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 ====무작위 평균====
-===리거(1992), 그리고 크리산티와 좀머스(1995)의 계산(작성 중)===
+===리거(1992), 그리고 크리산티와 좀머스(1995)의 계산===
+++++보기|
+==개요==
 여기에서는 $q$를 $m_i$들과 독립적인 변수로 취급하고 나중에 [[수학:디락_델타_함수|디락 델타 함수]]로써 $q = N^{-1}\sum_i m_i^2$의 제약을 둔다.
-$\zeta \equiv 1/(1-q) + \beta^2 p (p-1)(1-q) q^{p-2}/2$로 정의할 때 [[물리:tap_방정식|TAP 방정식]]을 다음처럼 적게 되고
+$\rho \equiv \beta^2 p(p-1) q^{p-2}$이고
+$\zeta \equiv 1/(1-q) + (1-q) \rho/2$로 정의할 때 [[물리:tap_방정식|TAP 방정식]]을 다음처럼 적게 되며,
 $$\mathcal{T}_i = \zeta m_i - \frac{\beta}{(p-1)!} \sum_{k_2, \ldots, k_p} J_{i k_2 \ldots k_p} m_{k_2} \cdots m_{k_p} = 0$$
 헤세 행렬의 원소는 이렇게 주어진다:
@@ Line 513: / Line 516: @@
 &=& N\int \frac{dq ~d\hat{q}}{2\pi} \int \left( \prod_i \frac{dm_i d\hat{m}_i}{2\pi}\right) \exp\left[I\hat{q} \left(Nq - \sum_i m_i^2 \right) \right] \exp \left[ I\zeta \sum_i \hat{m}_i m_i - \frac{I\beta}{(p-1)!} \sum_{i,k_2, \ldots, k_p} J_{i k_2 \ldots k_p} \hat{m}_i m_{k_2} \cdots m_{k_p}\right] \det \mathcal{H}.\\
 \end{eqnarray*}
-$\mathcal{N}$에 대해 곧바로 무작위 평균을 취하도록 하자. 지수 함수뿐만 아니라 $\det \mathcal{H}$에도 $J_{ijk_3\ldots k_p}$가 포함되어 있지만, 평균을 취하는 과정에서 생겨나는 교차항을 무시할 수 있다고 하면 아래처럼 따로 평균을 취한 후 곱할 수 있다:
+$\mathcal{N}$에 대해 곧바로 무작위 평균을 취하도록 하자. 지수 함수뿐만 아니라 $\det \mathcal{H}$에도 $J_{ijk_3\ldots k_p}$가 포함되어 있지만, 평균을 취하는 과정에서 생겨나는 교차항을 무시하면 아래처럼 따로 평균을 취한 후 곱할 수 있다:
 \begin{eqnarray*}
 \langle \mathcal{N} \rangle &\approx& N\int \frac{dq ~d\hat{q}}{2\pi} \int \left(\prod_i \frac{dm_i d\hat{m}_i}{2\pi}\right) \exp\left[I\zeta \sum_i \hat{m}_i m_i + I\hat{q} \left(Nq - \sum_i m_i^2 \right) \right] \Biggl< \exp \left[- \frac{I\beta}{(p-1)!} \sum_{i,k_2, \ldots, k_p} J_{i k_2 \ldots k_p} \hat{m}_i m_{k_2} \cdots m_{k_p}\right] \Biggr>
 \langle \det \mathcal{H} \rangle.\\
 \end{eqnarray*}
-++++지수 함수의 평균 계산|
+==지수 함수의 평균==
 이 중에서 앞의 평균은 다음처럼 계산되고
 \begin{eqnarray*}
-\prod_{k_1, \ldots, k_p} \Biggl< \exp \left[- \frac{I p \beta}{p!} J_{k_1 k_2 \ldots k_p} \hat{m}_{k_1} m_{k_2} \cdots m_{k_p}\right] \Biggr>
+\prod_{k_1, \ldots, k_p} \Biggl< \exp \left[- \frac{I \beta}{(p-1)!} J_{k_1 k_2 \ldots k_p} \hat{m}_{k_1} m_{k_2} \cdots m_{k_p}\right] \Biggr>
-&\approx& \prod_{k_1 < \ldots< k_p} \Bigl< \exp \left(- I p \beta J_{k_1 k_2 \ldots k_p} \hat{m}_{k_1} m_{k_2} \cdots m_{k_p}\right) \Bigr>\\
+&\approx& \prod_{k_1 < \ldots< k_p} \Biggl< \exp \left[- \frac{I \beta}{(p-1)!} J_{k_1 k_2 \ldots k_p} \sum_{\pi} \hat{m}_{\pi(k_1)} m_{\pi(k_2)} \cdots m_{\pi(k_p)}\right] \Biggr>\\
-&=& \prod_{k_1 < \ldots< k_p} \Bigl< \exp \left[- I \beta J_{k_1 k_2 \ldots k_p} \left( \hat{m}_{k_1} m_{k_2} \cdots m_{k_p} + m_{k_1} \hat{m}_{k_2} \cdots m_{k_p} + \ldots + m_{k_1} m_{k_2} \cdots \hat{m}_{k_p} \right) \right] \Bigr>\\
-&=& \prod_{k_1< \ldots<k_p} \exp \left[ -\frac{\beta^2 p!}{4N^{p-1}} \left( \hat{m}_{k_1} m_{k_2} \cdots m_{k_p} + m_{k_1} \hat{m}_{k_2} \cdots m_{k_p} + \ldots + m_{k_1} m_{k_2} \cdots \hat{m}_{k_p} \right)^2 \right]\\
 &=& \prod_{k_1< \ldots<k_p} \exp \left\{ -\frac{\beta^2 p!}{4N^{p-1}} \left[ \frac{1}{(p-1)!} \sum_{\pi} \hat{m}_{\pi(k_1)} m_{\pi(k_2)} \cdots m_{\pi(k_p)} \right]^2 \right\}\\
 \end{eqnarray*}
-여기서 $\sum_\pi$는 모든 순열(permutation)에 대한 합을 의미한다. 각 항마다 $(p-1)$개의 $m$들을 크기 순서대로만 늘어놓고 있기 때문에 모든 경우의 수를 만들어내는 $\pi$로는 $(p-1)!$만큼 중복이 일어나게 된다. 그것을 상쇄하기 위해 마지막 줄에서 $(p-1)!$로 나누어주었다. 예를 들어 $p=3$이어서 지수에 $\left(\hat{m}_1 m_2 m_3 + \hat{m}_2 m_1 m_3 + \hat{m}_3 m_1 m_2 \right)^2$과 같은 항이 있었다면
+여기서 $\sum_\pi$는 모든 순열(permutation)에 대한 합을 의미한다. 예를 들어 $N=3$이고 $p=2$일 때, 인덱스가 겹치는 항들을 무시하면 다음과 같은 것이다:
-$$\left(\hat{m}_1 m_2 m_3 + \hat{m}_2 m_1 m_3 + \hat{m}_3 m_1 m_2 \right)^2 = \left[ \frac12 \left(\hat{m}_1 m_2 m_3 + \hat{m}_1 m_3 m_2 + \hat{m}_2 m_1 m_3 + \hat{m}_2 m_3 m_1 + \hat{m}_3 m_1 m_2 + \hat{m}_3 m_2 m_1 \right) \right]^2 = \left[ \frac12 \sum_\pi \hat{m}_{\pi(1)} m_{\pi(2)} m_{\pi(3)} \right]^2.$$
+$$\sum_{i,j=1}^N a_{ij} = a_{11} + a_{12} + a_{13} + a_{21} + a_{22} + a_{23} + a_{31} + a_{32} + a_{33} \approx a_{12} + a_{21} + a_{13} + a_{31} + a_{23} + a_{32} =  \sum_{i<j} \sum_\pi a_{\pi(i)\pi(j)}.$$
-이 제곱항을 전개해보자. 이 계산에서는 $p$개의 인덱스 $k_1, \ldots, k_p$를 크기 순서대로 뽑고 그것들을 $\pi_1$으로 뒤섞은 항들의 합과 $\pi_2$로 뒤섞은 항들의 합을 곱하는데, 이를 $k_1, \ldots, k_p$을 선택하는 모든 경우에 대해 다시 합하는 것이다. 전체 항들 중에서 $\pi_1(k_1) = \pi_2(k_2)$인 경우들을 모아서 $\Sigma_1$, 그리고 $\pi_1(k_1) \neq \pi_2(k_2)$인 나머지 경우들을 모아서 $\Sigma_2$로 적자:
+지수 함수 안의 제곱항을 전개해보자. 이 계산에서는 $p$개의 인덱스 $k_1, \ldots, k_p$를 크기 순서대로 뽑고 그것들을 $\pi_1$으로 뒤섞은 항들의 합과 $\pi_2$로 뒤섞은 항들의 합을 곱하는데, 이를 $k_1, \ldots, k_p$을 선택하는 모든 경우에 대해 다시 합하는 것이다. 전체 항들 중에서 $\pi_1(k_1) = \pi_2(k_2)$인 경우들을 모아서 $\Gamma_1$, 그리고 $\pi_1(k_1) \neq \pi_2(k_2)$인 나머지 경우들을 모아서 $\Gamma_2$로 적자:
 \begin{eqnarray*}
-\prod_{k_1< \ldots<k_p} \left( \sum_{\pi} \hat{m}_{\pi(k_1)} m_{\pi(k_2)} \cdots m_{\pi(k_p)} \right)^2 &=&
+\sum_{k_1< \ldots<k_p} \left( \sum_{\pi} \hat{m}_{\pi(k_1)} m_{\pi(k_2)} \cdots m_{\pi(k_p)} \right)^2 &=&
-\prod_{k_1< \ldots<k_p} \left( \sum_{\pi_1} \hat{m}_{\pi_1(k_1)} m_{\pi_1(k_2)} \cdots m_{\pi_1(k_p)} \right) \left( \sum_{\pi_2} \hat{m}_{\pi_2(k_1)} m_{\pi_2(k_2)} \cdots m_{\pi_2(k_p)} \right) = \Sigma_1 + \Sigma_2.
