을 다음처럼 전개했을 때 아래처럼 세 부분으로 나누어 쓸 수 있는데 |
| | \begin{eqnarray*} |
| | \sum_{i_1<\ldots<i_p} \left[ \sum_{\pi} \sum_{\alpha} \xi_{\pi(i_1)\alpha} \xi_{\pi(i_2)\alpha} m_{\pi(i_3)} \cdots m_{\pi(i_p)} \right]^2 &=& |
| | \sum_{i_1<\ldots<i_p} \left[ \sum_{\pi_1} \sum_{\alpha} \xi_{\pi_1(i_1)\alpha} \xi_{\pi_1(i_2)\alpha} m_{\pi_1(i_3)} \cdots m_{\pi_1(i_p)} \right] |
| | \left[ \sum_{\pi_2} \sum_{\gamma} \xi_{\pi_2(i_1)\gamma} \xi_{\pi_2(i_2)\gamma} m_{\pi_2(i_3)} \cdots m_{\pi_2(i_p)} \right] = \Xi_1 + \Xi_2 + \Xi_3, |
| | \end{eqnarray*} |
| | 먼저 $\pi_1(i_1)=\pi_2(i_1)$이면서 동시에 $\pi_1(i_2)=\pi_2(i_2)$인 부분의 기여가 $\Xi_1$, 둘 중 하나만 일치하는 경우가 $\Xi_2$, 둘 모두 불일치하는 경우가 $\Xi_3$이다. 이 중 $N\to\infty$에서는 $\Xi_1$이 가장 주된 기여를 하는데, $N=5$이고 $p=4$인 예를 생각해본다면 이런 항들을 얻게 될 것이다: |
| | \begin{eqnarray*} |
| | \Xi_1 &=& \left(\sum_\alpha \xi_{1\alpha} \xi_{2\alpha} m_3 m_4 + \xi_{1\alpha} \xi_{2\alpha} m_4 m_3 + \xi_{2\alpha} \xi_{1\alpha} m_3 m_4 + \xi_{2\alpha} \xi_{1\alpha} m_4 m_3 + \ldots\right) \left(\sum_\gamma \xi_{1\gamma} \xi_{2\gamma} m_3 m_4 + \xi_{1\gamma} \xi_{2\gamma} m_4 m_3 + \xi_{2\gamma} \xi_{1\gamma} m_3 m_4 + \xi_{2\gamma} \xi_{1\gamma} m_4 m_3 + \ldots\right)\\ |
| | &=& \xi_{1\alpha}\xi_{2\alpha}\xi_{1\gamma}\xi_{2\gamma} \left[2(p-2)!\right]^2 \left(m_3^2 m_4^2 + m_3^2 m_5^2 + m_4^2 m_5^2 \right) + \xi_{1\alpha}\xi_{3\alpha}\xi_{1\gamma}\xi_{3\gamma} \left[2(p-2)!\right]^2 \left(m_2^2 m_4^2 + m_2^2 m_5^2 + m_4^2 m_5^2 \right) + \ldots |
| | \end{eqnarray*} |
| | 두 번째 줄에서 하나의 $(\ldots)$ 안에는 대략 $N^{p-2}/(p-2)!$ 개의 항들이 더해져 있고 각각의 항들이 $q^{p-2}$의 크기이므로 |
| | \begin{eqnarray*} |
| | \Xi_1 &=& \sum_{\alpha\gamma} \sum_{i<j} \xi_{i\alpha}\xi_{i\gamma}\xi_{j\alpha}\xi_{j\gamma} \left[2(p-2)!\right]^2 q^{p-2} \frac{N^{p-2}}{(p-2)!} \approx 2(p-2)! q^{p-2} N^p \left(\frac{1}{N} \sum_i \xi_{i\alpha}\xi_{i\gamma} \right)^2. |
| | \end{eqnarray*} |
| | 따라서 |
| | \begin{eqnarray*} |
| | \langle \det \mathcal{H} \rangle &\approx& \lim_{n\to -2} \int \left(\prod_{i,\alpha} \frac{d\xi_{i\alpha}}{\sqrt{2\pi}}\right) \exp\left(-\frac12 \zeta \sum_{i\alpha} \xi_{i\alpha}^2 \right) \exp\left[ \frac{\beta^2 p!}{16N^{p-1} [(p-2)!]^2} 2(p-2)! q^{p-2} N^p \sum_{\alpha\gamma} \left( \frac{1}{N} \sum_i \xi_{i\alpha}\xi_{i\gamma} \right)^2 \right]\\ |
| | &=& \lim_{n\to -2} \int \left(\prod_{i,\alpha} \frac{d\xi_{i\alpha}}{\sqrt{2\pi}}\right) \exp\left(-\frac12 \zeta \sum_{i\alpha} \xi_{i\alpha}^2 \right) \exp\left[ \frac{1}{8} N\rho \sum_{\alpha\gamma} \left( \frac{1}{N} \sum_i \xi_{i\alpha}\xi_{i\gamma} \right)^2 \right]\\ |
| | &\propto& \lim_{n\to -2} \int \left(\prod_{\alpha\gamma} dz_{\alpha\gamma}\right) \int \left(\prod_{i,\alpha} \frac{d\xi_{i\alpha}}{\sqrt{2\pi}}\right) \exp\left(-\frac12 \zeta \sum_{i\alpha} \xi_{i\alpha}^2 - N\sum_{\alpha\gamma} \frac{z_{\alpha\gamma}^2}{2\rho} + \frac12 \sum_{\alpha\gamma} \sum_i z_{\alpha\gamma} \xi_{i\alpha}\xi_{i\gamma} \right). |
| | \end{eqnarray*} |
| | 마지막 줄에서 [[수학:허바드-스트라토노비치_변환|허바드-스트라토노비치 변환]]으로 변수 $z_{\alpha\gamma}$를 도입했다. 만일 $z_{\alpha\gamma} = z\delta_{\alpha\gamma}$라면, |