+\sum_{k_1< \ldots<k_p} \left( \sum_{\pi_1} \hat{m}_{\pi_1(k_1)} m_{\pi_1(k_2)} \cdots m_{\pi_1(k_p)} \right) \left( \sum_{\pi_2} \hat{m}_{\pi_2(k_1)} m_{\pi_2(k_2)} \cdots m_{\pi_2(k_p)} \right) = \Gamma_1 + \Gamma_2.
 \end{eqnarray*}
-대각항들을 포함하는 $\Sigma_1$을 계산한다. 먼저 $q = N^{-1} \sum_{i=1}^N m_i^2$이므로 하나의 $m_i^2$마다 대략 $q$만큼을 기여한다고 하자. $\hat{m}$의 인덱스가 고정되면 $\pi_1$과 $\pi_2$ 각각이 $(p-1)!$개의 경우의 수를 만들어내는데 곱셈에서 순서는 중요하지 않고 모두 같은 결과를 주므로 $\Sigma_1 \propto (p-1)!^2 q^{p-1} \hat{m}_{\pi_1(k_1)}^2$이다. 계산을 다 끝내고 나면 각 $\hat{m}_i^2$은 $i$마다 공평하게 같은 횟수만큼 등장할 것이다. 그 횟수를 세어보면, 결국 $N$개의 인덱스들 중에서 $k_2<\ldots<k_p$가 되게끔 $(p-1)$개를 추출하여 $\hat{m}_{\pi_1(k_1)}$에 곱하는 데서 오는 것이므로 대략 $N^{p-1}/(p-1)!$번이다 ($N\gg p$). 예를 들어
+대각항들을 포함하는 $\Gamma_1$을 계산한다. 먼저 $q = N^{-1} \sum_{i=1}^N m_i^2$이므로 하나의 $m_i^2$마다 대략 $q$만큼을 기여한다고 하자. $\hat{m}$의 인덱스가 고정되면 $\pi_1$과 $\pi_2$ 각각이 $(p-1)!$개의 경우의 수를 만들어내는데 곱셈에서 순서는 중요하지 않고 모두 같은 결과를 주므로 $\Gamma_1 \propto (p-1)!^2 q^{p-1} \hat{m}_{\pi_1(k_1)}^2$이다. 계산을 다 끝내고 나면 각 $\hat{m}_i^2$은 $i$마다 공평하게 같은 횟수만큼 등장할 것이다. 그 횟수를 세어보면, 결국 $N$개의 인덱스들 중에서 $k_2<\ldots<k_p$가 되게끔 $(p-1)$개를 추출하여 $\hat{m}_i=\hat{m}_{\pi_1(k_1)}$에 곱하는 데서 오는 것이므로 대략 $N^{p-1}/(p-1)!$번이다 ($N\gg p$). 예를 들어
-$\left(\hat{m}_1 m_2 m_3 + \hat{m}_1 m_3 m_2 + \hat{m}_2 m_1 m_3 + \hat{m}_2 m_3 m_1 + \hat{m}_3 m_1 m_2 + \hat{m}_3 m_2 m_1 \right)^2$에서 $\hat{m}_1^2 m_2^2 m_3^2$이 $(p-1)!^2=4$개가 나오고 이 계산을 $\left(\hat{m}_1 m_2 m_4 + \hat{m}_1 m_4 m_2 + \hat{m}_2 m_1 m_4 + \hat{m}_2 m_4 m_1 + \hat{m}_4 m_1 m_2 + \hat{m}_4 m_2 m_1 \right)^2$, $\left(\hat{m}_1 m_3 m_4 + \hat{m}_1 m_3 m_4 + \hat{m}_3 m_1 m_4 + \hat{m}_3 m_4 m_1 + \hat{m}_4 m_1 m_3 + \hat{m}_4 m_3 m_1 \right)^2$ 등에 대해 반복하며 $4 \hat{m}_1^2 m_2^2 m_4^2 \approx (p-1)!^2 q^{p-1} \hat{m}_1^2$, $4\hat{m}_1^2 m_2^2 m_4^2 \approx (p-1)!^2 q^{p-1} \hat{m}_1^2$ 등을 계속 모아나가는 셈이다.
+$\left(\hat{m}_1 m_2 m_3 + \hat{m}_1 m_3 m_2 + \hat{m}_2 m_1 m_3 + \hat{m}_2 m_3 m_1 + \hat{m}_3 m_1 m_2 + \hat{m}_3 m_2 m_1 \right)^2$에서 $\hat{m}_1^2 m_2^2 m_3^2$이 $(p-1)!^2=4$개가 나오고 이 계산을 $\left(\hat{m}_1 m_2 m_4 + \hat{m}_1 m_4 m_2 + \hat{m}_2 m_1 m_4 + \hat{m}_2 m_4 m_1 + \hat{m}_4 m_1 m_2 + \hat{m}_4 m_2 m_1 \right)^2$, $\left(\hat{m}_1 m_3 m_4 + \hat{m}_1 m_3 m_4 + \hat{m}_3 m_1 m_4 + \hat{m}_3 m_4 m_1 + \hat{m}_4 m_1 m_3 + \hat{m}_4 m_3 m_1 \right)^2$ 등에 대해 반복하며 $4 \hat{m}_1^2 m_2^2 m_4^2 \approx (p-1)!^2 q^{p-1} \hat{m}_1^2$, 그리고 $4\hat{m}_1^2 m_3^2 m_4^2 \approx (p-1)!^2 q^{p-1} \hat{m}_1^2$ 등을 계속 모아나가는 셈이다.
 따라서
-$$\Sigma_1 = (p-1)! N^{p-1} q^{p-1} \sum_{i=1}^N \hat{m}_i^2.$$
+$$\Gamma_1 = (p-1)! N^{p-1} q^{p-1} \sum_{i=1}^N \hat{m}_i^2.$$
-교차항들을 포함하는 $\Sigma_2$의 계산에서는 $\pi_1(k_1) \neq \pi_2(k_2)$인 항들을 곱해보면 $\hat{m}_{\pi_1(k_1)} m_{\pi_1(k_2)} \hat{m}_{\pi_1(k_2)} m_{\pi_1(k_1)}$의 꼴을 포함하는 항들이 등장한다. 앞에서와 마찬가지로 조합에 의해 동일한 항들이 $(p-1)!^2$개 나오는데, 교차항의 특성상 곱의 앞뒤 순서에 따라 다시 2개씩이 나오므로 $\Sigma_2 \propto 2(p-1)!^2 q^{p-2} \hat{m}_{\pi_1(k_1)} m_{\pi_1(k_2)} \hat{m}_{\pi_1(k_2)} m_{\pi_1(k_1)}$임을 알 수 있다. 이제 특정한 $\hat{m}_i m_i \hat{m}_j m_j$가 $\Sigma_2$ 안에 등장하는 횟수를 세어야 한다(곱의 앞뒤 순서를 이미 고려해서 결과가 같은 항들을 모두 합했으므로 중복 셈을 피하기 위해 $i<j$라고 하자). 위와 마찬가지의 논법으로 그 수는 $N\gg p$일 때 대략 $N^{p-2}/(p-2)!$이다. 앞의 예로 돌아가면
+교차항들을 포함하는 $\Gamma_2$의 계산에서는 $\pi_1(k_1) \neq \pi_2(k_2)$인 항들을 곱해보면 $\hat{m}_{\pi_1(k_1)} m_{\pi_1(k_2)} \hat{m}_{\pi_1(k_2)} m_{\pi_1(k_1)}$의 꼴을 포함하는 항들이 등장한다. 앞에서와 마찬가지로 조합에 의해 동일한 항들이 $(p-1)!^2$개 나오는데, 교차항의 특성상 곱의 앞뒤 순서에 따라 다시 2개씩이 나오므로 $\Gamma_2 \propto 2(p-1)!^2 q^{p-2} \hat{m}_{\pi_1(k_1)} m_{\pi_1(k_2)} \hat{m}_{\pi_1(k_2)} m_{\pi_1(k_1)}$임을 알 수 있다. 이제 특정한 $\hat{m}_i m_i \hat{m}_j m_j$가 $\Gamma_2$ 안에 등장하는 횟수를 세어야 한다(곱의 앞뒤 순서를 이미 고려해서 결과가 같은 항들을 모두 합했으므로 중복 셈을 피하기 위해 $i<j$라고 하자). 위와 마찬가지의 논법으로 그 수는 $N\gg p$일 때 대략 $N^{p-2}/(p-2)!$이다. 앞의 예로 돌아가면
 $\left(\hat{m}_1 m_2 m_3 + \hat{m}_1 m_3 m_2 + \hat{m}_2 m_1 m_3 + \hat{m}_2 m_3 m_1 + \hat{m}_3 m_1 m_2 + \hat{m}_3 m_2 m_1 \right)^2$에서 $\hat{m}_1 m_1 \hat{m}_2 m_2 m_3^2$이 $2(p-1)!^2=8$개가 나오고 이 계산을 $\left(\hat{m}_1 m_2 m_4 + \hat{m}_1 m_4 m_2 + \hat{m}_2 m_1 m_4 + \hat{m}_2 m_4 m_1 + \hat{m}_4 m_1 m_2 + \hat{m}_4 m_2 m_1 \right)^2$ 등에 대해 반복하며 $8 \hat{m}_1 m_1 \hat{m}_2 m_2 m_4^2 \approx 2(p-1)!^2 q^{p-2}\hat{m}_1 m_1 \hat{m}_2 m_2$ 등을 계속 모아나가는 셈이다.
 따라서
-$$\Sigma_2 = 2(p-1)!^2 \frac{N^{p-2}}{(p-2)!} q^{p-2} \sum_{i=1}^N \sum_{j>i}^N \hat{m}_i m_i \hat{m}_j m_j \approx (p-1)! (p-1) q^{p-2} N^{p-2} \left(\sum_{i=1}^N \hat{m}_i m_i \right)^2.$$
+$$\Gamma_2 = 2(p-1)!^2 \frac{N^{p-2}}{(p-2)!} q^{p-2} \sum_{i=1}^N \sum_{j>i}^N \hat{m}_i m_i \hat{m}_j m_j \approx (p-1)! (p-1) q^{p-2} N^{p-2} \left(\sum_{i=1}^N \hat{m}_i m_i \right)^2.$$
 이제 이 결과들을 앞의 식에 대입하면
 \begin{eqnarray*}
-\langle \mathcal{N} \rangle &\approx& N\int \frac{dq ~d\hat{q}}{2\pi} \int \left(\prod_i \frac{dm_i d\hat{m}_i}{2\pi}\right) \exp\left[I\zeta \sum_i \hat{m}_i m_i + I\hat{q} \left(Nq - \sum_i m_i^2 \right) \right] \exp \left[ -\frac{\beta^2 p!}{4N^{p-1}} \frac{1}{(p-1)!^2} \left( \Sigma_1 + \Sigma_2 \right) \right]
+\langle \mathcal{N} \rangle &\approx& N\int \frac{dq ~d\hat{q}}{2\pi} \int \left(\prod_{i=1}^N \frac{dm_i d\hat{m}_i}{2\pi}\right) \exp\left[I\zeta \sum_{i=1}^N \hat{m}_i m_i + I\hat{q} \left(Nq - \sum_{i=1}^N m_i^2 \right) \right] \exp \left[ -\frac{\beta^2 p!}{4N^{p-1}} \frac{1}{(p-1)!^2} \left( \Gamma_1 + \Gamma_2 \right) \right]
 \langle \det \mathcal{H} \rangle\\
-&=& N\int \frac{dq ~d\hat{q}}{2\pi} \int \left(\prod_i \frac{dm_i d\hat{m}_i}{2\pi}\right) \exp\left[I\zeta \sum_i \hat{m}_i m_i + I\hat{q} \left(Nq - \sum_i m_i^2 \right) -\frac{\beta^2 p q^{p-1}}{4} \sum_{i=1}^N \hat{m}_i^2 -\frac{\beta^2 p(p-1) q^{p-2}}{4N} \left(\sum_{i=1}^N \hat{m}_i m_i \right)^2 \right]
+&=& N\int \frac{dq ~d\hat{q}}{2\pi} \int \left(\prod_{i=1}^N \frac{dm_i d\hat{m}_i}{2\pi}\right) \exp\left[I\zeta \sum_{i=1}^N \hat{m}_i m_i + I\hat{q} \left(Nq - \sum_{i=1}^N m_i^2 \right) -\frac{\beta^2 p q^{p-1}}{4} \sum_{i=1}^N \hat{m}_i^2 -\frac{\rho}{4N} \left(\sum_{i=1}^N \hat{m}_i m_i \right)^2 \right]
+\langle \det \mathcal{H} \rangle\\
+&\propto& \int dy \int \frac{dq ~d\hat{q}}{2\pi} \int \left(\prod_{i=1}^N \frac{dm_i d\hat{m}_i}{2\pi}\right) \exp\left[I\zeta \sum_{i=1}^N \hat{m}_i m_i + I\hat{q} \left(Nq - \sum_{i=1}^N m_i^2 \right) -\frac{\beta^2 p q^{p-1}}{4} \sum_{i=1}^N \hat{m}_i^2 + Iy\sum_i m_i \hat{m}_i -\frac{Ny^2}{\rho} \right]
 \langle \det \mathcal{H} \rangle.
 \end{eqnarray*}
-++++
+중간에 [[수학:허바드-스트라토노비치_변환|허바드-스트라토노비치 변환]]을 사용하여 변수 $y$를 도입했다.