| | \begin{eqnarray*} |
| | \langle \det \mathcal{H} \rangle &\propto& \lim_{n\to -2} \int \left(\prod_{i,\alpha} \frac{d\xi_{i\alpha}}{\sqrt{2\pi}}\right) |
| | \prod_{\alpha=1}^n \int dz \exp \left[ -\frac12 \sum_{i} (\zeta - z) \xi_{i\alpha}^2 - N \frac{z^2}{2\rho} \right]\\ |
| | &\propto& \lim_{n\to -2} \int \left(\prod_{i,\alpha} \frac{d\xi_{i\alpha}}{\sqrt{2\pi}}\right) |
| | \prod_{\alpha=1}^n \exp \left[ -\frac12 \sum_{i} (\zeta - z_\ast) \xi_{i\alpha}^2 - N \frac{z_\ast^2}{2\rho} \right]\\ |
| | &\propto& \lim_{n\to -2} \exp\left[ -\frac{Nnz_\ast^2}{2\rho} \right] \prod_{i=1}^N (\zeta - z_\ast)^{-n/2}\\ |
| | &=& \exp\left[ \frac{Nz_\ast^2}{\rho} \right] (\zeta - z_\ast)^N. |
| | \end{eqnarray*} |
| | 이때 $z_\ast$는, [[수학:안장점_근사|안장점 근사]]의 의미에서 적분에 가장 많은 기여를 하는 지점이다. |
| | ++++ |
| | \begin{eqnarray*} |
| | \langle \mathcal{N} \rangle &\propto& \int \frac{dq ~d\hat{q}}{2\pi} \int \left(\prod_{i=1}^N \frac{dm_i d\hat{m}_i}{2\pi}\right) \exp\left[I\zeta \sum_{i=1}^N \hat{m}_i m_i + I\hat{q} \left(Nq - \sum_{i=1}^N m_i^2 \right) -\frac{\beta^2 pq^{p-1}}{4} \sum_{i=1}^N \hat{m}_i^2 + Iy_\ast\sum_{i=1}^N m_i \hat{m}_i -\frac{Ny_\ast^2}{\rho} \right] \times \exp\left[ \frac{Nz_\ast^2}{\rho} \right] (\zeta - z_\ast)^N\\ |
| | &\propto& \int \frac{dq ~d\hat{q}}{2\pi} \exp \left[N \left( I\hat{q}q - \frac{y_\ast^2}{\rho} + \frac{z_\ast^2}{\rho} \right) \right]\int \left(\prod_{i=1}^N \frac{dm_i d\hat{m}_i}{2\pi}\right) \exp\left[I\zeta \sum_{i=1}^N \hat{m}_i m_i - I\hat{q}\sum_{i=1}^N m_i^2 -\frac{\beta^2 pq^{p-1}}{4} \sum_{i=1}^N \hat{m}_i^2 + Iy_\ast\sum_{i=1}^N m_i \hat{m}_i \right] (\zeta - z_\ast)^N\\ |
| | &=& \int \frac{dq ~d\hat{q}}{2\pi} \exp \left[N \left( I\hat{q}q - \frac{y_\ast^2}{\rho} + \frac{z_\ast^2}{\rho} \right) \right] \left\{ \int \frac{dm ~d\hat{m}}{2\pi} \exp\left[I\zeta \hat{m} m - I\hat{q} m^2 -\frac{\beta^2 pq^{p-1}}{4} \hat{m}^2 + Iy_\ast m \hat{m} \right] (\zeta - z_\ast) \right\}^N\\ |
| | \end{eqnarray*} |
| | |
| | 다음의 두 변수를 정의하자: |
| | \begin{eqnarray*} |
| | B &\equiv& z_\ast - \rho(1-q)/2\\ |
| | D &\equiv& y_\ast + \rho(1-q)/2. |
| | \end{eqnarray*} |
| | 그러면 $z_\ast^2 - y_\ast^2 = B^2-D^2 + \rho(1-q) (B+D)$이고 $\zeta-z_\ast = 1/(1-q)-B$, 그리고 $\zeta+y_\ast = 1/(1-q) + D$이다. 이를 대입하면 |
| | $$\langle \mathcal{N} \rangle \propto \int d\hat{q} dB ~dD \exp(N\Xi)$$ |
| | 로서, |
| | \begin{eqnarray*} |
| | \Xi &\equiv& I\hat{q}{q} + (B+D)(1-q) + \frac{1}{\rho}\left(B^2 - D^2 \right) + \ln\left( \frac{1}{1-q} - B \right) + \ln \mathcal{I}\\ |
| | \mathcal{I} &\equiv& \int \frac{dm~d\hat{m}}{2\pi} \exp\left[ -\frac{\beta pq^{p-1}}{4} \hat{m}^2 + I\hat{m} \left( \frac{1}{1-q}+D \right)m - I\hat{q} m^2 \right] |
| | = \left[ \left(\frac{1}{1-q} + D\right)^2 + I\beta pq^{p-1} \hat{q} \right]^{-1/2} |
| \end{eqnarray*} | \end{eqnarray*} |
| | [[수학:안장점_근사|안장점 근사]]로 $B$에 관한 적분을 계산하기 위해 방정식 $\partial \Xi / \partial B=0$을 풀어보면 $B=0$이 해 중의 하나로 등장하며, 우리는 이것을 택한다. |
| |
| ===카바냐 등(1999)의 계산(작성 중)=== | ===카바냐 등(1999)의 계산(작성 중)=== |