+==행렬식의 평균==
 다른 한편으로, 행렬식 부분은 [[수학:윅의_정리|다차원 가우스 함수의 적분]]을 활용해서 다음의 표현식을 사용한다:
 $$\det \mathcal{H} = \lim_{n\to -2} \int \left(\prod_{i=1}^N \prod_{\alpha=1}^n \frac{d\xi_{i\alpha}}{\sqrt{2\pi}}\right) \exp\left(-\frac12 \sum_{i\alpha} \xi_{i\alpha} \mathcal{H}_{ij} \xi_{j\alpha} \right).$$
@@ Line 555: / Line 561: @@
 \Biggl< \int \left(\prod_{i,\alpha} \frac{d\xi_{i\alpha}}{\sqrt{2\pi}}\right) \exp\left(-\frac12 \sum_{i\alpha} \xi_i^\alpha \mathcal{H}_{ij} \xi_j^\alpha \right) \Biggr> &=&
 \Biggl< \int \left(\prod_{i,\alpha} \frac{d\xi_{i\alpha}}{\sqrt{2\pi}}\right) \exp\left[-\frac12 \zeta \sum_{i\alpha} \xi_{i\alpha}^2 + \frac{\beta}{2(p-2)!} \sum_\alpha \sum_{i_1,\ldots,i_p} J_{i_1\ldots i_p} \xi_{i_1\alpha} \xi_{i_2\alpha} m_{i_3} \cdots m_{i_p} \right] \Biggr>\\
-&=& \int \left(\prod_{i,\alpha} \frac{d\xi_{i\alpha}}{\sqrt{2\pi}}\right) \exp\left[-\frac12 \zeta \sum_{i\alpha} \xi_{i\alpha}^2 \right] \Biggl< \exp\left[ \frac{\beta}{2(p-2)!} \sum_\alpha \sum_{i_1,\ldots,i_p} J_{i_1\ldots i_p} \xi_{i_1\alpha} \xi_{i_2\alpha} m_{i_3} \cdots m_{i_p} \right] \Biggr>\\
+&=& \int \left(\prod_{i,\alpha} \frac{d\xi_{i\alpha}}{\sqrt{2\pi}}\right) \exp\left(-\frac12 \zeta \sum_{i\alpha} \xi_{i\alpha}^2 \right) \Biggl< \exp\left[ \frac{\beta}{2(p-2)!} \sum_\alpha \sum_{i_1,\ldots,i_p} J_{i_1\ldots i_p} \xi_{i_1\alpha} \xi_{i_2\alpha} m_{i_3} \cdots m_{i_p} \right] \Biggr>\\
-&=& \int \left(\prod_{i,\alpha} \frac{d\xi_{i\alpha}}{\sqrt{2\pi}}\right) \exp\left[-\frac12 \zeta \sum_{i\alpha} \xi_{i\alpha}^2 \right] \prod_{i_1,\ldots,i_p} \Biggl< \exp\left[ \frac{\beta}{2(p-2)!} J_{i_1\ldots i_p} \sum_\alpha \xi_{i_1\alpha} \xi_{i_2\alpha} m_{i_3} \cdots m_{i_p} \right] \Biggr>\\
+&=& \int \left(\prod_{i,\alpha} \frac{d\xi_{i\alpha}}{\sqrt{2\pi}}\right) \exp\left(-\frac12 \zeta \sum_{i\alpha} \xi_{i\alpha}^2 \right) \prod_{i_1,\ldots,i_p} \Biggl< \exp\left[ \frac{\beta}{2(p-2)!} J_{i_1\ldots i_p} \sum_\alpha \xi_{i_1\alpha} \xi_{i_2\alpha} m_{i_3} \cdots m_{i_p} \right] \Biggr>\\
-&=& \int \left(\prod_{i,\alpha} \frac{d\xi_{i\alpha}}{\sqrt{2\pi}}\right) \exp\left[-\frac12 \zeta \sum_{i\alpha} \xi_{i\alpha}^2 \right] \prod_{i_1,\ldots,i_p} \exp\left[ \frac{p!}{4N^{p-1}} \left(\frac{\beta}{2(p-2)!} \sum_\alpha \xi_{i_1\alpha} \xi_{i_2\alpha} m_{i_3} \cdots m_{i_p}\right)^2 \right]\\
+&=& \int \left(\prod_{i,\alpha} \frac{d\xi_{i\alpha}}{\sqrt{2\pi}}\right) \exp\left(-\frac12 \zeta \sum_{i\alpha} \xi_{i\alpha}^2 \right) \prod_{i_1<\ldots<i_p} \Biggl< \exp\left[ \frac{\beta}{2(p-2)!} J_{i_1\ldots i_p} \sum_{\pi} \sum_{\alpha} \xi_{\pi(i_1)\alpha} \xi_{\pi(i_2)\alpha} m_{\pi(i_3)} \cdots m_{\pi(i_p)} \right] \Biggr>\\
+&=& \int \left(\prod_{i,\alpha} \frac{d\xi_{i\alpha}}{\sqrt{2\pi}}\right) \exp\left(-\frac12 \zeta \sum_{i\alpha} \xi_{i\alpha}^2 \right) \prod_{i_1<\ldots<i_p} \exp\left\{ \frac{p!}{4N^{p-1}} \left[ \frac{\beta}{2(p-2)!} \sum_{\pi} \sum_{\alpha} \xi_{\pi(i_1)\alpha} \xi_{\pi(i_2)\alpha} m_{\pi(i_3)} \cdots m_{\pi(i_p)} \right]^2 \right\}.
+\end{eqnarray*}
+여기에서도 지수 함수 안의 제곱 항을 다음처럼 전개했을 때 아래처럼 세 부분으로 나누어 쓸 수 있는데
+\begin{eqnarray*}
+\sum_{i_1<\ldots<i_p} \left[ \sum_{\pi} \sum_{\alpha} \xi_{\pi(i_1)\alpha} \xi_{\pi(i_2)\alpha} m_{\pi(i_3)} \cdots m_{\pi(i_p)} \right]^2 &=&
+\sum_{i_1<\ldots<i_p} \left[ \sum_{\pi_1} \sum_{\alpha} \xi_{\pi_1(i_1)\alpha} \xi_{\pi_1(i_2)\alpha} m_{\pi_1(i_3)} \cdots m_{\pi_1(i_p)} \right]
+\left[ \sum_{\pi_2} \sum_{\gamma} \xi_{\pi_2(i_1)\gamma} \xi_{\pi_2(i_2)\gamma} m_{\pi_2(i_3)} \cdots m_{\pi_2(i_p)} \right] = \Omega_1 + \Omega_2 + \Omega_3,
+\end{eqnarray*}
+먼저 $\pi_1(i_1)=\pi_2(i_1)$이면서 동시에 $\pi_1(i_2)=\pi_2(i_2)$인 부분의 기여가 $\Omega_1$, 둘 중 하나만 일치하는 경우가 $\Omega_2$, 둘 모두 불일치하는 경우가 $\Omega_3$이다. 이 중 $N\to\infty$에서는 $\Omega_1$이 가장 주된 기여를 하는데, $N=5$이고 $p=4$인 예를 생각해본다면 이런 항들을 얻게 될 것이다:
+\begin{eqnarray*}
+\Omega_1 &=& \left(\sum_\alpha \xi_{1\alpha} \xi_{2\alpha} m_3 m_4 + \xi_{1\alpha} \xi_{2\alpha} m_4 m_3 + \xi_{2\alpha} \xi_{1\alpha} m_3 m_4 + \xi_{2\alpha} \xi_{1\alpha} m_4 m_3 + \ldots\right) \left(\sum_\gamma \xi_{1\gamma} \xi_{2\gamma} m_3 m_4 + \xi_{1\gamma} \xi_{2\gamma} m_4 m_3 + \xi_{2\gamma} \xi_{1\gamma} m_3 m_4 + \xi_{2\gamma} \xi_{1\gamma} m_4 m_3 + \ldots\right) + \ldots\\
+&=& \xi_{1\alpha}\xi_{2\alpha}\xi_{1\gamma}\xi_{2\gamma} \left[2(p-2)!\right]^2 \left(m_3^2 m_4^2 + m_3^2 m_5^2 + m_4^2 m_5^2 \right) + \xi_{1\alpha}\xi_{3\alpha}\xi_{1\gamma}\xi_{3\gamma} \left[2(p-2)!\right]^2 \left(m_2^2 m_4^2 + m_2^2 m_5^2 + m_4^2 m_5^2 \right) + \ldots
+\end{eqnarray*}
+두 번째 줄에서 하나의 $(\ldots)$ 안에는 대략 $N^{p-2}/(p-2)!$ 개의 항들이 더해져 있고 각각의 항들이 $q^{p-2}$의 크기이므로
+\begin{eqnarray*}
+\Omega_1 &=& \sum_{\alpha\gamma} \sum_{i<j} \xi_{i\alpha}\xi_{i\gamma}\xi_{j\alpha}\xi_{j\gamma} \left[2(p-2)!\right]^2 q^{p-2} \frac{N^{p-2}}{(p-2)!} \approx 2(p-2)! q^{p-2} N^p \left(\frac{1}{N} \sum_i \xi_{i\alpha}\xi_{i\gamma} \right)^2.
+\end{eqnarray*}
+따라서
+\begin{eqnarray*}
+\langle \det \mathcal{H} \rangle &\approx& \lim_{n\to -2} \int \left(\prod_{i,\alpha} \frac{d\xi_{i\alpha}}{\sqrt{2\pi}}\right) \exp\left(-\frac12 \zeta \sum_{i\alpha} \xi_{i\alpha}^2 \right) \exp\left[ \frac{\beta^2 p!}{16N^{p-1} [(p-2)!]^2} 2(p-2)! q^{p-2} N^p \sum_{\alpha\gamma} \left( \frac{1}{N} \sum_i \xi_{i\alpha}\xi_{i\gamma} \right)^2 \right]\\
+&=& \lim_{n\to -2} \int \left(\prod_{i,\alpha} \frac{d\xi_{i\alpha}}{\sqrt{2\pi}}\right) \exp\left(-\frac12 \zeta \sum_{i\alpha} \xi_{i\alpha}^2 \right) \exp\left[ \frac{1}{8} N\rho \sum_{\alpha\gamma} \left( \frac{1}{N} \sum_i \xi_{i\alpha}\xi_{i\gamma} \right)^2 \right]\\
+&\propto& \lim_{n\to -2} \int \left(\prod_{\alpha\gamma} dw_{\alpha\gamma}\right) \int \left(\prod_{i,\alpha} \frac{d\xi_{i\alpha}}{\sqrt{2\pi}}\right) \exp\left(-\frac12 \zeta \sum_{i\alpha} \xi_{i\alpha}^2 - N\sum_{\alpha\gamma} \frac{w_{\alpha\gamma}^2}{2\rho} + \frac12 \sum_{\alpha\gamma} \sum_i w_{\alpha\gamma} \xi_{i\alpha}\xi_{i\gamma} \right).
+\end{eqnarray*}
+마지막 줄에서 [[수학:허바드-스트라토노비치_변환|허바드-스트라토노비치 변환]]으로 변수 $w_{\alpha\gamma}$를 도입했다. 만일 $w_{\alpha\gamma} = w\delta_{\alpha\gamma}$라면,
+\begin{eqnarray*}
+\langle \det \mathcal{H} \rangle &\propto& \lim_{n\to -2} \int dw \int \left(\prod_{i,\alpha} \frac{d\xi_{i\alpha}}{\sqrt{2\pi}}\right) \exp\left(-\frac12 \zeta \sum_{i\alpha} \xi_{i\alpha}^2 - N\sum_{\alpha} \frac{w^2}{2\rho} + \frac12 \sum_{i\alpha} w \xi_{i\alpha}^2 \right)\\
+&\propto& \lim_{n\to -2} \int dw (\zeta-w)^{-Nn/2} \exp\left( - \frac{Nnw^2}{2\rho} \right)\\
+&=& \int dw (\zeta-w)^N \exp\left(\frac{Nw^2}{\rho} \right)\\
 \end{eqnarray*}
+/*
+만일 $w_{\alpha\gamma} = w_\alpha \delta_{\alpha\gamma}$라면,
+\begin{eqnarray*}
+\langle \det \mathcal{H} \rangle &\propto& \lim_{n\to -2} \int \left( \prod_\alpha dw_\alpha \right) \int \left(\prod_{i,\alpha} \frac{d\xi_{i\alpha}}{\sqrt{2\pi}}\right) \exp\left(-\frac12 \zeta \sum_{i\alpha} \xi_{i\alpha}^2 - N\sum_{\alpha} \frac{w_\alpha^2}{2\rho} + \frac12 \sum_{i\alpha} w_\alpha \xi_{i\alpha}^2 \right)\\
+&\propto& \lim_{n\to -2} \prod_\alpha \int dw_\alpha \left(\zeta - w_\alpha\right)^{-N/2} \exp\left( -\frac{Nw_\alpha^2}{2\rho} \right)\\
+&=& \left[ \int dw \left(\zeta - w\right)^{-N/2} \exp\left( -\frac{Nw^2}{2\rho} \right) \right]^{-2}.
+\end{eqnarray*}
+*/
+==결과의 종합==
+\begin{eqnarray*}
+\langle \mathcal{N} \rangle &\propto& \int dy~dw \int \frac{dq ~d\hat{q}}{2\pi} \int \left(\prod_{i=1}^N \frac{dm_i d\hat{m}_i}{2\pi}\right) \exp\left[I\zeta \sum_{i=1}^N \hat{m}_i m_i + I\hat{q} \left(Nq - \sum_{i=1}^N m_i^2 \right) -\frac{\beta^2 pq^{p-1}}{4} \sum_{i=1}^N \hat{m}_i^2 + Iy \sum_{i=1}^N m_i \hat{m}_i -\frac{Ny^2}{\rho} \right] \times \exp\left( \frac{Nw^2}{\rho} \right) (\zeta - w)^N\\
+&\propto& \int dy~dw \int \frac{dq ~d\hat{q}}{2\pi} \exp \left[N \left( I\hat{q}q - \frac{y^2}{\rho} + \frac{w^2}{\rho} \right) \right]\int \left(\prod_{i=1}^N \frac{dm_i d\hat{m}_i}{2\pi}\right) \exp\left[I\zeta \sum_{i=1}^N \hat{m}_i m_i - I\hat{q}\sum_{i=1}^N m_i^2 -\frac{\beta^2 pq^{p-1}}{4} \sum_{i=1}^N \hat{m}_i^2 + Iy\sum_{i=1}^N m_i \hat{m}_i \right] (\zeta - w)^N\\
+&=& \int dy~dw \int \frac{dq ~d\hat{q}}{2\pi} \exp \left[N \left( I\hat{q}q - \frac{y^2}{\rho} + \frac{w^2}{\rho} \right) \right] \left\{ \int \frac{dm ~d\hat{m}}{2\pi} \exp\left[I\zeta \hat{m} m - I\hat{q} m^2 -\frac{\beta^2 pq^{p-1}}{4} \hat{m}^2 + Iy m \hat{m} \right] (\zeta - w) \right\}^N\\
+\end{eqnarray*}
+다음의 두 변수를 정의하자:
+\begin{eqnarray*}
+B &\equiv& w - \rho(1-q)/2\\
+\Delta &\equiv& y + \rho(1-q)/2.
+\end{eqnarray*}
+그러면 $w^2 - y^2 = B^2-\Delta^2 + \rho(1-q) (B+\Delta)$이고 $\zeta-w = 1/(1-q)-B$, 그리고 $\zeta+y = 1/(1-q) + \Delta$이다. 이를 대입하면
+$$\langle \mathcal{N} \rangle \propto \int dq~d\hat{q} ~dB ~dD \exp(N\Xi)$$
+로서, 다음의 양들을 정의했다:
+\begin{eqnarray*}
+\Xi &\equiv& I\hat{q}{q} + (B+\Delta)(1-q) + \frac{1}{\rho}\left(B^2 - \Delta^2 \right) + \ln\left( \frac{1}{1-q} - B \right) + \ln \mathcal{I}\\
+\mathcal{I} &\equiv& \int \frac{dm~d\hat{m}}{2\pi} \exp\left[ -\frac{\beta^2 pq^{p-1}}{4} \hat{m}^2 + I\hat{m} \left( \frac{1}{1-q}+\Delta \right)m - I\hat{q} m^2 \right]
+= \left[ \left(\frac{1}{1-q} + \Delta\right)^2 + I\beta^2 pq^{p-1} \hat{q} \right]^{-1/2}
+\end{eqnarray*}
+[[수학:안장점_근사|안장점 근사]]로 $B$에 관한 적분을 계산하기 위해 방정식 $\partial \Xi / \partial B=0$을 풀어보면 $B=0$이 해 중의 하나로 등장하며, 우리는 이것을 택한다. 이어서 $\partial_{\hat{q}} \Xi = \partial_\Delta \Xi = 0$을 연립하여 적분에 가장 큰 기여를 하는 $\hat{q}$와 $\Delta$를 찾음으로써 적분을 수행하면, $\langle \mathcal{N} \rangle \sim e^{N\Sigma}$일 때에 복잡도 $\Sigma$는 다음처럼 얻어진다:
+\begin{eqnarray*}
+\Sigma(E) &=& -\frac12 + \frac{1}{p} - \frac{1}{\beta^2 p^2 (1-q)^2 q^{p-2}} - \frac{1}{4} \beta^2 (1-p) (1-q)^2 q^{p-2} + \frac12 \ln 2 + \ln \left(\frac{1}{1-q}\right) - \frac12 \ln \beta^2 pq^{p-2}\\
+&=& \frac12 \left( \frac{2-p}{p} - \ln \frac{pz^2}{2} + \frac{p-1}{2} z^2 - \frac{2}{p^2 z^2} \right).
+\end{eqnarray*}
+이때 앞에서 정의한 대로 다음처럼 적는다:
+$$z \equiv \beta (1-q)q^{p/2-1} = \frac{1}{p-1} \left(-E -\sqrt{E^2 - E_c^2} \right).$$
+$E>E_c$에서는 물리적인 해가 없어지며, $E_c$보다 작은 어떤 에너지 $E_\text{RSB}$에서 $\Sigma = 0$이 된다.
+++++
 ===카바냐 등(1999)의 계산(작성 중)===
@@ Line 611: / Line 683: @@
 ++++
-===카스텔라니와 카바냐(2005)의 계산(작성 중)===
+===카스텔라니와 카바냐(2005)의 계산===
 ++++보기|
+==개요==
 $f_\text{TAP}$의 최소화가 $H$의 최소화와 일치한다는 특성을 이용한다.
 구면 조건 $g(\sigma) \equiv \sum_i \sigma_i^2 - N = 0$과 함께 $H$의 극소점들을 찾기 위해 [[수학:라그랑주 곱수]] $\Lambda$를 도입하자 (편의를 위해 $p=3$으로 가정하여 식을 적는다).
@@ Line 627: / Line 700: @@
 $$\mathcal{H}_{ki} \equiv \frac{\partial^2 H}{\partial \sigma_k \partial \sigma_i} = - \frac{p(p-1)}{p!} \sum_l J_{ikl} \sigma_l - p\varepsilon \delta_{ik}.$$
 정리하면, 복잡도를 구하기 위해 먼저 다음의 식을 계산하고:
-$$\mathcal{N}(\varepsilon) \approx \int D\sigma \prod_i \delta\left(-\frac{p}{p!} \sum_{kl} J_{ikl} \sigma_k \sigma_l - p\varepsilon \sigma_i \right) \det \left( - \frac{p(p-1)}{p!} \sum_l J_{ikl} \sigma_l - p\varepsilon \delta_{ik} \right)$$
+$$\mathcal{N}(\varepsilon) \approx \int D\sigma \prod_i \delta\left(-\frac{p}{p!} \sum_{kl} J_{ikl} \sigma_k \sigma_l - p\varepsilon \sigma_i \right) \det \left[ - \frac{p(p-1)}{p!} \sum_l J_{ikl} \sigma_l - p\varepsilon \delta_{ik} \right]$$
 이어 다음의 식에 대입한다:
 $$\Sigma(\varepsilon) = \lim_{N\to\infty} \frac{1}{N} \ln \mathcal{N}(\varepsilon).$$
-일단 $\mathcal{N}(\varepsilon)$에 바로 무작위 평균을 취해보자:
+$\mathcal{N}(\varepsilon)$에 바로 무작위 평균을 취해보자:
 \begin{eqnarray*}
-\overline{\exp\left[ -\mathcal{S} \right]} &\propto& \exp\left( - ip\varepsilon \sum_i \mu_i \sigma_i -p\varepsilon\sum_i \bar{\psi}_i \psi_i \right) \prod_{i>k>l} \int dJ_{ikl} \exp\left[ -\frac12 J_{ikl}^2 \frac{2N^{p-1}}{p!} - ip J_{ikl} \mu_i \sigma_k \sigma_l - p(p-1) J_{ikl} \bar{\psi}_i \psi_k \sigma_l \right].
+\overline{\exp\left[ -\mathcal{S} \right]} &\propto& \exp\left( - Ip\varepsilon \sum_i \mu_i \sigma_i +p\varepsilon\sum_i \bar{\psi}_i \psi_i \right) \prod_{ikl} \int dJ_{ikl} \exp\left[ -\frac12 J_{ikl}^2 \frac{2N^{p-1}}{p!} - I\frac{1}{(p-1)!} J_{ikl} \mu_i \sigma_k \sigma_l + \frac{1}{(p-2)!} J_{ikl} \bar{\psi}_i \psi_k \sigma_l \right].
 \end{eqnarray*}
-$J_{ikl}$에 대한 평균은 아래처럼 계산되고 (여러 변수들이 곱해진 항들을 인덱스에 대해 대칭화했다):
+적분을 시행했을 때 제곱을 통해 등장하는 교차항($\mu$와 [[수학:그라스만_대수|그라스만 변수]]의 곱)은 결과에 기여하지 않는다고 가정하자. 그러면 두 부분을 따로 평균한 다음 그 결과들을 곱하면 된다.
-\begin{eqnarray*}
-&& \int dJ_{ikl} \exp\left[ -\frac12 J_{ikl}^2 \frac{2N^{p-1}}{p!} - ip J_{ikl} \mu_i \sigma_k \sigma_l - p(p-1) J_{ikl} \bar{\psi}_i \psi_k \sigma_l \right]\\
+==보손 적분==
-&=& \int dJ_{ikl} \exp\left[ -\frac12 J_{ikl}^2 \frac{2N^{p-1}}{p!} - i J_{ikl} \left( \mu_i \sigma_k \sigma_l + \sigma_i \mu_k \sigma_l + \sigma_i \sigma_k \mu_l \right) - J_{ikl} \left( \bar{\psi}_i \psi_k \sigma_l + \bar{\psi}_i \psi_l \sigma_k + \bar{\psi}_k \psi_i \sigma_l + \bar{\psi}_k \psi_l \sigma_i + \bar{\psi}_l \psi_i \sigma_k + \bar{\psi}_l \psi_k \sigma_i \right) \right]\\
+$\mu$에 의존하는 부분 중 $J_{ikl}$에 대해 평균은 아래처럼 계산되고 ($\pi$는 순열을 의미), 위에서 보았던 리거(1992)의 계산을 활용한다:
-& \propto& \exp\left\{ \frac{p!}{4N^{p-1}} \left[i \left( \mu_i \sigma_k \sigma_l + \sigma_i \mu_k \sigma_l + \sigma_i \sigma_k \mu_l \right) + \left( \bar{\psi}_i \psi_k \sigma_l + \bar{\psi}_i \psi_l \sigma_k + \bar{\psi}_k \psi_i \sigma_l + \bar{\psi}_k \psi_l \sigma_i + \bar{\psi}_l \psi_i \sigma_k + \bar{\psi}_l \psi_k \sigma_i \right) \right]^2 \right\}\\
-\end{eqnarray*}
-$p!$을 아래처럼 흡수한다:
 \begin{eqnarray*}
-&&\prod_{i>k>l} \exp\left\{ \frac{p!}{4N^{p-1}} \left[i \left( \mu_i \sigma_k \sigma_l + \sigma_i \mu_k \sigma_l + \sigma_i \sigma_k \mu_l \right) + \left( \bar{\psi}_i \psi_k \sigma_l + \bar{\psi}_i \psi_l \sigma_k + \bar{\psi}_k \psi_i \sigma_l + \bar{\psi}_k \psi_l \sigma_i + \bar{\psi}_l \psi_i \sigma_k + \bar{\psi}_l \psi_k \sigma_i \right) \right]^2 \right\}\\
+\prod_{i_1, \ldots, i_p} \overline{\exp\left[ -I \frac{1}{(p-1)!} J_{i_1 \ldots i_p} \mu_{i_1} \sigma_{i_2} \cdots \sigma_{i_p} \right]} &\approx&
-&\approx&\prod_{ikl} \exp\left\{ \frac{1}{4N^{p-1}} \left[i \left( \mu_i \sigma_k \sigma_l + \sigma_i \mu_k \sigma_l + \sigma_i \sigma_k \mu_l \right) + \left( \bar{\psi}_i \psi_k \sigma_l + \bar{\psi}_i \psi_l \sigma_k + \bar{\psi}_k \psi_i \sigma_l + \bar{\psi}_k \psi_l \sigma_i + \bar{\psi}_l \psi_i \sigma_k + \bar{\psi}_l \psi_k \sigma_i \right) \right]^2 \right\}.
+\prod_{i_1< \ldots <i_p} \overline{\exp\left[ -I \frac{1}{(p-1)!} J_{i_1 \ldots i_p} \sum_{\pi} \mu_{\pi(i_1)} \sigma_{\pi(i_2)} \cdots \sigma_{\pi(i_p)} \right]}\\
+&=& \prod_{i_1< \ldots <i_p} \exp\left\{ -\frac{p!}{4N^{p-1}} \frac{1}{\left[ (p-1)! \right]^2} \left[ \sum_{\pi} \mu_{\pi(i_1)} \sigma_{\pi(i_2)} \cdots \sigma_{\pi(i_p)} \right]^2 \right\}\\
+&=& \exp\left\{ -\frac{p!}{4N^{p-1}} \frac{1}{\left[ (p-1)! \right]^2} \left[ (p-1)! N^{p-1} \sum_i \mu_i^2 + (p-1)! (p-1) N^{p-2} \left( \sum_i \mu_i \sigma_i \right)^2 \right] \right\}\\
+&=& \exp\left[ -\frac{p}{4} \sum_i \mu_i^2 - \frac{p(p-1)}{4N} \left( \sum_i \mu_i \sigma_i \right)^2 \right].
 \end{eqnarray*}
-그리고 제곱을 통해 등장하는 교차항($\mu$와 [[수학:그라스만_대수|그라스만 변수]]의 곱)은 결과에 기여하지 않는다고 가정하자. 이 가정은 나중에 얻게 되는 답과 부합한다. $\mu$에 의존하는 부분을 먼저 적어보면
+따라서 $\overline{\mathcal{N}} = \overline{\mathcal{N}_\text{boson}} \times \overline{\mathcal{N}_\text{fermion}}$이라고 했을 때
 \begin{eqnarray*}
-A &=&\int D\sigma \frac{D\mu}{(2\pi)^N} \exp\left[ -\frac{1}{4N^{p-1}} \sum_{ikl} \left( \mu_i \sigma_k \sigma_l + \sigma_i \mu_k \sigma_l + \sigma_i \sigma_k \mu_l \right)^2 - ip\varepsilon \sum_i \mu_i \sigma_i \right]\\
+\overline{\mathcal{N}_\text{boson}} &=&\int D\sigma \frac{D\mu}{(2\pi)^N} \exp\left[ -\frac{p}{4} \sum_i \mu_i^2 - \frac{p(p-1)}{4N} \left(\sum_i \mu_i \sigma_i \right)^2 - Ip\varepsilon \sum_i \mu_i \sigma_i \right]\\
-&=&\int D\sigma \frac{D\mu}{(2\pi)^N} \exp\left[ -\frac{1}{4N^{p-1}} \sum_{ikl} \left( \mu_i^2 \sigma_k^2 \sigma_l^2 + \sigma_i^2 \mu_k^2 \sigma_l^2 + \sigma_i^2 \sigma_k^2 \mu_l^2 + 2\mu_i \mu_k \sigma_i \sigma_k \sigma_l^2 + 2\mu_i \mu_l \sigma_i \sigma_k^2 \sigma_l + 2\mu_k \mu_l \sigma_i^2 \sigma_k \sigma_l \right) - ip\varepsilon \sum_i \mu_i \sigma_i \right]\\
+&=&\left[\frac{N}{\pi p(p-1)} \right]^{1/2} \int D\sigma \frac{D\mu}{(2\pi)^N} \int_{-\infty}^{\infty} dz \exp\left[ -\frac{Nz^2}{p(p-1)} \right] \prod_{i=1}^N \exp\left[ -\frac{p}{4} \mu_i^2 + I(z-p\varepsilon) \mu_i \sigma_i \right]\\
-&=&\int D\sigma \frac{D\mu}{(2\pi)^N} \exp\left[ -\frac{1}{4N^{p-1}} \left( p N^{p-1} \sum_i \mu_i^2 + p(p-1) N^{p-2} \sum_{ik} \mu_i \mu_k \sigma_i \sigma_k \right) - ip\varepsilon \sum_i \mu_i \sigma_i \right]\\
-&=&\int D\sigma \frac{D\mu}{(2\pi)^N} \exp\left[ -\frac{p}{4} \sum_i \mu_i^2 - \frac{p(p-1)}{4N} \sum_{ik} \mu_i \mu_k \sigma_i \sigma_k - ip\varepsilon \sum_i \mu_i \sigma_i \right]\\
-&=&\int D\sigma \frac{D\mu}{(2\pi)^N} \exp\left[ -\frac{p}{4} \sum_i \mu_i^2 - \frac{p(p-1)}{4N} \left(\sum_i \mu_i \sigma_i \right)^2 - ip\varepsilon \sum_i \mu_i \sigma_i \right]\\
-&=&\left[\frac{N}{\pi p(p-1)} \right]^{1/2} \int D\sigma \frac{D\mu}{(2\pi)^N} \int_{-\infty}^{\infty} dz \exp\left[ -\frac{Nz^2}{p(p-1)} \right] \prod_{i=1}^N \exp\left[ -\frac{p}{4} \mu_i^2 + i(z-p\varepsilon) \mu_i \sigma_i \right]\\
 &=&\left[\frac{N}{\pi p(p-1)} \right]^{1/2} (p\pi)^{-N/2} \int D\sigma \int_{-\infty}^{\infty} dz \exp\left[ -\frac{Nz^2}{p(p-1)} \right] \prod_{i=1}^N \exp\left[ -\frac{1}{p} (z-p\varepsilon)^2 \sigma_i^2 \right]\\
 &=&\left[\frac{N}{\pi p(p-1)} \right]^{1/2} (p\pi)^{-N/2} \int D\sigma \int_{-\infty}^{\infty} dz \exp\left[ -\frac{Nz^2}{p(p-1)} \right] \exp\left[ -\frac{N}{p} (z-p\varepsilon)^2 \right]\\
@@ Line 663: / Line 732: @@
 $$\Gamma\left(\frac{N}{2}\right) = \sqrt{\pi}\frac{(N-2)!!}{2^{(N-1)/2}} \sim N^{N/2} 2^{-(N-1)/2}.$$
 모두 종합하면 다음의 결과를 얻는다:
-$$\lim_{N\to\infty} \frac{1}{N} \ln A = \frac12  - \frac12 \ln \frac{p}{2} - \varepsilon^2.$$
+$$\lim_{N\to\infty} \frac{1}{N} \ln \overline{\mathcal{N}_\text{boson}} = \frac12  - \frac12 \ln \frac{p}{2} - \varepsilon^2.$$
-/*
+==페르미온 적분==
-이제 [[수학:그라스만_대수|그라스만 변수]]를 포함하는 부분을 계산한다:
+[[수학:그라스만_대수|그라스만 변수]]를 포함하는 부분을 계산해보자. $\sigma$가 포함되어 있기는 하지만, 곧 보게 될 것처럼 실제로 그 변수들에 대해 적분을 할 일은 없다.
+$J_{ikl}$에 대한 평균을 취하면 다음의 식을 얻게 된다:
 \begin{eqnarray*}
-B &=& \int D\sigma D\bar{\psi} D\psi \prod_{ikl} \exp\left\{ \frac{(p-1)^2}{4N^{p-1}} \left( \bar{\psi}_i \psi_k \sigma_l + \bar{\psi}_i \sigma_k \psi_l + \sigma_i \bar{\psi}_k \psi_l \right)^2 \right\}\\
+\prod_{i_1, \ldots, i_p} \overline{\exp\left[ \frac{1}{(p-2)!} J_{i_1 \ldots i_p} \bar{\psi}_{i_1} \psi_{i_2} \sigma_{i_3} \cdots \sigma_{i_p} \right]} &\approx&
-&=& \int D\sigma D\bar{\psi} D\psi \prod_{ikl} \exp\left\{ \frac{(p-1)^2}{4N^{p-1}} \left( \bar{\psi}_i \psi_k \bar{\psi}_k \psi_l \sigma_l \sigma_i + \bar{\psi}_k \psi_l \bar{\psi}_i \psi_k \sigma_i \sigma_l \right) \right\}\\
+\prod_{i_1< \ldots< i_p} \overline{\exp\left[ \frac{1}{(p-2)!} J_{i_1 \ldots i_p} \sum_{\pi} \bar{\psi}_{\pi(i_1)} \psi_{\pi(i_2)} \sigma_{\pi(i_3)} \cdots \sigma_{\pi(i_p)} \right]}\\
-&=& \int D\sigma D\bar{\psi} D\psi \prod_{ikl} \exp\left\{ \frac{(p-1)^2}{4N^{p-1}} \left( -\bar{\psi}_k \psi_k \bar{\psi}_i \psi_l \sigma_i \sigma_l - \bar{\psi}_k \psi_k \bar{\psi}_i \psi_l \sigma_i \sigma_l \right) \right\}\\
+&=& \prod_{i_1< \ldots< i_p} \exp\left\{ \frac{p!}{4N^{p-1}} \frac{1}{\left[(p-2)!\right]^2} \left[ \sum_{\pi} \bar{\psi}_{\pi(i_1)} \psi_{\pi(i_2)} \sigma_{\pi(i_3)} \cdots \sigma_{\pi(i_p)} \right]^2 \right\}.
-&=& \int D\sigma D\bar{\psi} D\psi \prod_{ikl} \exp\left\{ -\frac{(p-1)^2}{2N^{p-1}} \bar{\psi}_k \psi_k \bar{\psi}_i \psi_l \sigma_i \sigma_l \right\}\\
-&=& \int D\sigma D\bar{\psi} D\psi \exp\left\{ -\frac{(p-1)^2}{2N^{p-1}} \left[\sum_k \bar{\psi}_k \psi_k\right] \left[ \sum_i \bar{\psi}_i \sigma_i \right] \left[ \sum_l \psi_l \sigma_l \right] \right\}\\
 \end{eqnarray*}
-*/
+이 제곱 부분을 풀 때에도 $\pi_1(i_1) = \pi_2(i_1)$과 $\pi_1(i_2) = \pi_2(i_2)$인 부분만이 기여한다고 하자. 파리시(2006)에 따르면 [[수학:그라스만_대수|그라스만 변수]]가 하나만 들어가는 $\sum_i \psi_i \sigma_i$ 같은 항들의 기여는 모두 0으로 놓을 수 있다. 따라서 리거(1992)의 계산을 응용하되 [[수학:그라스만_대수|그라스만 변수]] 사이의 순서에 주의하여 적어보자. $p=4$이고 $N=5$인 예에서,
-/*
 \begin{eqnarray*}
-\delta S &=& ip\varepsilon \sum_i \mu_i \eta \psi_i + i\frac{p}{p!} \sum_{ikl} J_{ikl} \left( \mu_i \sigma_k \eta \psi_l + \mu_i \eta \psi_k \sigma_l + \mu_i \eta \psi_k \eta \psi_l \right) - p\varepsilon \sum_i i\eta \mu_i \psi_i + \frac{p(p-1)}{p!} \sum_{ikl} J_{ikl} \left( -\eta \mu_i \psi_k \sigma_l + \bar{\psi}_i \psi_k \eta \psi_l - \eta \mu_i \psi_k \eta \psi_l \right)
+\left[ \sum_{\pi} \bar{\psi}_{\pi(i_1)} \psi_{\pi(i_2)} \sigma_{\pi(i_3)} \cdots \sigma_{\pi(i_p)} \right]^2 &\approx&
+\left(\bar{\psi}_1 \psi_2 \sigma_3 \sigma_4 + \bar{\psi}_1 \psi_2 \sigma_4 \sigma_3 + \bar{\psi}_2 \psi_1 \sigma_3 \sigma_4 + \bar{\psi}_2 \psi_1 \sigma_4 \sigma_3 + \ldots \right) \left(\bar{\psi}_1 \psi_2 \sigma_3 \sigma_4 + \bar{\psi}_1 \psi_2 \sigma_4 \sigma_3 + \bar{\psi}_2 \psi_1 \sigma_3 \sigma_4 + \bar{\psi}_2 \psi_1 \sigma_4 \sigma_3 + \ldots \right) + \ldots\\
+&=& -\bar{\psi}_1 \psi_1 \bar{\psi}_2 \psi_2 2 \left[ (p-2)! \right]^2 \left( \sigma_3^2 \sigma_4^2 + \sigma_3^2 \sigma_5^2 + \sigma_4^2 \sigma_5^2\right) + \ldots
 \end{eqnarray*}
-*/
+$N$이 매우 크면 다음처럼 적을 수 있고
+$$\left[ \sum_{\pi} \bar{\psi}_{\pi(i_1)} \psi_{\pi(i_2)} \sigma_{\pi(i_3)} \cdots \sigma_{\pi(i_p)} \right]^2 \approx - 2\sum_{i<j} \bar{\psi}_i \psi_i \bar{\psi}_j \psi_j \left[ (p-2)! \right]^2 \frac{N^{p-2}}{(p-2)!} \approx - \left( \sum_i \bar{\psi}_i \psi_i \right)^2 (p-2)! N^{p-2},$$
+결국 아래의 결과를 얻는다:
+\begin{eqnarray*}
+\overline{\mathcal{N}_\text{fermion}} &=& \int D\bar{\psi} D\psi \exp\left[ p\varepsilon\sum_i \bar{\psi}_i \psi_i  -\frac{1}{4N} p(p-1) \left( \sum_i \bar{\psi}_i \psi_i \right)^2 \right]\\
+&=& \int D\bar{\psi} D\psi \int d\omega \exp\left[ -\frac{N\omega^2}{p(p-1)} + (I\omega + p\varepsilon) \sum_i \bar{\psi}_i \psi_i \right]\\
+&=& \int d\omega \exp\left[ -\frac{N\omega^2}{p(p-1)} \right] (I\omega + p\varepsilon)^N\\
+&=& \int d\omega \exp\left[NG(\omega)\right].
+\end{eqnarray*}
+[[수학:허바드-스트라토노비치_변환|허바드-스트라토노비치 변환]]을 사용하기 위해 적분 변수 $\omega$를 도입했고, [[수학:그라스만_대수|그라스만 변수]]들에 대한 적분을 시행하였다. 대각 행렬의 행렬식을 구한다고 생각해도 된다. $\omega$에 대한 적분을 [[수학:안장점_근사|안장점 근사]]의 방법으로 푼다면 $\omega = Iz$로 적은 다음, 아래의 함수를 정의하고
+$$G(z) \equiv \frac{z^2}{p(p-1)} + \ln (-z+p\varepsilon)$$
+$\partial_z G(\hat{z}) = 0$을 풀어 해를 구한다:
+$$\hat{z} = \frac{p}{2} \left( \varepsilon + \sqrt{\varepsilon^2 - \frac{2(p-1)}{p}} \right).$$
+==종합==
+이 계산을 통해 얻어진 복잡도는 아래와 같다:
+$$\Sigma(\varepsilon) = \frac12 -\frac12 \ln \frac{p}{2} - \varepsilon^2 + \frac{\hat{z}^2}{p(p-1)} + \ln (-\hat{z} + p\varepsilon).$$
 ++++
 =====일반화된 자유 에너지=====